Pointclass
En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , una clase de puntos es una colección de conjuntos de puntos , donde normalmente se entiende que un punto es un elemento de algún espacio polaco perfecto . En la práctica, una clase puntual suele caracterizarse por algún tipo de propiedad de definibilidad ; por ejemplo, la colección de todos los conjuntos abiertos en alguna colección fija de espacios polacos es una clase puntual. (Un conjunto abierto puede verse como definible en cierto sentido porque no puede ser una colección de puntos puramente arbitraria; para cualquier punto del conjunto, todos los puntos suficientemente cercanos a ese punto también deben estar en el conjunto).
Las clases puntuales encuentran aplicación en la formulación de muchos principios y teoremas importantes de la teoría de conjuntos y el análisis real . Los principios sólidos de la teoría de conjuntos pueden enunciarse en términos de la determinación de varias clases puntuales, lo que a su vez implica que los conjuntos en esas clases puntuales (oa veces más grandes) tienen propiedades de regularidad como la mensurabilidad de Lebesgue (y de hecho la mensurabilidad universal ), propiedad de Baire. , y la propiedad de conjunto perfecta .
En la práctica, los teóricos de conjuntos descriptivos a menudo simplifican las cosas trabajando en un espacio polaco fijo como el espacio de Baire o, a veces , el espacio de Cantor , cada uno de los cuales tiene la ventaja de ser de dimensión cero y, de hecho, homeomorfo para sus poderes finitos o contables, de modo que las consideraciones de la dimensionalidad nunca surge. Yiannis Moschovakis proporciona una mayor generalidad al arreglar de una vez por todas una colección de espacios polacos subyacentes, incluido el conjunto de todos los naturales, el conjunto de todos los reales, el espacio de Baire y el espacio de Cantor, y de otra manera permitir que el lector arroje cualquier polaco perfecto deseado. espacio. Luego define un espacio de producto como cualquier producto cartesiano finitode estos espacios subyacentes. Entonces, por ejemplo, la clase de puntos de todos los conjuntos abiertos significa la colección de todos los subconjuntos abiertos de uno de estos espacios de productos. Este enfoque evita ser una clase adecuada , al tiempo que evita una especificidad excesiva en cuanto a los espacios polacos particulares que se están considerando (dado que el enfoque está en el hecho de que es la colección de conjuntos abiertos, no en los espacios en sí).
Las clases de puntos en la jerarquía de Borel , y en la jerarquía proyectiva más compleja , están representadas por letras griegas sub-y super-guionadas en negrita ; por ejemplo, es la clase puntual de todos los conjuntos cerrados , es la clase puntual de todos los conjuntos F σ , es la colección de todos los conjuntos que son simultáneamente F σ y G δ , y es la clase puntual de todos los conjuntos analíticos .
