En mecánica cuántica , la notación bra-ket, o notación de Dirac , es ubicua. La notación utiliza los soportes de ángulo , "" y "" y una barra vertical "" , para construir" sujetadores " / b r ɑː / y" kets " / k ɛ t / .
Un ket se parece a "". Matemáticamente denota un vector ,, en un espacio vectorial abstracto (complejo) y físicamente representa un estado de algún sistema cuántico.
Un sostén parece "", y matemáticamente denota una forma lineal , es decir, un mapa lineal que mapea cada vector en a un número en el plano complejo . Dejando lo lineal funcional actuar sobre un vector está escrito como .
Asumir en existe un producto interno con primer argumento antilineal , lo que haceun espacio de Hilbert . Luego, con este producto interno cada vector se puede identificar con una forma lineal correspondiente, colocando el vector en la primera ranura antilineal del producto interno: . La correspondencia entre estas notaciones es entonces. La forma lineales un covector para, y el conjunto de todos los covectors forman un subespacio del espacio vectorial dual , al espacio vectorial inicial . El propósito de esta forma lineal ahora puede entenderse en términos de hacer proyecciones sobre el estado , para encontrar cuán linealmente dependientes son dos estados, etc.
Para el espacio vectorial , los kets se pueden identificar con los vectores de columna y los sujetadores con los vectores de fila. Las combinaciones de sujetadores, kets y operadores se interpretan mediante la multiplicación de matrices . Si tiene el producto interior hermitiano estándar , bajo esta identificación, la identificación de kets y sujetadores y viceversa proporcionada por el producto interno está tomando el conjugado hermitiano (denotado).
Es común suprimir la forma vectorial o lineal de la notación bra-ket y solo usar una etiqueta dentro de la tipografía para el bra o ket. Por ejemplo, el operador de giro en un espacio bidimensional de espinores , tiene valores propios½ con eigenspinors . En notación bra-ket, uno suele denotar esto como, y . Al igual que antes, los kets y sujetadores con la misma etiqueta se interpretan como kets y sujetadores que se corresponden entre sí utilizando el producto interior. En particular, cuando también se identifican con vectores de fila y columna, los kets y sujetadores con la misma etiqueta se identifican con los vectores de fila y columna conjugados de Hermit.
La notación bra-ket fue establecida efectivamente en 1939 por Paul Dirac [1] [2] y, por lo tanto, también se conoce como la notación de Dirac. (Aún así, la notación bra-ket tiene un precursor en el uso de Hermann Grassmann de la notaciónpor sus productos internos casi 100 años antes. [3] [4] )
Introducción
La notación bra-ket es una notación para álgebra lineal y operadores lineales en espacios vectoriales complejos junto con su espacio dual tanto en el caso de dimensión finita como en el de dimensión infinita. Está diseñado específicamente para facilitar los tipos de cálculos que surgen con frecuencia en la mecánica cuántica . Su uso en mecánica cuántica está bastante extendido. Muchos fenómenos que se explican mediante la mecánica cuántica se explican mediante la notación bra-ket.
Espacios vectoriales
Vectores vs kets
En matemáticas, el término "vector" se usa para un elemento de cualquier espacio vectorial. En física, sin embargo, el término "vector" es mucho más específico: "vector" se refiere casi exclusivamente a cantidades como el desplazamiento o la velocidad , que tienen componentes que se relacionan directamente con las tres dimensiones del espacio, o relativistamente, con las cuatro del espacio-tiempo. . Por lo general, estos vectores se indican con flechas superiores (), negrita () o índices ().
En mecánica cuántica, un estado cuántico se representa típicamente como un elemento de un espacio de Hilbert complejo, por ejemplo, el espacio vectorial de dimensión infinita de todas las funciones de onda posibles ( funciones cuadradas integrables que mapean cada punto del espacio 3D a un número complejo) o algunas más. El espacio abstracto de Hilbert construido de forma más algebraica. Dado que el término "vector" ya se usa para otra cosa (ver párrafo anterior), y los físicos tienden a preferir la notación convencional a indicar de qué espacio es un elemento algo, es común y útil denotar un elemento. de un espacio vectorial complejo abstracto como un ket utilizando barras verticales y corchetes angulares y se refieren a ellos como "kets" en lugar de como vectores y se pronuncia "kets""O "Ket-A" para | A ⟩ .
Los símbolos, letras, números o incluso palabras, lo que sea que sirva como etiqueta conveniente, se pueden usar como etiqueta dentro de un recipiente, con el dejando claro que la etiqueta indica un vector en el espacio vectorial. En otras palabras, el símbolo " | Una ⟩ " tiene un significado específico y matemática universales, mientras que sólo el " A " por sí mismo no lo hace. Por ejemplo, | 1⟩ + | 2⟩ no es necesariamente igual a | 3⟩ . Sin embargo, por conveniencia, suele haber algún esquema lógico detrás de las etiquetas dentro de los kets, como la práctica común de etiquetar los mercados propios de energía en la mecánica cuántica a través de una lista de sus números cuánticos . En su forma más simple, la etiqueta dentro de la Ket es el valor propio de un operador físico, como, , etc.
Notación bra-ket
Dado que los kets son solo vectores en un espacio vectorial hermitiano, se pueden manipular utilizando las reglas habituales del álgebra lineal, por ejemplo:
Observe cómo la última línea anterior involucra una infinidad de kets diferentes, una para cada número real x .
Dado que el ket es un elemento de un espacio vectorial, un sujetador es un elemento de su espacio dual , es decir, un sujetador es un funcional lineal que es un mapa lineal desde el espacio vectorial hasta los números complejos. Por lo tanto, es útil pensar en kets y sujetadores como elementos de diferentes espacios vectoriales (sin embargo, ver más abajo) siendo ambos conceptos útiles diferentes.
Un sujetador y un ket (es decir, un funcional y un vector), se puede combinar con un operador de rango uno con producto externo
Identificación interior del producto y del sujetador en el espacio Hilbert
La notación bra-ket es particularmente útil en espacios de Hilbert que tienen un producto interno [5] que permite la conjugación hermitiana e identificar un vector con un funcional lineal, es decir, un ket con un sujetador, y viceversa (ver teorema de representación de Riesz ). El producto interior en el espacio Hilbert (con el primer argumento anti lineal como el preferido por los físicos) es completamente equivalente a una identificación (anti lineal) entre el espacio de los kets y el de los sujetadores en la notación de sujetadores: para un vector ket definir un funcional (es decir, sujetador) por
Bras y kets como vectores de fila y columna
En el caso simple en el que consideramos el espacio vectorial , un ket se puede identificar con un vector de columna y un sujetador como un vector de fila . Si además utilizamos el producto interior Hermitian estándar en, El sujetador correspondiente a un ket, en un sujetador especial ⟨ m | y un ket | m ⟩ con la misma etiqueta son transpuesta conjugada . Además, las convenciones se establecen de tal manera que escribir sujetadores, kets y operadores lineales uno al lado del otro simplemente implica la multiplicación de matrices . [6] En particular, el producto exterior. de una columna y un vector de fila, ket y bra se pueden identificar con la multiplicación de matrices (el vector de columna por el vector de fila es igual a la matriz).
Para un espacio vectorial de dimensión finita, utilizando una base ortonormal fija , el producto interno se puede escribir como una multiplicación matricial de un vector de fila con un vector de columna:
En base a esto, los sujetadores y kets se pueden definir como:
y luego se entiende que un sostén al lado de un ket implica multiplicación de matrices .
La transposición conjugada (también llamada conjugada hermitiana ) de un sujetador es el correspondiente ket y viceversa:
porque si uno empieza con el sujetador
luego realiza una conjugación compleja , y luego una transposición de matriz , uno termina con el ket
Escribir elementos de un espacio vectorial de dimensión finita (o mutatis mutandis, numerablemente infinito) como un vector columna de números requiere escoger una base . Recogiendo una base no siempre es útil porque la mecánica cuántica cálculos implican con frecuencia la conmutación entre diferentes bases (por ejemplo, la posición base, base impulso, base propia energía), y uno puede escribir algo como " | m ⟩ " sin comprometerse con ninguna base particular. En situaciones en las que dos importantes vectores de la base diferentes, los vectores de la base se pueden tomar en la notación explícita y aquí se hará referencia simplemente como " | - ⟩ " y " | + ⟩ ".
Estados no normalizables y espacios que no son de Hilbert
La notación bra-ket se puede utilizar incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert .
En mecánica cuántica, es una práctica común escribir kets que tienen una norma infinita , es decir, funciones de onda no normalizables . Los ejemplos incluyen estados cuyas funciones de onda son funciones delta de Dirac u ondas planas infinitas . Éstos, técnicamente, no pertenecen al propio espacio de Hilbert . Sin embargo, la definición de "espacio de Hilbert" se puede ampliar para acomodar estos estados (ver la construcción Gelfand-Naimark-Segal o espacios de Hilbert amañados ). La notación bra-ket continúa funcionando de manera análoga en este contexto más amplio.
Los espacios de Banach son una generalización diferente de los espacios de Hilbert. En un espacio de Banach B , los vectores pueden estar anotados por kets y los funcionales lineales continuos por sujetadores. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología , también podemos anotar los vectores por kets y los funcionales lineales por sujetadores. En estos contextos más generales, el corchete no tiene el significado de un producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica.
Uso en mecánica cuántica
La estructura matemática de la mecánica cuántica se basa en gran parte en el álgebra lineal :
- Las funciones de onda y otros estados cuánticos se pueden representar como vectores en un espacio de Hilbert complejo . (La estructura exacta de este espacio de Hilbert depende de la situación). En notación bra-ket, por ejemplo, un electrón podría estar en el "estado" | Psi ⟩ . (Técnicamente, los estados cuánticos son rayos de vectores en el espacio de Hilbert, como c | Psi ⟩ corresponde al mismo estado para cualquier número distinto de cero complejo c ).
- Las superposiciones cuánticas se pueden describir como sumas vectoriales de los estados constituyentes. Por ejemplo, un electrón en el estado | 1⟩ + i | 2⟩ está en una superposición cuántica de los estados | 1⟩ y | 2⟩ .
- Las mediciones están asociadas con operadores lineales (llamados observables ) en el espacio de Hilbert de estados cuánticos.
- La dinámica también se describe mediante operadores lineales en el espacio de Hilbert. Por ejemplo, en la imagen de Schrödinger , hay un operador de evolución en el tiempo lineal U con la propiedad de que si un electrón está en el estado | Psi ⟩ en este momento, en un momento posterior estará en el estado T | Psi ⟩ , la misma T para cada posible | Psi ⟩ .
- La normalización de la función de onda consiste en escalar una función de onda para que su norma sea 1.
Dado que prácticamente todos los cálculos de la mecánica cuántica implican vectores y operadores lineales, pueden implicar, y a menudo implican, notación bra-ket. A continuación se muestran algunos ejemplos:
Posición sin espina-función de onda espacial
El espacio de Hilbert de una partícula de espín -0 puntos se divide en una " base de posición " { | r ⟩ } , donde la etiqueta r se extiende sobre el conjunto de todos los puntos en el espacio posición . Esta etiqueta es el valor propio del operador de posición que actúa sobre tal estado base,. Dado que hay un número infinito incontable de componentes vectoriales en la base, este es un espacio de Hilbert de dimensión infinita incontable. Las dimensiones del espacio de Hilbert (generalmente infinito) y el espacio de posición (generalmente 1, 2 o 3) no deben combinarse.
A partir de cualquier ket | Ψ⟩ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de r , conocida como función de onda ,
En el lado izquierdo, Ψ ( r ) es una función que asigna cualquier punto en el espacio a un número complejo; en el lado derecho, | Ψ⟩ = ∫ d 3 r Ψ ( r ) | r ⟩ es un ket que consiste en una superposición de las TFE con coeficientes relativas especificadas por dicha función.
Entonces es habitual definir operadores lineales que actúan sobre funciones de onda en términos de operadores lineales que actúan sobre kets, por
Por ejemplo, el operador de impulso tiene la siguiente representación de coordenadas,
Ocasionalmente, uno incluso se encuentra con una expresión como
aunque esto es una especie de abuso de notación . El operador diferencial debe entenderse como un operador abstracto, que actúa sobre kets, que tiene el efecto de diferenciar las funciones de onda una vez que la expresión se proyecta sobre la base de la posición,aunque, en la base de la cantidad de movimiento, este operador equivale a un simple operador de multiplicación (por iħ p ). Es decir,
o
Superposición de estados
En la mecánica cuántica la expresión ⟨ phi | ψ ⟩ típicamente se interpreta como la amplitud de probabilidad para el estado ψ de colapso en el estado φ . Matemáticamente, esto significa el coeficiente para la proyección de ψ sobre φ . También se describe como la proyección del estado ψ sobre el estado φ .
Cambio de base para una partícula de espín ½
Una partícula de espín ½ estacionaria tiene un espacio de Hilbert bidimensional. Una base ortonormal es:
donde | ↑ z ⟩ es el estado con un valor definido del giro operador S z igual a + ½ y | ↓ z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de giro S z igual a -½.
Dado que estos son una base , cualquier estado cuántico de la partícula se puede expresar como una combinación lineal (es decir, superposición cuántica ) de estos dos estados:
donde a ψ y b ψ son números complejos.
Una base diferente para el mismo espacio de Hilbert es:
definido en términos de S x en lugar de S z .
Nuevamente, cualquier estado de la partícula se puede expresar como una combinación lineal de estos dos:
En forma vectorial, puede escribir
dependiendo de la base que esté utilizando. En otras palabras, las "coordenadas" de un vector dependen de la base utilizada.
Existe una relación matemática entre , , y ; ver cambio de base .
Escollos y usos ambiguos
Hay algunas convenciones y usos de la notación que pueden ser confusos o ambiguos para el estudiante no iniciado o temprano.
Separación de producto interno y vectores.
Una causa de confusión es que la notación no separa la operación del producto interno de la notación para un vector (bra). Si un sujetador-vector (espacio dual) se construye como una combinación lineal de otros sujetadores-vectores (por ejemplo, cuando se expresa de alguna manera), la notación crea cierta ambigüedad y oculta detalles matemáticos. Podemos comparar la notación bra-ket con el uso de negrita para vectores, como, y para el producto interior. Considere el siguiente sujetador-vector de espacio dual en la base:
Debe determinarse por convención si los números complejos están dentro o fuera del producto interior, y cada convención da resultados diferentes.
Reutilización de símbolos
Es común usar el mismo símbolo para etiquetas y constantes . Por ejemplo,, donde el símbolo se utiliza simultáneamente como el nombre del operador , su vector propio y el valor propio asociado . A veces, el sombrero también se deja caer para los operadores, y se pueden ver anotaciones como[7]
Conjugado hermitiano de kets
Es común ver el uso , donde la daga) corresponde al conjugado hermitiano . Sin embargo, esto no es correcto en un sentido técnico, ya que el ket,, representa un vector en un espacio de Hilbert complejo, y el sujetador, , es un funcional lineal en vectores en. En otras palabras, es solo un vector, mientras que es la combinación de un vector y un producto interno.
Operaciones dentro de sujetadores y kets
Esto se hace para una notación rápida de vectores de escala. Por ejemplo, si el vector es escalado por , se puede denotar . Esto puede ser ambiguo ya quees simplemente una etiqueta para un estado y no un objeto matemático en el que se pueden realizar operaciones. Este uso es más común cuando se indican vectores como productos tensoriales, donde parte de las etiquetas se mueven fuera de la ranura diseñada, p. Ej..
Operadores lineales
Operadores lineales que actúan sobre kets
Un operador lineal es un mapa que ingresa un Ket y genera un Ket. (Para ser llamado "lineal", se requiere que tenga ciertas propiedades ). En otras palabras, si es un operador lineal y es un vector de ket, entonces es otro vector de ket.
En un espacio de Hilbert dimensional, podemos imponer una base en el espacio y representar en términos de sus coordenadas como vector de columna . Usando la misma base para, está representado por un matriz compleja. El vector de Ketahora se puede calcular mediante la multiplicación de matrices .
Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las cantidades físicas observables están representadas por operadores autoadjuntos , como la energía o el momento , mientras que los procesos transformativos están representados por operadores lineales unitarios como la rotación o la progresión del tiempo.
Operadores lineales que actúan sobre sujetadores.
También se puede considerar que los operadores actúan sobre los sujetadores desde el lado derecho . En concreto, si A es un operador lineal y ⟨ phi | es un sostén, a continuación, ⟨ phi | A es otro sujetador definido por la regla
(en otras palabras, una composición de funciones ). Esta expresión se escribe comúnmente como (cf. producto interno de energía )
En un N -dimensional espacio de Hilbert, ⟨ phi | se puede escribir como un vector de fila 1 × N , y A (como en la sección anterior) es una matriz N × N. A continuación, el sujetador ⟨ phi | A se puede calcular mediante una multiplicación de matrices normal .
Si el mismo vector de estado aparece tanto en el lado del sujetador como en el lado
entonces esta expresión da el valor esperado , o el valor medio o promedio, del observable representado por el operador A para el sistema físico en el estado | Psi ⟩ .
Productos externos
Una manera conveniente de definir operadores lineales en un espacio de Hilbert H está dado por el producto externo : si ⟨ varphi | es un sujetador y | Psi ⟩ es un ket, el producto exterior
denota el operador de rango uno con la regla
- .
Para un espacio vectorial de dimensión finita, el producto exterior puede entenderse como una simple multiplicación de matrices:
El producto exterior es una matriz N × N , como se esperaba para un operador lineal.
Uno de los usos del producto exterior es construir operadores de proyección . Dado un ket | Psi ⟩ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio atravesado por | Psi ⟩ es
Este es un idempotente en el álgebra de observables que actúa sobre el espacio de Hilbert.
Operador conjugado hermitiano
Así como las TFE y los sujetadores se pueden transformar en uno al otro (haciendo | Psi ⟩ en ⟨ Psi | ), el elemento desde el espacio dual correspondiente a A | Psi ⟩ es ⟨ Psi | A † , donde A † denota el conjugado hermitiana (o adjunto) del operador A . En otras palabras,
Si A se expresa como una matriz N × N , entonces A † es su transpuesta conjugada .
Los operadores autoadjuntos , donde A = A † , juegan un papel importante en la mecánica cuántica; por ejemplo, un observable siempre es descrito por un operador autoadjunto. Si A es un operador auto-adjunto, a continuación, ⟨ Psi | A | Psi ⟩ es siempre un número real (no complejo). Esto implica que los valores esperados de los observables son reales.
Propiedades
La notación bra-ket fue diseñada para facilitar la manipulación formal de expresiones algebraicas lineales. Algunas de las propiedades que permiten esta manipulación se enumeran aquí. En lo que sigue, c 1 y c 2 denotan números complejos arbitrarios , c * denota el conjugado complejo de c , A y B denotan operadores lineales arbitrarios, y estas propiedades son válidas para cualquier elección de sujetadores y kets.
Linealidad
- Dado que los sujetadores son funcionales lineales,
- Según la definición de suma y multiplicación escalar de funcionales lineales en el espacio dual , [8]
Asociatividad
Dada cualquier expresión que involucre números complejos, sujetadores, kets, productos internos, productos externos y / o operadores lineales (pero no suma), escritos en notación entre corchetes, las agrupaciones entre paréntesis no importan (es decir, se cumple la propiedad asociativa ). Por ejemplo:
Etcétera. Las expresiones de la derecha (sin paréntesis) pueden escribirse sin ambigüedades debido a las igualdades de la izquierda. Tenga en cuenta que la propiedad asociativa no es válida para expresiones que incluyen operadores no lineales, como el operador de inversión de tiempo antilineal en física.
Conjugación hermitiana
La notación bra-ket hace que sea particularmente fácil calcular el conjugado hermitiano (también llamado daga y denotado † ) de expresiones. Las reglas formales son:
- El conjugado hermitiano de un sostén es el correspondiente ket, y viceversa.
- El conjugado hermitiano de un número complejo es su conjugado complejo.
- El conjugado hermitiano del conjugado hermitiano de cualquier cosa (operadores lineales, sujetadores, kets, números) es en sí mismo, es decir,
- Dada cualquier combinación de números complejos, sujetadores, kets, productos internos, productos externos y / o operadores lineales, escritos en notación bra-ket, su conjugado hermitiano se puede calcular invirtiendo el orden de los componentes y tomando el conjugado hermitiano de cada.
Estas reglas son suficientes para escribir formalmente el conjugado hermitiano de tal expresión; algunos ejemplos son los siguientes:
- Kets:
- Productos internos:
- Tenga en cuenta que ⟨ phi | Psi ⟩ es un escalar, por lo que el conjugado hermitiana es sólo el complejo conjugado, es decir,
- Elementos de la matriz:
- Productos externos:
Sujetadores y kets compuestos
Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio V ⊗ W por un producto tensorial . En mecánica cuántica, esto se usa para describir sistemas compuestos. Si un sistema está compuesto por dos subsistemas descritos en V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert de todo el sistema es el producto tensorial de los dos espacios. (La excepción a esto es si los subsistemas son en realidad partículas idénticas . En ese caso, la situación es un poco más complicada).
Si | Psi ⟩ es un ket en V y | varphi ⟩ es un ket en W , el producto directo de los dos TFE es un ket en V ⊗ W . Esto está escrito en varias notaciones:
Consulte el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR para conocer las aplicaciones de este producto.
El operador de la unidad
Considere un sistema ortonormal completo ( base ),
para un espacio de Hilbert H , con respecto a la norma de un producto interno ⟨·, ·⟩ .
A partir del análisis funcional básico , se sabe que cualquier ket también se puede escribir como
con ⟨· | ·⟩ el producto interior en el espacio de Hilbert.
De la conmutatividad de kets con escalares (complejos), se sigue que
debe ser el operador de identidad , que se envía cada vector a sí mismo.
Esto, entonces, puede insertarse en cualquier expresión sin afectar su valor; por ejemplo
donde, en la última línea, se ha utilizado la convención de suma de Einstein para evitar el desorden.
En la mecánica cuántica , a menudo ocurre que poca o ninguna información sobre el producto interno ⟨ Psi | phi ⟩ de dos arbitrarias TFE (estado) está presente, mientras que todavía es posible decir algo acerca de los coeficientes de dilatación ⟨ Psi | e i ⟩ = ⟨ e i | Psi ⟩ * y ⟨ e i | varphi ⟩ de esos vectores con respecto a una base específica (ortonormalizada). En este caso, es particularmente útil insertar el operador de la unidad en el soporte una o más veces.
Para obtener más información, consulte Resolución de la identidad ,
- 1 = ∫ d x | x ⟩ ⟨ x | = ∫ d p | p ⟩ ⟨ p | , dónde
- | p ⟩ = ∫ d x e IXP / ħ | x ⟩ / √ 2 πħ .
Desde ⟨ x '| x ⟩ = δ ( x - x ') , ondas planas siguen,
- ⟨ X | p ⟩ = e ixp / ħ / √ 2 πħ .
En su libro (1958), Ch. III.20, Dirac define el ket estándar que, hasta una normalización, es el estado propio del impulso translacionalmente invariante en la representación del impulso, es decir, . En consecuencia, la función de onda correspondiente es una constante,, y
- , así como .
Normalmente, cuando todos los elementos de la matriz de un operador como
están disponibles, esta resolución sirve para reconstituir el operador completo,
Notación utilizada por los matemáticos
El objeto que los físicos están considerando cuando usan la notación bra-ket es un espacio de Hilbert (un espacio de producto interno completo ).
Deje H un espacio de Hilbert y h ∈ H un vector en H . Lo que los físicos denotarían por | h ⟩ es el propio vector. Es decir,
- .
Deje H * sea el espacio dual de H . Este es el espacio de funcionales lineales en H . El isomorfismo Φ: H → H * está definido por Φ ( h ) = φ h , donde para cada g ∈ H definimos
- ,
donde IP (·, ·) , (·, ·) , ⟨·, ·⟩ y ⟨· | ·⟩ son notaciones diferentes para expresar un producto interno entre dos elementos en un espacio de Hilbert (o para los tres primeros, en cualquier espacio del producto). Confusión Nomenclatura surge cuando la identificación de φ h y g con ⟨ h | y | g ⟩ respectivamente. Esto se debe a sustituciones simbólicas literales. Dejar que φ h = H = ⟨ h | y sea g = G = | g ⟩ . Esto da
Uno ignora los paréntesis y elimina las barras dobles. Algunas propiedades de esta notación son convenientes ya que estamos tratando con operadores lineales y la composición actúa como una multiplicación de anillos .
Además, los matemáticos generalmente escriben la entidad dual no en el primer lugar, como lo hacen los físicos, sino en el segundo, y generalmente no usan un asterisco sino una línea superior (que los físicos reservan para promedios y el espinor adjunto de Dirac ) para denotar números complejos conjugados ; es decir, para productos escalares, los matemáticos suelen escribir
mientras que los físicos escribirían por la misma cantidad
Ver también
- Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
- ecuación interferométrica n -slit
- Estado cuántico
- Producto Interno
Notas
- ↑ Dirac, 1939
- ↑ Shankar 1994 , Capítulo 1
- ↑ Grassmann 1862
- ^ Conferencia 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford) , Leonard Susskind sobre números complejos, conjugado complejo, bra, ket. 2006-10-02.
- ^ Conferencia 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford) , Leonard Susskind sobre el producto interno, 2006-10-02.
- ^ Gidney, Craig (2017). La notación Bra-Ket trivializa la multiplicación de matrices
- ↑ Sakurai, Jun John (21 de septiembre de 2017). Mecánica cuántica moderna (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-42241-3.
- ^ Notas de la conferencia de Robert Littlejohn , ecuaciones 12 y 13
Referencias
- Dirac, PAM (1939). "Una nueva notación para la mecánica cuántica". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 35 (3): 416–418. Código Bibliográfico : 1939PCPS ... 35..416D . doi : 10.1017 / S0305004100021162 .. Véase también su texto estándar, Los principios de la mecánica cuántica , IV edición, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115
- Grassmann, H. (1862). Teoría de la extensión . Historia de las fuentes matemáticas. 2000 traducción de Lloyd C. Kannenberg. Sociedad Matemática Estadounidense, Sociedad Matemática de Londres.
- Cajori, Florian (1929). Una historia de notaciones matemáticas Volumen II . Publicación de Open Court . pag. 134 . ISBN 978-0-486-67766-8.
- Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). ISBN 0-306-44790-8.
- Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (1965). Las Conferencias Feynman de Física . III . Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8.
enlaces externos
- Richard Fitzpatrick, "Mecánica cuántica: un curso de posgrado" , Universidad de Texas en Austin. Incluye:
- 1. Ket space
- 2. Espacio sujetador
- 3. Operadores
- 4. El producto exterior
- 5. Autovalores y autovectores
- Robert Littlejohn, notas de la conferencia sobre "El formalismo matemático de la mecánica cuántica", incluida la notación bra-ket. Universidad de California, Berkeley.
- Gieres, F. (2000). "Sorpresas matemáticas y formalismo de Dirac en mecánica cuántica". Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893-1931. arXiv : quant-ph / 9907069 . Código Bibliográfico : 2000RPPh ... 63.1893G . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 63/12/201 . S2CID 10854218 .