En matemáticas , el teorema de Burnside en la teoría de grupos establece que si G es un grupo finito de orden donde p y q son números primos , y un y b son no negativos números enteros , entonces G es resoluble . Por tanto, cada grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos.
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Historia
El teorema fue probado por William Burnside ( 1904 ) utilizando la teoría de la representación de grupos finitos . Burnside, Jordan y Frobenius habían probado previamente varios casos especiales. John Thompson señaló que una prueba que evite el uso de la teoría de la representación podría extraerse de su trabajo sobre el teorema del grupo N, y esto fue hecho explícitamente por Goldschmidt (1970) para grupos de orden impar y por Bender (1972) para grupos. de orden uniforme. Matsuyama (1973) simplificó las demostraciones.
Prueba
Esta prueba es por contradicción . Sea p a q b el producto más pequeño de dos potencias primas, de modo que hay un grupo G no resoluble cuyo orden es igual a este número.
- G es un grupo simple con un centro trivial y a no es cero.
Si G tuviera un subgrupo H normal propio no trivial , entonces (debido a la minimidad de G ), H y G / H serían resolubles, por lo que G también, lo que contradeciría nuestra suposición. Entonces G es simple.
Si a fuera cero, G sería un grupo q finito , por lo tanto nilpotente y, por lo tanto, resoluble.
De manera similar, G no puede ser abeliano, de lo contrario sería solucionable. Como G es simple, su centro debe ser trivial.
- Hay un elemento g de G que tiene q d conjugados , para algunos d > 0.
Según el primer enunciado del teorema de Sylow , G tiene un subgrupo S de orden p a . Como S es un grupo p no trivial , su centro Z ( S ) no es trivial. Arreglar un elemento no trivial. El número de conjugados de g es igual al índice de su subgrupo estabilizador G g , que divide el índice q b de S (porque S es un subgrupo de G g ). Por tanto, este número tiene la forma q d . Por otra parte, el entero d es estrictamente positivo, puesto que g no es trivial y por lo tanto no central en G .
- Existe una representación irreductible no trivial ρ con carácter χ, tal que su dimensión n no es divisible por q y el número complejo χ ( g ) no es cero.
Sea ( χ i ) 1 ≤ i ≤ h la familia de caracteres irreductibles de G sobre ℂ (aquí χ 1 denota el carácter trivial). Debido a que g no está en la misma clase de conjugación que 1, la relación de ortogonalidad para las columnas de la tabla de caracteres del grupo da:
Ahora la χ i ( g ) son enteros algebraicos , porque son sumas de raíces de la unidad . Si todos los caracteres irreductibles no triviales que no desaparecen en g toman un valor divisible por q en 1, deducimos que
es un entero algebraico (ya que es una suma de múltiplos enteros de enteros algebraicos), lo cual es absurdo. Esto prueba la afirmación.
- El número complejo q d χ ( g ) / n es un número entero algebraico.
El conjunto de funciones de clase con valores enteros en G , Z (ℤ [ G ]), es un anillo conmutativo , generado de forma finita sobre ℤ. Por lo tanto, todos sus elementos son integrales sobre ℤ, en particular el mapeo u que toma el valor 1 en la clase de conjugación de gy 0 en otros lugares.
El mapeo que envía una función de clase f a
es un homomorfismo de anillo. Como ρ ( s ) −1 A ( u ) ρ ( s ) = A ( u ) para todos los s , el lema de Schur implica que A ( u ) es una homotecia λI n . Su traza nλ es igual a
Debido a que la homotecia λI n es la imagen homomórfica de un elemento integral, esto prueba que el número complejo λ = q d χ ( g ) / n es un número entero algebraico.
- El número complejo χ ( g ) / n es un número entero algebraico.
Desde q es primo con n , por la identidad de Bézout existen dos enteros x e y tales que:
Debido a que una combinación lineal con coeficientes enteros de enteros algebraicos es nuevamente un entero algebraico, esto prueba la afirmación.
- La imagen de g , bajo la representación ρ , es una homotecia.
Sea ζ el número complejo χ ( g ) / n . Es un número entero algebraico, por lo que su norma N ( ζ ) (es decir, el producto de sus conjugados , es decir, las raíces de su polinomio mínimo sobre ℚ) es un número entero distinto de cero. Ahora ζ es el promedio de raíces de unidad (los valores propios de ρ ( g )), por lo tanto, también lo son sus conjugados, por lo que todos tienen un valor absoluto menor o igual a 1. Porque el valor absoluto de su producto N ( ζ ) es mayor o igual a 1, su valor absoluto debe ser 1, en particular ζ , lo que significa que los valores propios de ρ ( g ) son todos iguales, por lo que ρ ( g ) es una homotecia.
- Conclusión
Sea N el núcleo de ρ . La homotecia ρ ( g ) es central en Im ( ρ ) (que es canónicamente isomorfo a G / N ), mientras que g no es central en G . En consecuencia, el subgrupo normal N del grupo simple G no es trivial, por lo tanto, es igual a G , lo que contradice el hecho de que ρ es una representación no trivial.
Esta contradicción prueba el teorema.
Referencias
- Bender, Helmut (1972), "Una demostración teórica de grupo del teorema p a q b de Burnside", Math. Z. , 126 : 327–338, doi : 10.1007 / bf01110337 , MR 0322048
- Burnside, W. (1904), "Sobre grupos de orden p α q β " (PDF) , Proc. London Math. Soc. (s2-1 (1)): 388–392, doi : 10.1112 / plms / s2-1.1.388
- Goldschmidt, David M. (1970), "Una demostración teórica de grupo del teorema p a q b para primos impares", Math. Z. , 113 : 373–375, doi : 10.1007 / bf01110506 , MR 0276338
- James, Gordon; y Liebeck, Martin (2001). Representaciones y personajes de grupos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00392-X . Ver capítulo 31.
- Matsuyama, Hiroshi (1973), "Solvabilidad de grupos de orden 2 a q b .", Osaka J. Math. , 10 : 375–378, MR 0323890