En matemáticas y física, las álgebras CCR (después de las relaciones de conmutación canónicas ) y las álgebras CAR (después de las relaciones de anticonmutación canónicas) surgen del estudio mecánico cuántico de bosones y fermiones, respectivamente. Desempeñan un papel destacado en la mecánica estadística cuántica [1] y la teoría cuántica de campos .
CCR y CAR como * -álgebras
Dejar Ser un espacio vectorial real equipado con una forma bilineal antisimétrica real no singular. (es decir, un espacio vectorial simpléctico ). El álgebra unital * generada por elementos de sujeto a las relaciones
para cualquier en se llama álgebra de relaciones de conmutación canónica (CCR) . La singularidad de las representaciones de este álgebra cuandoes de dimensión finita se discute en el teorema de Piedra de von Neumann .
Si está equipado con una forma bilineal simétrica real no singular en cambio, el álgebra unital * generada por los elementos de sujeto a las relaciones
para cualquier en se llama álgebra canónica de relaciones anticonmutación (CAR) .
El álgebra C * de CCR
Hay un significado distinto, pero estrechamente relacionado, del álgebra CCR, llamado álgebra CCR C *. Dejar ser un espacio vectorial simpléctico real con una forma simpléctica no singular . En la teoría de álgebras de operadores , el álgebra CCR sobrees el álgebra C * unital generada por elementos sujeto a
Estos se denominan la forma de Weyl de las relaciones de conmutación canónicas y, en particular, implican que cada es unitario y. Es bien sabido que el álgebra CCR es un álgebra simple no separable y es única hasta el isomorfismo. [2]
Cuándo es un espacio de Hilbert yviene dada por la parte imaginaria del producto interno, el álgebra CCR está fielmente representada en el espacio simétrico de Fock sobre configurando
para cualquier . Los operadores de campo están definidos para cada como generador del grupo unitario de un parámetroen el espacio simétrico de Fock. Estos son autoadjuntos operadores no acotados , sin embargo, que formalmente satisfacen
Como la tarea es lineal real, por lo que los operadores definir un álgebra CCR sobre en el sentido de la Sección 1 .
El álgebra C * de CAR
Dejar ser un espacio de Hilbert. En la teoría de álgebras de operadores, el álgebra CAR es el único C * -completado del complejo unital * -algebra generado por elementos sujeto a las relaciones
para cualquier , . Cuándoes separable el álgebra CAR es un álgebra AF y en el caso especial es de dimensión infinita, a menudo se escribe como . [3]
Dejar ser el espacio antisimétrico de Fock sobre y deja ser la proyección ortogonal sobre vectores antisimétricos:
El álgebra CAR está fielmente representada en configurando
para todos y . El hecho de que estos formen un C * -álgebra se debe al hecho de que los operadores de creación y aniquilación en el espacio antisimétrico de Fock son operadores acotados de buena fe . Además, los operadores de campo satisfacer
dando la relación con la Sección 1 .
Generalización de superalgebra
Dejar ser un real - espacio vectorial graduado equipado con una superforma bilineal antisimétrica no singular (es decir ) tal que es real si cualquiera o es un elemento par e imaginario si ambos son impares. El álgebra unital * generada por los elementos de sujeto a las relaciones
para dos elementos puros cualesquiera en es la obvia generalización de superalgebra que unifica CCR con CAR: si todos los elementos puros son pares, se obtiene un CCR, mientras que si todos los elementos puros son impares, se obtiene un CAR.
En matemáticas, la estructura abstracta de las álgebras CCR y CAR, sobre cualquier campo, no solo los números complejos, se estudia con el nombre de álgebras de Weyl y Clifford , donde se han acumulado muchos resultados significativos. Uno de ellos es que las generalizaciones graduadas de las álgebras de Weyl y Clifford permiten la formulación sin bases de las relaciones canónicas de conmutación y anticonmutación en términos de una forma bilineal simétrica y simétrica no degenerada. Además, los elementos binarios en este álgebra de Weyl graduada dan una versión libre de bases de las relaciones de conmutación de las álgebras de Lie ortogonales simplécticas e indefinidas . [4]
Ver también
- Estadísticas de Bose-Einstein
- Estadísticas de Fermi – Dirac
- Glosario de teoría de cuerdas
- Grupo Heisenberg
- Transformación de Bogoliubov
- (−1) F
Referencias
- ^ Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W. (1997). Álgebras de operador y mecánica estadística cuántica: v.2 . Springer, 2ª ed. ISBN 978-3-540-61443-2.
- ^ Petz, Denes (1990). Una invitación al álgebra de las relaciones de conmutación canónica . Prensa de la Universidad de Lovaina. ISBN 978-90-6186-360-1.
- ^ Evans, David E .; Kawahigashi, Yasuyuki (1998). Simetrías cuánticas en álgebras de operadores . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-851175-5..
- ^ Roger Howe (1989). "Observaciones sobre la teoría clásica invariante" . Transacciones de la American Mathematical Society . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090 / S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR 2001418 .