En matemáticas , la forma única tautológica es una forma 1 especial definida en el paquete cotangente de un colector . En la física , se utiliza para crear una correspondencia entre la velocidad de un punto en un sistema mecánico y su impulso, proporcionando así un puente entre la mecánica lagrangiana con mecánica hamiltoniana (en el colector).
La derivada exterior de esta forma define una forma simpléctica que dala estructura de una variedad simpléctica . La forma tautológica de una sola forma juega un papel importante en la relación del formalismo de la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana . La forma única tautológica a veces también se llama la forma única de Liouville , la forma única de Poincaré , la forma única canónica o el potencial simpléctico . Un objeto similar es el campo vectorial canónico en el paquete tangente .
Para definir el tautológico de una forma, seleccione un gráfico de coordenadas en y un sistema de coordenadas canónico en Elige un punto arbitrario Por definición de paquete cotangente, dónde y La forma única tautológica es dado por
con y siendo la representación de coordenadas de
Cualquier coordenadas en que conservan esta definición, hasta un diferencial total ( forma exacta ), pueden denominarse coordenadas canónicas; las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas canónicas se conocen como transformaciones canónicas .
La forma simpléctica canónica , también conocida como dos formas de Poincaré , viene dada por
La extensión de este concepto a los haces de fibras generales se conoce como forma de soldadura . Por convención, se usa la frase "forma canónica" siempre que la forma tenga una definición canónica única, y se usa el término "forma de soldadura", siempre que se deba hacer una elección arbitraria. En geometría algebraica y geometría compleja se desaconseja el término "canónico", debido a la confusión con la clase canónica , y se prefiere el término "tautológico", como en paquete tautológico .
Interpretación física
Las variables deben entenderse como coordenadas generalizadas , de modo que un puntoes un punto en el espacio de configuración . El espacio tangente corresponde a velocidades, de modo que si se mueve por un camino , la velocidad instantánea en corresponde un punto
en el colector tangente , para la ubicación dada del sistema en el punto . Las velocidades son apropiadas para la formulación lagrangiana de la mecánica clásica, pero en la formulación hamiltoniana se trabaja con momentos y no con velocidades; el tautológico de una forma es un dispositivo que convierte velocidades en momentos.
Es decir, la forma única tautológica asigna un valor numérico al impulso para cada velocidad , y más: lo hace de manera que apunten "en la misma dirección", y linealmente, de manera que las magnitudes crezcan proporcionalmente. Se le llama "tautológico" precisamente porque, "por supuesto", la velocidad y los momentos son necesariamente proporcionales entre sí. Es una especie de forma de soldadura , porque "pega" o "suelda" cada velocidad a un momento correspondiente. La elección del encolado es única; cada vector de momento corresponde a un solo vector de velocidad, por definición. Se puede pensar en la forma tautológica única como un dispositivo para convertir de la mecánica lagrangiana a la mecánica hamiltoniana.
Definición sin coordenadas
La forma 1 tautológica también se puede definir de forma bastante abstracta como una forma en el espacio de fase . Dejar ser un múltiple y ser el paquete cotangente o el espacio de fase . Dejar
ser la proyección canónica del haz de fibras, y dejar
ser el mapa de la tangente inducida . Dejar ser un punto en . Desde es el paquete cotangente, podemos entender para ser un mapa del espacio tangente en :
- .
Es decir, tenemos eso está en la fibra de . La forma única tautológica en el punto entonces se define como
- .
Es un mapa lineal
y entonces
- .
Potencial simpléctico
El potencial simpléctico generalmente se define un poco más libremente, y también solo se define localmente: es cualquier forma única tal que ; en efecto, los potenciales simplécticos se diferencian de la forma 1 canónica por una forma cerrada .
Propiedades
La forma única tautológica es la forma única única que "cancela" el retroceso . Es decir, deja ser una forma 1 en es una sección Para una forma 1 arbitraria en el retroceso de por es, por definición, Aquí, es el empujón de Como es una forma 1 en La forma única tautológica es la única forma con la propiedad que por cada 1 forma en
Prueba. |
Para un gráfico en (dónde dejar ser las coordenadas en donde la fibra se coordina están asociados con la base lineal Por supuesto, para cada o Resulta que lo que implica que Paso 1. Tenemos Paso 1'. Para completar, ahora damos una prueba sin coordenadas de que para cualquier 1 forma Observe que, hablando intuitivamente, para cada y el mapa lineal en la definición de proyecta el espacio tangente en su subespacio Como consecuencia, para cada y dónde es la instancia de en el punto es decir Aplicando la definición sin coordenadas de a obtener Paso 2. Basta con demostrar que Si para cada forma única Dejar dónde Sustituyendo en la identidad obtener o equivalentemente, para cualquier elección de funciones Dejar dónde En este caso, Para cada y Esto muestra que en y la identidad debe ser válido para una elección arbitraria de funciones Si (con indicando superíndice) luego y la identidad se vuelve para cada y Desde vemos eso Mientras para todos Por otro lado, la función es continuo, y por lo tanto en |
Entonces, por la conmutación entre el retroceso y la derivada exterior,
- .
Acción
Si es un hamiltoniano en el paquete cotangente yes su flujo hamiltoniano , entonces la acción correspondiente es dado por
- .
En términos más prosaicos, el flujo hamiltoniano representa la trayectoria clásica de un sistema mecánico que obedece a las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi . El flujo hamiltoniano es la integral del campo vectorial hamiltoniano, por lo que se escribe, usando la notación tradicional para las variables de ángulo de acción :
con la integral entendida como asumida sobre el colector definido manteniendo la energía constante: .
En espacios métricos
Si el colector tiene una Riemann o pseudoriemanniana métrica , entonces se pueden hacer las definiciones correspondientes en términos de coordenadas generalizadas . Específicamente, si tomamos la métrica como un mapa
- ,
entonces define
y
En coordenadas generalizadas en , uno tiene
y
La métrica permite definir una esfera de radio unitario en . La única forma canónica restringida a esta esfera forma una estructura de contacto ; la estructura de contacto puede usarse para generar el flujo geodésico para esta métrica.
Referencias
- Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X Consulte la sección 3.2 .