tesseract | Tesseract cantelado | 16 celdas canteladas ( 24 celdas rectificadas ) |
16 celdas | Tesseract cantitruncado | Cantitruncado de 16 celdas ( Truncado de 24 celdas ) |
Proyecciones ortogonales en el plano A 4 Coxeter |
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En geometría de cuatro dimensiones , un tesseract cantelado es un 4-politopo convexo uniforme , siendo una cantelación (un truncamiento de segundo orden) del tesseract regular .
Hay cuatro grados de cantelaciones del tesseract incluso con permutaciones truncadas. Dos también se derivan de la familia de 24 células.
Tesseract cantelado
Tesseract cantelado | ||
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Diagrama de Schlegel Centrado en celdas octaédricas rombicuboctaedro mostradas | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | rr {4,3,3} | |
Diagrama de Coxeter | ||
Células | 56 | 8 3.4.4.4 16 3.3.3.3 32 3.4.4 |
Caras | 248 | 128 {3} 120 {4} |
Bordes | 288 | |
Vértices | 96 | |
Figura de vértice | Cuña cuadrada | |
Grupo de simetría | B 4 , [3,3,4], orden 384 | |
Propiedades | convexo | |
Índice uniforme | 13 14 15 |
El tesseract cantellated , bicantellated de 16 células , o pequeña tesseract rhombated es una convexa uniforme 4-politopo o 4-dimensional politopo delimitada por 56 células : 8 pequeña rhombicuboctahedra , 16 octaedros , y 32 prismas triangulares .
Construcción
En el proceso de cantelación , las 2 caras de un politopo se encogen efectivamente. El rombicuboctaedro se puede llamar cubo cantelado, ya que si sus seis caras se encogen en sus respectivos planos, cada vértice se separará en los tres vértices de los triángulos del rombicuboctaedro, y cada borde se separará en dos de los bordes opuestos de los rombicuboctaedros doce no -cuadrados axiales.
Cuando se aplica el mismo proceso al tesseract, cada uno de los ocho cubos se convierte en un rombicuboctaedro de la forma descrita. Sin embargo, además, dado que el borde de cada cubo se compartía previamente con otros dos cubos, los bordes de separación forman los tres bordes paralelos de un prisma triangular: 32 prismas triangulares, ya que había 32 bordes. Además, dado que cada vértice se compartió previamente con otros tres cubos, el vértice se dividiría en 12 en lugar de tres nuevos vértices. Sin embargo, dado que algunas de las caras reducidas continúan compartiéndose, ciertos pares de estos 12 vértices potenciales son idénticos entre sí y, por lo tanto, solo se crean 6 nuevos vértices a partir de cada vértice original (de ahí los 96 vértices del tesseract cantelado en comparación con los 16 vértices del tesseract. ). Estos seis nuevos vértices forman los vértices de un octaedro: 16 octaedros, ya que el tesseract tenía 16 vértices.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un teseracto cantelado con una longitud de borde 2 están dadas por todas las permutaciones de:
Estructura
Las 8 pequeñas células rombicuboctaédricas se unen entre sí a través de sus caras cuadradas axiales. Sus caras cuadradas no axiales, que se corresponden con los bordes de un cubo, están conectadas a los prismas triangulares. Las caras triangulares de los pequeños rombicuboctaedros y los prismas triangulares están conectadas a los 16 octaedros.
Su estructura se puede imaginar por medio del propio tesseract: los rombicuboctaedros son análogos a las células del tesseract, los prismas triangulares son análogos a los bordes del tesseract y los octaedros son análogos a los vértices del tesseract.
Imagenes
Avión de Coxeter | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
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Grafico | |||
Simetría diedro | [8] | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | F 4 | A 3 | |
Grafico | |||
Simetría diedro | [12/3] | [4] |
Estructura alámbrica | Se muestran 16 octaedros . | Se muestran 32 prismas triangulares . |
Proyecciones
El siguiente es el diseño de las células del teseracto cantelado bajo la proyección paralela en un espacio tridimensional, primero el rombicuboctaedro pequeño:
- La envolvente de proyección es un cubo truncado .
- Las pequeñas células rombicuboctaédricas más cercanas y más lejanas desde el punto de vista 4D se proyectan al volumen de la misma forma inscrito en la envolvente de proyección.
- Los cuadrados axiales de este pequeño rombicuboctaedro central tocan los centros de los 6 octágonos de la envoltura. Los octágonos son la imagen de las otras 6 pequeñas células rombicuboctaédricas.
- Los 12 volúmenes en forma de cuña que conectan las caras cuadradas no axiales del pequeño rombicuboctaedro central con los octágonos vecinos son las imágenes de 24 de los prismas triangulares.
- Los 8 prismas triangulares restantes se proyectan sobre las caras triangulares del sobre.
- Entre las caras triangulares de la envoltura y las caras triangulares del pequeño rombicuboctaedro central hay 8 volúmenes octaédricos, que son las imágenes de las 16 celdas octaédricas.
Esta disposición de celdas en proyección es análoga a la disposición de caras en la proyección del cubo truncado en 2 dimensiones. Por lo tanto, el tesseract cantelado puede considerarse como un análogo del cubo truncado en 4 dimensiones. (No es el único análogo posible; otro candidato cercano es el tesseract truncado ).
Otro 4-politopo uniforme con un diseño similar de celdas es el runcitruncado de 16 celdas .
Tesseract cantitruncado
Tesseract cantitruncado | ||
Diagrama de Schlegel centrado en una celda cuboctaedro truncada con caras octogonales ocultas. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | tr {4,3,3} | |
Diagramas de Coxeter | ||
Células | 56 | 8 4.6.8 16 3.6.6 32 3.4.4 |
Caras | 248 | 64 {3} 96 {4} 64 {6} 24 {8} |
Bordes | 384 | |
Vértices | 192 | |
Figura de vértice | Esfenoides | |
Grupo de simetría | B 4 , [3,3,4], orden 384 | |
Propiedades | convexo | |
Índice uniforme | 17 18 19 |
En geometría , el tesseract cantitruncated o gran tesseract rhombated es un uniforme 4-politopo (o 4-dimensional uniforme politopo ) que está delimitado por 56 células : 8 cuboctahedra truncado , 16 tetraedro truncado , y 32 prismas triangulares .
Construcción
El tesseract cantitruncado se construye mediante el cantitruncation del tesseract . La cantitruncación se considera a menudo como una rectificación seguida de un truncamiento. Sin embargo, el resultado de esta construcción sería un politopo que, si bien su estructura sería muy similar a la dada por cantitruncación, no todas sus caras serían uniformes.
Alternativamente, se puede construir un teseracto cantitruncado uniforme colocando 8 cuboctaedros truncados uniformes en los hiperplanos de las celdas de un tesseracto, desplazados a lo largo de los ejes de coordenadas de modo que sus caras octagonales coincidan. Para una longitud de borde de 2, esta construcción da las coordenadas cartesianas de sus vértices como todas las permutaciones de:
Estructura
Los 8 cuboctaedros truncados se unen entre sí a través de sus caras octogonales, en una disposición que corresponde a las 8 celdas cúbicas del tesseract. Se unen a los 16 tetraedros truncados a través de sus caras hexagonales, y sus caras cuadradas se unen a las caras cuadradas de los 32 prismas triangulares. Las caras triangulares de los prismas triangulares se unen al tetraedro truncado.
Los tetraedros truncados se corresponden con los vértices del tesseract, y los prismas triangulares se corresponden con los bordes del tesseract.
Imagenes
Avión de Coxeter | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [8] | [6] | [4] |
Avión de Coxeter | F 4 | A 3 | |
Grafico | |||
Simetría diedro | [12/3] | [4] |
Una proyección estereográfica de la tesseract cantitruncated, como un embaldosado en una 3-esfera , con sus 64 triángulos azules, 96 cuadrados verdes y 64 caras hexagonales rojos (las caras octogonales no están dibujados). |
Proyecciones
En la primera proyección paralela del cuboctaedro truncado en 3 dimensiones, las celdas del teseracto cantitruncado se disponen de la siguiente manera:
- La envolvente de proyección es un cubo truncado no uniforme , con bordes más largos entre octágonos y bordes más cortos en los 8 triángulos.
- Las caras octogonales irregulares de la envolvente se corresponden con las imágenes de 6 de las 8 celdas cuboctaédricas truncadas.
- Las otras dos células cuboctaédricas truncadas se proyectan a un cuboctaedro truncado inscrito en la envolvente de proyección. Las caras octogonales tocan los octágonos irregulares del sobre.
- En los espacios correspondientes a las aristas de un cubo se encuentran 12 volúmenes en forma de prismas triangulares irregulares. Estas son las imágenes, una por par, de 24 de las celdas del prisma triangular.
- Los 8 prismas triangulares restantes se proyectan sobre las caras triangulares de la envolvente de proyección.
- Los 8 espacios restantes, correspondientes a las esquinas de un cubo, son las imágenes de los 16 tetraedros truncados, un par para cada espacio.
Este diseño de células en proyección es similar al del tesseract cantelado.
Nombres alternativos
- Teseracto cantitruncado ( Norman W. Johnson )
- Cantitruncado de 4 cubos
- Cantitruncado de 8 celdas
- Octacoron cantitruncado
- Grandes prismatotesseractihexadecachoron (George Olshevsky)
- Grit (Jonathan Bowers: para un gran tesseract rombado)
- 012-ambón tesseract ( John Conway )
Politopos uniformes relacionados
Politopos de simetría B4 | |||||||||||
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Nombre | tesseract | tesseract rectificado | tesseract truncado | tesseract cantelado | tesseract runcinated | tesseract bitruncado | tesseract cantitruncado | tesseract truncado | tesseract omnitruncado | ||
Diagrama de Coxeter | = | = | |||||||||
Símbolo de Schläfli | {4,3,3} | t 1 {4,3,3} r {4,3,3} | t 0,1 {4,3,3} t {4,3,3} | t 0,2 {4,3,3} rr {4,3,3} | t 0,3 {4,3,3} | t 1,2 {4,3,3} 2t {4,3,3} | t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3} | t 0,1,3 {4,3,3} | t 0,1,2,3 {4,3,3} | ||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
B 4 | |||||||||||
Nombre | 16 celdas | rectificado de 16 celdas | 16 celdas truncadas | 16 celdas canteladas | runcinated de 16 celdas | bitruncado de 16 celdas | cantitruncado de 16 celdas | runcitruncated 16 celdas | 16 celdas omnitruncadas | ||
Diagrama de Coxeter | = | = | = | = | = | = | |||||
Símbolo de Schläfli | {3,3,4} | t 1 {3,3,4} r {3,3,4} | t 0,1 {3,3,4} t {3,3,4} | t 0,2 {3,3,4} rr {3,3,4} | t 0,3 {3,3,4} | t 1,2 {3,3,4} 2t {3,3,4} | t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4} | t 0,1,3 {3,3,4} | t 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Diagrama de Schlegel | |||||||||||
B 4 |
Es el segundo de una serie de hipercubos cantitruncados:
Cuboctaedro truncado | Tesseract cantitruncado | Cantitruncado de 5 cubos | Cantitruncado de 6 cubos | Cantitruncado de 7 cubos | Cantitruncado de 8 cubos |
Referencias
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- HSM Coxeter :
- Coxeter, Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3ª edición, Dover Nueva York, 1973, pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
- 2. Policora uniforme convexa basada en tesseract (8 celdas) y hexadecachoron (16 celdas) - Modelo 14, 18 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora)" . o3x3o4x - srit, o3x3x4x - grit
- Modelo en papel de tesseract cantitruncado creado utilizando redes generadas por el software Stella4D
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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