En la topología tridimensional , una parte del campo matemático de la topología geométrica , el invariante de Casson es un invariante con valores enteros de las 3 esferas de homología integral orientada , presentado por Andrew Casson .
Kevin Walker (1992) encontró una extensión a las 3-esferas de homología racional , llamada invariante de Casson-Walker , y Christine Lescop (1995) extendió la invariante a todas las variedades de 3 orientadas cerradas .
Definición
Un invariante de Casson es un mapa sobreyectivo λ de homología integral orientada de 3 esferas a Z que satisface las siguientes propiedades:
- λ ( S 3 ) = 0.
- Sea Σ una homología integral de 3 esferas. Entonces, para cualquier nudo K y para cualquier entero n , la diferencia
- es independiente de n . Aquí denota Cirugía de Dehn en Σ por K .
- Para cualquier enlace de límite K ∪ L en Σ la siguiente expresión es cero:
El invariante de Casson es único (con respecto a las propiedades anteriores) hasta una constante multiplicativa general.
Propiedades
- Si K es el trébol, entonces
- .
- El invariante de Casson es 1 (o -1) para la esfera de homología de Poincaré .
- El invariante de Casson cambia de signo si se invierte la orientación de M.
- El invariante de Rokhlin de M es igual al invariante de Casson mod 2.
- El invariante de Casson es aditivo con respecto a la suma conectada de las 3 esferas de homología.
- El invariante de Casson es una especie de característica de Euler para la homología de Floer .
- Para cualquier número entero n
- dónde es el coeficiente de en el polinomio de Alexander-Conway, Y es congruente (mod 2) a la invariante Arf de K .
- El invariante de Casson es la parte de grado 1 del invariante Le – Murakami – Ohtsuki .
- El invariante de Casson para la variedad Seifert viene dada por la fórmula:
- dónde
El invariante de Casson como recuento de representaciones
Hablando informalmente, el invariante de Casson cuenta la mitad del número de clases de conjugación de representaciones del grupo fundamental de una homología de 3 esferas M en el grupo SU (2) . Esto se puede precisar de la siguiente manera.
El espacio de representación de un M de 3 colectores orientado compacto se define como dónde denota el espacio de representaciones SU (2) irreductibles de . Para una división de Heegaard de , el invariante de Casson es igual a veces la intersección algebraica de con .
Generalizaciones
3 esferas de homología racional
Kevin Walker encontró una extensión del invariante de Casson a las 3 esferas de homología racional . Un invariante de Casson-Walker es un mapa sobreyectivo λ CW de 3 esferas de homología racional orientada a Q que satisface las siguientes propiedades:
1. λ ( S 3 ) = 0.
2. Para cada presentación de cirugía Dehn de 1 componente ( K , μ) de una esfera de homología racional orientada M ′ en una esfera de homología racional orientada M :
dónde:
- m es un meridiano orientado de un nudo K y μ es la curva característica de la cirugía.
- ν es un generador del núcleo del mapa natural H 1 (∂ N ( K ), Z ) → H 1 ( M - K , Z ).
- es la forma de intersección en la vecindad tubular del nudo, N ( K ).
- Δ es el polinomio de Alexander normalizado de modo que la acción de t corresponde a una acción del generador deen la cobertura cíclica infinita de M - K , y es simétrico y se evalúa a 1 en 1.
- donde x , y son generadores de H 1 (∂ N ( K ), Z ) tales que , v = δ y para un entero δ y s ( p , q ) es la suma de Dedekind .
Tenga en cuenta que para las esferas de homología de enteros, la normalización de Walker es el doble que la de Casson: .
Colectores de 3 orientados compactos
Christine Lescop definió una extensión λ CWL del invariante de Casson-Walker a 3-variedades compactas orientadas . Se caracteriza únicamente por las siguientes propiedades:
- Si el primer número Betti de M es cero,
- .
- Si el primer número Betti de M es uno,
- donde Δ es el polinomio de Alexander normalizado para ser simétrico y tomar un valor positivo en 1.
- Si el primer número Betti de M es dos,
- donde γ es la curva orientada dada por la intersección de dos generadores de y es la curva paralela a γ inducida por la trivialización de la vecindad tubular de γ determinada por .
- Si el primer número Betti de M es tres, entonces para a , b , c una base para, luego
- .
- Si el primer número Betti de M es mayor que tres,.
El invariante Casson-Walker-Lescop tiene las siguientes propiedades:
- Si la orientación de M , entonces si el primer número de Betti de M es impar, el invariante de Casson-Walker-Lescop no cambia, de lo contrario cambia de signo.
- Para conectar sumas de colectores
SOL)
En 1990, C. Taubes demostró que el invariante SU (2) Casson de una esfera M de 3 homología tiene una interpretación teórica de gauge como la característica de Euler, dónde es el espacio de las conexiones SU (2) en M yes el grupo de transformaciones de calibre. Consideraba el invariante de Chern-Simons como un-función Morse valorada eny usó invariancia bajo perturbaciones para definir un invariante que él equiparó con el invariante SU (2) Casson. ( Taubes (1990) )
H. Boden y C. Herald (1998) utilizaron un enfoque similar para definir un invariante de Casson SU (3) para las 3 esferas de homología integral.
Referencias
- Selman Akbulut y John McCarthy, invariante de Casson para las 3 esferas de homología orientada: una exposición. Notas matemáticas, 36. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1990. ISBN 0-691-08563-3
- Michael Atiyah , Nuevos invariantes de variedades de 3 y 4 dimensiones. La herencia matemática de Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 285-299, Proc. Simpos. Pure Math., 48, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1988.
- Hans Boden y Christopher Herald, El invariante SU (3) Casson para 3 esferas de homología integral. Journal of Differential Geometry 50 (1998), 147-206.
- Christine Lescop, fórmula de cirugía global para el invariante de Casson-Walker. 1995, ISBN 0-691-02132-5
- Nikolai Saveliev, Conferencias sobre la topología de 3 colectores: una introducción al Invariante de Casson. de Gruyter, Berlín, 1999. ISBN 3-11-016271-7ISBN 3-11-016272-5
- Taubes, Clifford Henry (1990), "Teoría invariante y de calibre de Casson", Journal of Differential Geometry , 31 : 547–599
- Kevin Walker, una extensión del invariante de Casson. Annals of Mathematics Studies, 126. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1992. ISBN 0-691-08766-0ISBN 0-691-02532-0