Esfera de homología

En topología algebraica , una esfera de homología es una n - variedad X que tiene los grupos de homología de una n - esfera , para algún número entero . Eso es, ${\ estilo de visualización n \ geq 1}$

Por lo tanto , X es un espacio conexo , con un número de Betti superior distinto de cero , a saber, . No se sigue que X sea simplemente conexo , solo que su grupo fundamental es perfecto (ver el teorema de Hurewicz ). ${\ estilo de visualización b_ {n} = 1}$

La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de una esfera de homología, construida por primera vez por Henri Poincaré . Al ser una 3-variedad esférica , es la única 3-esfera de homología (además de la propia 3-esfera ) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como el grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Dado que el grupo fundamental de la 3-esfera es trivial, esto muestra que existen 3-variedades con los mismos grupos de homología que la 3-esfera que no son homeomorfas a eso.

Una construcción simple de este espacio comienza con un dodecaedro . Cada cara del dodecaedro se identifica con su cara opuesta, utilizando el giro mínimo en el sentido de las agujas del reloj para alinear las caras. Al unir cada par de caras opuestas usando esta identificación, se obtiene una variedad triple cerrada. (Consulte el espacio de Seifert-Weber para una construcción similar, usando más "giro", que da como resultado una variedad hiperbólica de 3 ).

Alternativamente, la esfera de homología de Poincaré se puede construir como el espacio cociente SO(3) /I donde I es el grupo icosaédrico (es decir, el grupo de simetría rotacional del icosaedro regular y el dodecaedro, isomorfo al grupo alterno ). Más intuitivamente, esto significa que la esfera de homología de Poincaré es el espacio de todas las posiciones geométricamente distinguibles de un icosaedro (con centro y diámetro fijos) en el espacio tridimensional euclidiano. En cambio, también se puede pasar a la cubierta universal de SO(3) que se puede realizar como el grupo de cuaterniones unitarios y es homeomorfo ${\ estilo de visualización A_ {5}}$ a la 3-esfera. En este caso, la esfera de homología de Poincaré es isomorfa a donde se encuentra el grupo icosaédrico binario , la doble cubierta perfecta del I incrustado en . $S^{3}/{\widetilde {I}}$ ${\widetilde {I}}$ ${\ estilo de visualización S^{3}}$

Otro enfoque es la cirugía de Dehn . La esfera de homología de Poincaré resulta de la cirugía +1 en el nudo del trébol derecho .