En matemáticas , especialmente en la teoría de categorías ( superiores ) , el álgebra de dimensiones superiores es el estudio de estructuras categorizadas . Tiene aplicaciones en topología algebraica no beliana y generaliza el álgebra abstracta .
Categorías de mayor dimensión
Un primer paso hacia la definición de las álgebra de dimensiones superiores es el concepto de 2-categoría de teoría de la categoría más alta , seguida por el concepto más 'geométrico' de doble categoría . [1] [2]
Por tanto, un concepto de nivel superior se define como una categoría de categorías, o supercategoría, que generaliza a dimensiones superiores la noción de categoría , considerada como cualquier estructura que sea una interpretación de los axiomas de Lawvere de la teoría elemental de categorías abstractas (ETAC ). [3] [4] Ll.
, [5] [6] Por lo tanto, una supercategoría y también una supercategoría , se pueden considerar como extensiones naturales de los conceptos de metacategoría , [7] multicategoría y multigrafo, grafo de k- partita o grafo de color. (ver una figura en color y también su definición en la teoría de grafos ).
Categorías superiores se introdujeron por primera vez en 1970, [8] y se desarrollaron posteriormente para aplicaciones en la física teórica (especialmente la teoría de campo cuántica y teoría cuántica de campos topológica ) y la biología matemática o biofísica matemáticos . [9]
Otras vías en el álgebra de dimensiones superiores involucran: bicategorías , homomorfismos de bicategorías, categorías de variables ( también conocidas como categorías indexadas o parametrizadas ), topoi , descenso efectivo y categorías enriquecidas e internas .
Grupóides dobles
En álgebra de dimensiones superiores ( HDA ), un grupoide doble es una generalización de un grupoide unidimensional a dos dimensiones, [10] y el último grupoide puede considerarse como un caso especial de una categoría con todas las flechas invertibles o morfismos .
Los grupos dobles se utilizan a menudo para capturar información sobre objetos geométricos , como variedades de dimensiones superiores (o variedades n- dimensionales ). [11] En general, una variedad n- dimensional es un espacio que localmente parece un espacio euclidiano n- dimensional , pero cuya estructura global puede ser no euclidiana .
Ronald Brown introdujo por primera vez los grupos dobles en 1976, en la ref. [11] y se desarrollaron aún más hacia aplicaciones en topología algebraica no beliana . [12] [13] [14] [15] Un relacionada, el concepto 'dual' es la de un doble algebroide , y el concepto más general de R-algebroide .
Topología algebraica no beliana
Ver topología algebraica no beliana
Aplicaciones
Física teórica
En la teoría cuántica de campos existen categorías cuánticas . [16] [17] [18] y grupoides dobles cuánticos . [19] Se puede considerar que los grupos cuánticos dobles son grupos fundamentales definidos a través de un 2-functor , lo que permite pensar en el caso físicamente interesante de los grupos cuánticos fundamentales (QFG) en términos de la bicategoría Span (Groupoids) , y luego construir 2- Espacios de Hilbert y 2- mapas lineales para variedades y cobordismos . En el siguiente paso, se obtienen cobordismos con esquinas a través de transformaciones naturales de dichos 2-functores. Luego se hizo una afirmación de que, con el grupo gauge SU (2) , " el TQFT extendido , o ETQFT, da una teoría equivalente al modelo Ponzano-Regge de gravedad cuántica "; [19] de manera similar, el modelo de Turaev-Viro se obtendría entonces con representaciones de SU q (2). Por lo tanto, se puede describir el espacio de estados de una teoría de gauge, o muchos tipos de teorías cuánticas de campos (QFT) y física cuántica local, en términos de los grupos de transformación dados por las simetrías, como por ejemplo en el caso de una teoría de gauge, por las transformaciones de gauge que actúan sobre estados que son, en este caso, conexiones. En el caso de las simetrías relacionadas con los grupos cuánticos , se obtendrían estructuras que son categorías de representación de los grupoides cuánticos , [16] en lugar de los espacios de 2 vectores que son categorías de representación de los grupoides.
Ver también
- Cronología de la teoría de categorías y matemáticas relacionadas
- Teoría de categorías superiores
- Ronald Brown
- Mentira algebroid
- Grupóide doble
- Geometría anabeliana
- Geometría no conmutativa
- Álgebra categórica
- Teoría de Galois de Grothendieck
- Topología de Grothendieck
- Dinámica topológica
- Dinámica categórica
- Módulo cruzado
- Pseudoálgebra
- Campos de aplicación en física cuántica:
- Topología algebraica cuántica
- Geometría cuántica
- Gravedad cuántica
- Grupo cuántico
- Teoría de campos cuánticos topológicos
- Teoría del campo cuántico local
Notas
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- ^ http://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html Categorías monoidales rígidas
- ^ "Una nota sobre los grupos cuánticos" . 2009-03-18.
- ^ a b http://theoreticalatlas.wordpress.com/2009/03/18/a-note-on-quantum-groupoids/ 18 de marzo de 2009. A Note on Quantum Groupoids, publicado por Jeffrey Morton bajo C * -algebras, teoría de la deformación, grupoides, geometría no conmutativa, cuantificación
Otras lecturas
- Brown, R .; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, groupoides homotópicos cúbicos . Tracts Vol 15. Sociedad Matemática Europea. arXiv : matemáticas / 0407275 . doi : 10.4171 / 083 . ISBN 978-3-03719-083-8.( PDF descargable disponible )
- Brown, R .; Spencer, CB (1976). "Grupos dobles y módulos cruzados". Top Cahiers. Géom. Dif . 17 : 343–362.
- Brown, R .; Mosa, GH (1999). "Categorías dobles, estructuras y conexiones delgadas". Teoría y aplicaciones de categorías . 5 : 163-175.
- Brown, R. (2002). Estructuras categóricas para el descenso y teoría de Galois . Instituto Fields .
- Brown, R. (1987). "De grupos a groupoids: una breve encuesta" (PDF) . Boletín de la London Mathematical Society . 19 (2): 113-134. CiteSeerX 10.1.1.363.1859 . doi : 10.1112 / blms / 19.2.113 . hdl : 10338.dmlcz / 140413 .Esto da algo de la historia de los grupoides, a saber, los orígenes en el trabajo de Heinrich Brandt sobre formas cuadráticas, y una indicación de trabajos posteriores hasta 1987, con 160 referencias.
- Brown, R. "Teoría de grupos de dimensiones superiores" .. Un artículo web con muchas referencias que explica cómo el concepto grupoide ha llevado a nociones de grupoides de dimensiones superiores, no disponibles en la teoría de grupos, con aplicaciones en la teoría de la homotopía y en la cohomología de grupos.
- Brown, R .; Higgins, PJ (1981). "Sobre el álgebra de cubos". Revista de álgebra pura y aplicada . 21 (3): 233–260. doi : 10.1016 / 0022-4049 (81) 90018-9 .
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- R., Brown (2006). Topología y Groupoids . Booksurge . ISBN 978-1-4196-2722-4. Edición revisada y ampliada de un libro publicado anteriormente en 1968 y 1988. Versión electrónica disponible en el sitio web.
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