Categoría de anillos

En matemáticas, categoría cuyos objetos son anillos.

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo
Conceptos básicos Anillos • Subanillos • Ideal • Anillo de cociente • Ideal fraccional • Anillo total de fracciones • Anillo de producto • Producto gratuito de álgebras asociativas • Producto tensorial de álgebras Homomorfismos de anillo • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo de Frobenius Estructuras algebraicas • Módulo • Álgebra asociativa • Anillo graduado • Anillo involutivo • Categoría de anillos • Timbre inicial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anillo terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Estructuras relacionadas • Campo • Campo finito • Anillo no asociativo • Anillo de mentira • Anillo de Jordan • Semiring • Semicampo
Álgebra conmutativa Anillos conmutativos • Dominio integral • Dominio integralmente cerrado • Dominio GCD • Dominio de factorización único • Dominio ideal principal • Dominio euclidiano • Campo • Campo finito • Anillo de composición • Anillo polinomial • Anillo formal de la serie power Teoría algebraica de números • Campo numérico algebraico • Anillo de números enteros • Independencia algebraica • Teoría de números trascendental • Grado de trascendencia p - teoría de números ádicos y decimales • Límite directo / límite inverso • Anillo cero ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Enteros módulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anillo circular p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Racionales p -ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -enteros ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -números ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solenoide p -ádico ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometría algebraica • Variedad afín
Álgebra no conmutativa Anillos no conmutativos • Anillo de división • Anillo semiprimitivo • Anillo simple • Conmutador Geometría algebraica no conmutativa Álgebra libre Álgebra de Clifford • Álgebra geométrica Álgebra de operadores
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En matemáticas , la categoría de anillos , denotada por Ring , es la categoría cuyos objetos son anillos (con identidad) y cuyos morfismos son homomorfismos de anillo (que preservan la identidad). Como muchas categorías en matemáticas, la categoría de anillos es grande , lo que significa que la clase de todos los anillos es la adecuada .

Como categoría concreta

La categoría Ring es una categoría concreta, lo que significa que los objetos son conjuntos con estructura adicional (suma y multiplicación) y los morfismos son funciones que preservan esta estructura. Hay un functor olvidadizo natural

U  : Anillo → Establecer

para la categoría de anillos a la categoría de conjuntos que envía cada anillo a su conjunto subyacente (así "olvidando" las operaciones de suma y multiplicación). Este functor tiene un adjunto izquierdo

F  : Establecer → Anillo

que asigna a cada conjunto X el anillo libre generado por X .

También se puede ver la categoría de anillos como una categoría concreta sobre Ab (la categoría de grupos abelianos ) o sobre Mon (la categoría de monoides ). Específicamente, hay functors olvidadizos

A  : Anillo → Ab

M  : Anillo → Mon

que "olvidan" la multiplicación y la suma, respectivamente. Ambos functores han dejado adjuntos. El adjunto izquierdo de A es el funtor que asigna a cada grupo abeliano X (considerados como un Z - módulo ) el anillo tensor T ( X ). El adjunto izquierdo de M es el funtor que asigna a cada monoide X el anillo monoide integral Z [ X ].

Propiedades

Límites y colimits

La categoría Ring es tanto completa como cocompleta , lo que significa que todos los pequeños límites y colimits existen en Ring . Como muchas otras categorías algebraicas, el functor olvidadizo U  : Ring → Set crea (y preserva) límites y colimits filtrados , pero no preserva ni coproductos ni coecualizadores . Los functors olvidadizos de Ab y Mon también crean y preservan límites.

Ejemplos de límites y colimits en Ring incluyen:

• El anillo de números enteros Z es un objeto inicial en Ring .
• El anillo cero es un objeto terminal en Ring .
• El producto en Ring viene dado por el producto directo de anillos . Este es solo el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes con la suma y la multiplicación definidas por componentes.
• El coproducto de una familia de anillos existe y está dado por una construcción análoga al producto libre de grupos. El coproducto de anillos distintos de cero puede ser el anillo cero; En particular, esto sucede cada vez que los factores tienen relativamente primos característica (ya que la característica de la coproducto de ( R _i ) _{i ∈ I} debe dividir las características de cada uno de los anillos R _i ).
• El ecualizador en Ring es solo el ecualizador de la teoría de conjuntos (el ecualizador de homomorfismos de dos anillos es siempre un subanillo ).
• El coequalizer de dos homomorfismos de anillo f y g de R a S es el cociente de S por el ideales generada por todos los elementos de la forma f ( r ) - g ( r ) para r ∈ R .
• Dado un homomorfismo de anillos f  : R → S el par kernel de f (esto es sólo el retroceso de f con sí mismo) es una relación de congruencia en R . El ideal determinado por esta relación de congruencia es precisamente el núcleo (teórico del anillo) de f . Tenga en cuenta que los núcleos de teoría de categorías no tienen sentido en Ring ya que no hay morfismos cero (ver más abajo).

Morfismos

Artículo principal: homomorfismo de anillo

A diferencia de muchas categorías estudiadas en matemáticas, no siempre existen morfismos entre pares de objetos en Ring . Esto es una consecuencia del hecho de que los homomorfismos de anillo deben preservar la identidad. Por ejemplo, no hay morfismos desde el anillo cero 0 a ningún anillo distinto de cero. Una condición necesaria para que haya morfismos de R a S es que la característica de S brecha que de R .

Tenga en cuenta que aunque algunos de los hom-sets están vacíos, la categoría Ring todavía está conectada ya que tiene un objeto inicial.

Algunas clases especiales de morfismos en Ring incluyen:

• Los isomorfismos en anillo son los homomorfismos de anillo biyectivos .
• Los monomorfismos en Ring son los homomorfismos inyectivos . Sin embargo, no todos los monomorfismos son regulares .
• Todo homomorfismo sobreyectivo es un epimorfismo en Ring , pero lo contrario no es cierto. La inclusión Z → Q es un epimorfismo no subjetivo. El homomorfismo de anillo natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo que no es necesariamente sobreyectivo.
• Los homomorfismos sobreyectivos se pueden caracterizar como los epimorfismos regulares o extremas en Ring (estas dos clases coinciden).
• Los bimorfismos en Ring son los epimorfismos inyectivos. La inclusión Z → Q es un ejemplo de un bimorfismo que no es un isomorfismo.

Otras propiedades

• El único objeto inyectivo en Ring hasta el isomorfismo es el anillo cero (es decir, el objeto terminal).
• Al carecer de morfismos cero , la categoría de anillos no puede ser una categoría preaditiva . (Sin embargo, cada anillo, considerado como una categoría con un solo objeto, es una categoría preaditiva).
• La categoría de anillos es una categoría monoidal simétrica con el producto tensorial de anillos ⊗ _Z como producto monoidal y el anillo de números enteros Z como objeto unitario. Se deduce del teorema de Eckmann-Hilton que un monoide en Ring es un anillo conmutativo . La acción de un monoide (= anillo conmutativo) R sobre un objeto (= anillo) A de Ring es una R -álgebra .

Subcategorías

La categoría de anillos tiene varias subcategorías importantes . Estos incluyen las subcategorías completas de anillos conmutativos , dominios integrales , dominios ideales principales y campos .

Categoría de anillos conmutativos

La categoría de anillos conmutativos , denominada CRing , es la subcategoría completa de Ring cuyos objetos son todos anillos conmutativos . Esta categoría es uno de los objetos centrales de estudio en la asignatura de álgebra conmutativa .

Cualquier anillo se puede hacer conmutativo tomando el cociente por el ideal generado por todos los elementos de la forma ( xy - yx ). Esto define un functor Ring → CRing que se deja adjunto al functor de inclusión, de modo que CRing es una subcategoría reflectante de Ring . El anillo conmutativo libre en un conjunto de generadores E es el anillo de polinomios Z [ E ] cuyas variables se toman de E . Esto le da un functor adjunto izquierdo al functor olvidadizo de CRing aEstablecer .

CRing tiene límite cerrado en Ring , lo que significa que los límites en CRing son los mismos que en Ring . Sin embargo, los colimits son generalmente diferentes. Pueden formarse tomando el cociente conmutativo de colimits en Ring . El coproducto de dos anillos conmutativos viene dado por el producto tensorial de anillos . Nuevamente, el coproducto de dos anillos conmutativos distintos de cero puede ser cero.

La categoría opuesta de CRing es equivalente a la categoría de esquemas afines . La equivalencia viene dada por el functor contravariante Spec que envía un anillo conmutativo a su espectro , un esquema afín .

Categoría de campos

La categoría de campos , denominada Campo , es la subcategoría completa de CRing cuyos objetos son campos . La categoría de campos no se comporta tan bien como otras categorías algebraicas. En particular, los campos libres no existen (es decir, no hay adjunto al functor olvidadizo Campo → Conjunto ). De ello se desprende que Field no es una subcategoría reflectante de CRing .

La categoría de campos no es ni finitamente completa ni finitamente cocompleta. En particular, Field no tiene productos ni coproductos.

Otro aspecto curioso de la categoría de campos es que todo morfismo es un monomorfismo . Esto se sigue del hecho de que los únicos ideales en un campo F son el ideal cero y el propio F. A continuación, se pueden ver los morfismos en Field como extensiones de campo .

La categoría de campos no está conectada . No existen morfismos entre campos de diferente característica . Los componentes conectados de Field son las subcategorías completas de la característica p , donde p = 0 o es un número primo . Cada una de estas subcategorías tiene un objeto inicial : el campo principal de la característica p (que es Q si p = 0, de lo contrario el campo finito F _p ).

Categorías y functores relacionados

Categoría de grupos

Existe un functor natural de Ring a la categoría de grupos , Grp , que envía cada anillo R a su grupo de unidades U ( R ) y cada homomorfismo de anillo a la restricción a U ( R ). Este funtor tiene un adjunto izquierdo que envía cada grupo G al anillo de grupo integral Z [ G ].

Otro funtor entre estas categorías envía cada anillo R al grupo de unidades del anillo matriz M ₂ ( R ) que actúa sobre la línea proyectiva sobre un anillo P ( R ).

R -álgebras

Dado un anillo conmutativo R se puede definir la categoría R -Alg cuyos objetos son todos R -álgebras y cuyos morfismos son homomorfismos de R -algebra.

La categoría de anillos puede considerarse un caso especial. Cada anillo puede considerarse un álgebra Z de una manera única. Los homomorfismos de anillo son precisamente los homomorfismos del álgebra- Z . La categoría de anillos es, por tanto, isomorfa a la categoría Z-Alg . ^[1] Muchas afirmaciones sobre la categoría de anillos se pueden generalizar a afirmaciones sobre la categoría de R -álgebras.

Para cada anillo conmutativo R hay un functor R -Alg → Ring que olvida la estructura del módulo R. Este funtor tiene un adjunto izquierdo que envía cada anillo A al producto tensorial R ⊗ _Z A , considerado como un R -álgebra estableciendo r · ( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

Anillos sin identidad

Muchos autores no requieren que los anillos tengan un elemento de identidad multiplicativo y, en consecuencia, no requieren homomorfismo de anillos para preservar la identidad (si existiera). Esto conduce a una categoría bastante diferente. Por distinción, llamamos a tales estructuras algebraicas rng y sus morfismos rng homomorfismos . La categoría de todos los rng se indicará con Rng .

La categoría de los anillos, anillo , es un no rotundo subcategoría de Rng . No es completo porque hay homomorfismos rng entre anillos que no conservan la identidad y, por lo tanto, no son morfismos en Ring . El functor de inclusión Ring → Rng tiene un adjunto a la izquierda que formalmente adjunta una identidad a cualquier rng. El functor de inclusión Ring → Rng respeta límites pero no colimits.

El anillo cero sirve como objeto inicial y terminal en Rng (es decir, es un objeto cero ). De ello se deduce que Rng , como Grp pero a diferencia de Ring , tiene cero morfismos . Estos son solo los homomorfismos rng que mapean todo a 0. A pesar de la existencia de morfismos cero, Rng todavía no es una categoría preaditiva . La suma puntual de dos homomorfismos rng generalmente no es un homomorfismo rng.

Hay un funtor completamente fiel de la categoría de grupos abelianos a Rng que envía un grupo abeliano al rng asociado de cuadrado cero .

Las construcciones libres son menos naturales en Rng que en Ring . Por ejemplo, el rng libre generado por un conjunto { x } es el anillo de todos los polinomios integrales sobre x sin término constante, mientras que el anillo libre generado por { x } es solo el anillo polinomial Z [ x ].

Referencias

1. Tennison, BR (1975), Teoría de la gavilla , Serie de notas de conferencia de la Sociedad Matemática de Londres, Volumen 20, Cambridge University Press, p. 74, ISBN 9780521207843 .

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders ; Garrett Birkhoff (1999). Álgebra ((3a ed.) Ed.). Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1646-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 ((2ª ed.) Ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.