En teoría de números , el sesgo de Chebyshev es el fenómeno de que la mayoría de las veces hay más números primos de la forma 4 k + 3 que de la forma 4 k + 1, hasta el mismo límite. Este fenómeno fue observado por primera vez por Chebyshev en 1853.
Descripción
Sea π ( x ; n , m ) el número de primos de la forma nk + m hasta x . Por el teorema de los números primos (extendido a la progresión aritmética ),
Es decir, la mitad de los números primos son de la forma 4 k + 1 y la mitad de la forma 4 k + 3. Una suposición razonable sería que π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) y π ( x ; 4, 1) <π ( x ; 4, 3) cada uno también ocurre el 50% del tiempo. Sin embargo, esto no está respaldado por evidencia numérica; de hecho, π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1) ocurre con mucha más frecuencia. Por ejemplo, esta desigualdad es válida para todos los primos x <26833 excepto 5, 17, 41 y 461, para los cuales π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3). El primer primo x tal que π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) es 26861, es decir, π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) para todos los primos x <26861.
En general, si 0 < un , b < n son números enteros, GCD ( un , n ) = GCD ( b , n ) = 1, un es un residuo cuadrático mod n , b es un mod no residuo cuadrático n , entonces π ( x ; n , b )> π ( x ; n , a ) ocurre con mayor frecuencia. Esto se ha probado únicamente asumiendo formas sólidas de la hipótesis de Riemann . La conjetura más fuerte de Knapowski y Turán , de que la densidad de los números x para los que π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1) se cumple es 1 (es decir, se cumple para casi todo x ), dado vuelta salir a ser falso. Sin embargo, tienen una densidad logarítmica , que es aproximadamente 0.9959 .... [1]
Generalizaciones
Esto es para k = −4 para encontrar el primo más pequeño p tal que (dónde es el símbolo de kronecker ), sin embargo, para un entero k distinto de cero dado (no solo k = −4), también podemos encontrar el primo p más pequeño que satisfaga esta condición. Según el teorema de los números primos, para cada entero k distinto de cero , hay infinitos números primos p que satisfacen esta condición.
Para enteros positivos k = 1, 2, 3, ..., los primos más pequeños p son
- 2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... ( OEIS : A306499 es una subsecuencia, para k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... OEIS : A003658 )
Para enteros negativos k = −1, −2, −3, ..., los primos más pequeños p son
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... ( OEIS : A306500 es una subsecuencia, para k = −3, −4, −7 , −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, - 56, −59, ... OEIS : A003657 )
Para cada entero k (positivo o negativo) no cuadrado , hay más números primos p con que con (hasta el mismo límite) la mayoría de las veces. Si las formas fuertes de la hipótesis de Riemann son verdaderas.
Extensión a residuos de mayor potencia
Let m y n sean números enteros tales que m ≥0, n > 0, GCD ( m , n ) = 1, definir una función , dónde es la función totient de Euler .
Por ejemplo, f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2, f (2, 5) = f (3, 5) = 0, f (1, 6) = 1/2, f ( 5, 6) = 0, f (1, 7) = 5/6, f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2, f (3, 7) = f (5, 7) = 0, f (6, 7) = 1/3, f (1, 8) = 1/2, f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0, f (1 , 9) = 5/6, f (2, 9) = f (5, 9) = 0, f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2, f (8, 9) = 1 / 3.
Se conjetura que si 0 < a , b < n son números enteros, MCD ( a , n ) = MCD ( b , n ) = 1, f ( a , n )> f ( b , n ), entonces π ( x ; n , b )> π ( x ; n , a ) ocurre con mayor frecuencia.
Referencias
- ^ (Rubinstein — Sarnak, 1994)
- PL Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 y 4 n + 3, Bol. Classe Phys. Acad. Diablillo. Sci. San Petersburgo , 11 (1853), 208.
- Granville, Andrew ; Martín, Greg (2006). "Carreras de números primos". Amer. Matemáticas. Mensual . 113 (1): 1–33. doi : 10.1080 / 00029890.2006.11920275 . JSTOR 27641834 . S2CID 3846453 .
- J. Kaczorowski: Sobre la distribución de números primos (mod 4), Analysis , 15 (1995), 159-171.
- S. Knapowski, Turan: Teoría comparativa de números primos, I, Acta Math. Acad. Sci. Colgado. , 13 (1962), 299-314.
- Rubinstein, M .; Sarnak, P. (1994). "El sesgo de Chebyshev". Matemáticas experimentales . 3 (3): 173-197. doi : 10.1080 / 10586458.1994.10504289 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Chebyshev Bias" . MathWorld .
- (secuencia A007350 en la OEIS ) (donde la carrera principal 4n + 1 versus 4n + 3 cambia de líder)
- (secuencia A007352 en la OEIS ) (donde la raza principal 3n + 1 versus 3n + 2 cambia de líder)