Julia conjunto

En el contexto de la dinámica compleja , un tema de las matemáticas , el conjunto de Julia y el conjunto de Fatou son dos conjuntos complementarios (Julia "cordones" y Fatou "polvos") definidos a partir de una función . De manera informal, el conjunto Fatou de la función consiste en valores con la propiedad de que todos los valores cercanos se comportan de manera similar bajo iteraciones repetidas de la función, y el conjunto de Julia consiste en valores tales que una perturbación arbitrariamente pequeña puede causar cambios drásticos en la secuencia de la función iterada. valores. Por tanto, el comportamiento de la función en el conjunto Fatou es "regular", mientras que en el conjunto Julia su comportamiento es " caótico ".

Un conjunto de Julia

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Reproducir medios

Cortes tridimensionales a través del conjunto de Julia (tetradimensional) de una función en los cuaterniones

El conjunto de Julia de una función $f$ se denota comúnmente ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \ ;,}$ y el conjunto Fatou se denota ${\ Displaystyle \; \ operatorname {F} (f) \ ;.}$ ^[a] Estos conjuntos llevan el nombre de los matemáticos franceses Gaston Julia ^[1] y Pierre Fatou ^[2], cuyo trabajo inició el estudio de la dinámica compleja a principios del siglo XX.

Definicion formal

Dejar ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ ser una función holomórfica no constante de la esfera de Riemann sobre sí misma. Tales funciones ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ son precisamente las funciones racionales complejas no constantes , es decir, ${\ Displaystyle \; f (z) = p (z) / q (z) \ ;,}$ dónde ${\ Displaystyle \; p (z) \ ;,}$ y ${\ Displaystyle \; q (z) \ ;,}$ son polinomios complejos . Supongamos que p y q no tienen raíces comunes y al menos una tiene un grado mayor que 1. Entonces hay un número finito de conjuntos abiertos ${\ Displaystyle \; F_ {1}, ..., F_ {r} \;}$ , que se dejan invariantes por ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ y son tales que:

la unión de los conjuntos ${\ Displaystyle \; F_ {i} \;}$ es denso en el plano y
${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ se comporta de forma regular e igual en cada uno de los conjuntos ${\ Displaystyle \; F_ {i} \;.}$

La última declaración significa que los extremos de las secuencias de iteraciones generadas por los puntos de ${\ Displaystyle \; F_ {i} \;}$ son precisamente el mismo conjunto, que entonces es un ciclo finito, o son ciclos finitos de conjuntos de forma circular o anular que se encuentran concéntricamente. En el primer caso el ciclo es atractivo , en el segundo es neutral .

Estos conjuntos ${\ Displaystyle \; F_ {i} \;}$ son los dominios Fatou de ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ y su unión es el conjunto Fatou ${\ Displaystyle \; \ operatorname {F} (f) \;}$ de ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;.}$ Cada uno de los dominios de Fatou contiene al menos un punto crítico de ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ es decir, un punto (finito) z que satisface ${\ Displaystyle \; f '(z) = 0 \ ;,}$ o ${\ Displaystyle \; f (z) = \ infty \ ;,}$ si el grado del numerador ${\ Displaystyle \; p (z) \;}$ es al menos dos más grande que el grado del denominador ${\ Displaystyle \; q (z) \ ;,}$ o si ${\ Displaystyle \; f (z) = 1 / g (z) + c \;}$ para algunos cy una función racional ${\ Displaystyle \; g (z) \;}$ satisfaciendo esta condición.

El complemento de ${\ Displaystyle \; \ operatorname {F} (f) \;}$ es el set de Julia ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ de ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;.}$ Si todos los puntos críticos son preperiódicos, es decir, no son periódicos sino que finalmente llegan a un ciclo periódico, entonces ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ es toda la esfera; de lo contrario, ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ es un conjunto denso en ninguna parte (no tiene puntos interiores) y un conjunto incontable (de la misma cardinalidad que los números reales). Como ${\ Displaystyle \; \ operatorname {F} (f) \ ;,}$ ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ se deja invariante por ${\ Displaystyle \; f (z) \ ;,}$ y en este conjunto la iteración es repelente, lo que significa que ${\ Displaystyle \; | f (z) -f (w) |> | zw | \;}$ para todo w en una vecindad de z [dentro de ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ ]. Esto significa que ${\ Displaystyle \; f (z) \;}$ se comporta caóticamente en el set de Julia. Aunque hay puntos en el conjunto de Julia cuya secuencia de iteraciones es finita, solo hay un número contable de tales puntos (y constituyen una parte infinitesimal del conjunto de Julia). Las secuencias generadas por puntos fuera de este conjunto se comportan de forma caótica, fenómeno denominado caos determinista .

Ha habido una extensa investigación sobre el conjunto de Fatou y el conjunto de Julia de funciones racionales iteradas , conocidas como mapas racionales. Por ejemplo, se sabe que el conjunto Fatou de un mapa racional tiene 0, 1, 2 o un número infinito de componentes . ^[3] Cada componente del conjunto Fatou de un mapa racional se puede clasificar en una de cuatro clases diferentes . ^[4]

Descripciones equivalentes del conjunto de Julia

${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene al menos tres puntos que es completamente invariante bajo f .
${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ es el cierre del conjunto de repeticiones de puntos periódicos .
Para todos menos dos puntos como máximo ${\ Displaystyle \; z \ en X \ ;,}$ el conjunto de Julia es el conjunto de puntos límite de la órbita completa hacia atrás ${\ Displaystyle \ bigcup _ {n} f ^ {- n} (z) \ ;.}$ (Esto sugiere un algoritmo simple para trazar conjuntos de Julia, ver más abajo).
Si f es una función completa , entonces ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ es el límite del conjunto de puntos que convergen al infinito bajo iteración.
Si f es un polinomio, entonces ${\ Displaystyle \; \ operatorname {J} (f) \;}$ es el límite del conjunto lleno de Julia ; es decir, aquellos puntos cuyas órbitas bajo iteraciones de f permanecen acotadas.

Propiedades del conjunto de Julia y del conjunto de Fatou

El conjunto de Julia y el conjunto de Fatou de f son ambos completamente invariantes bajo iteraciones de la función holomórfica f : ^[5]

{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ operatorname {J} (f)) = f (\ operatorname {J} (f)) = \ operatorname {J} (f) ~,}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ operatorname {F} (f)) = f (\ operatorname {F} (f)) = \ operatorname {F} (f) ~.}

Ejemplos de

Para ${\ Displaystyle \; f (z) = z ^ {2} \;}$ el conjunto de Julia es el círculo unitario y en este la iteración viene dada por la duplicación de ángulos (una operación que es caótica en los puntos cuyo argumento no es una fracción racional de ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ ). Hay dos dominios de Fatou: el interior y el exterior del círculo, con iteración hacia 0 y ∞, respectivamente.

Para ${\ Displaystyle \; g (z) = z ^ {2} -2 \;}$ el conjunto de Julia es el segmento de recta entre -2 y 2. Hay un dominio de Fatou : los puntos que no están en el segmento de recta iteran hacia ∞. (Aparte de un cambio y escalado del dominio, esta iteración es equivalente a ${\ Displaystyle \; x \ a 4 (x - {\ tfrac {\, 1 \,} {2}}) ^ {2} \;}$ en el intervalo unitario, que se usa comúnmente como un ejemplo de sistema caótico).

Las funciones f y g tienen la forma ${\ Displaystyle \; z ^ {2} + c \;}$ , donde c es un número complejo. Para tal iteración, el conjunto de Julia no es en general una curva simple, sino un fractal, y para algunos valores de c puede tomar formas sorprendentes. Vea las imágenes a continuación.

Conjunto de Julia (en blanco) para la función racional asociada al método de Newton para f : z → z ³ −1. Coloración de Fatou según el atractor (las raíces de f )

Para algunas funciones f ( z ) podemos decir de antemano que el conjunto de Julia es un fractal y no una simple curva. Esto se debe al siguiente resultado en las iteraciones de una función racional:

Teorema. Cada uno de los dominios de Fatou tiene el mismo límite, que en consecuencia es el conjunto de Julia.

Esto significa que cada punto del conjunto de Julia es un punto de acumulación para cada uno de los dominios de Fatou. Por lo tanto, si hay más de dos dominios de Fatou, cada punto del conjunto de Julia debe tener puntos de más de dos conjuntos abiertos diferentes infinitamente cercanos, y esto significa que el conjunto de Julia no puede ser una curva simple. Este fenómeno ocurre, por ejemplo, cuando f ( z ) es la iteración de Newton para resolver la ecuación ${\ Displaystyle \; P (z): = z ^ {n} -1 = 0 ~: ~ n> 2 \;}$ :