En matemáticas , el teorema del subgrupo cerrado (a veces denominado teorema de Cartan ) es un teorema de la teoría de los grupos de Lie . Establece que si H es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G , entonces H es un grupo de Lie incrustado con la estructura suave (y por lo tanto la topología del grupo ) que concuerda con la incrustación. [1] [2] [3] Uno de varios resultados conocidos como teorema de Cartan , fue publicado por primera vez en 1930 por Élie Cartan, [4] quien se inspiró en la prueba de 1929 de John von Neumann de un caso especial para grupos de transformaciones lineales . [5]
Descripción general
Dejar ser un grupo de mentiras con álgebra de mentiras . Ahora deja ser un subgrupo cerrado arbitrario de . Nuestro objetivo es demostrar que es un sub-colector integrado suave de . Nuestro primer paso es identificar algo que podría ser el álgebra de Lie de, es decir, el espacio tangente de en la identidad. El desafío es queno se supone que tenga ninguna suavidad y, por lo tanto, no está claro cómo se puede definir su espacio tangente. Para continuar, definimos el "álgebra de mentira" de por la fórmula
No es difícil demostrar que es una subálgebra de mentira de . [6] En particular, es un subespacio de , que podríamos esperar podría ser el espacio tangente de en la identidad. Sin embargo, para que esta idea funcione, debemos saber que es lo suficientemente grande como para capturar información interesante sobre . Si, por ejemplo, eran un gran subgrupo de pero resultó ser cero, no nos sería de ayuda.
El paso clave, entonces, es demostrar que en realidad captura todos los elementos de que estén lo suficientemente cerca de la identidad. Es decir, debemos demostrar que se cumple el siguiente lema crítico:
- Lema : toma un barrio pequeño del origen en tal que el mapa exponencial envía difeomórficamente en algún vecindario de la identidad en , y deja sea el inverso del mapa exponencial. Luego hay un vecindario más pequeño tal que si pertenece a , luego pertenece a . [7]
Una vez que esto se ha establecido, se pueden utilizar coordenadas exponenciales en, es decir, escribiendo cada (no necesariamente en ) como por . En estas coordenadas, el lema dice que corresponde a un punto en precisamente si pertenece a . Es decir, en coordenadas exponenciales cercanas a la identidad, parece . Desde es solo un subespacio de , esto significa que es como , con y . Por lo tanto, hemos exhibido un " sistema de coordenadas de corte " en el que luce localmente como , que es la condición para un submanifold incrustado. [8]
Vale la pena señalar que Rossmann muestra que para cualquier subgrupo de (no necesariamente cerrado), el álgebra de Lie de es una subálgebra de mentira de . [9] Rossmann luego introduce las coordenadas [10] en que hacen el componente de identidad de en un grupo de mentiras. Sin embargo, es importante señalar que la topología enprocedente de estas coordenadas no es la topología de subconjunto. Que así lo diga, el componente de identidad de es una subvariedad inmersa de pero no una subvariedad incrustada.
En particular, el lema mencionado anteriormente no es válido si no está cerrado.
Ejemplo de un subgrupo no cerrado
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/17/Torus.png/193px-Torus.png)
Para un ejemplo de un subgrupo que no es un subgrupo de Lie incrustado, considere el toro y un " devanado irracional del toro ".
y su subgrupo
con un irracional. Entonces H es denso en G y por lo tanto no cerrado. [11] En la topología relativa , un pequeño subconjunto abierto de H está compuesto por infinitos segmentos de línea casi paralelos en la superficie del toro. Esto significa que H no está conectado a una ruta localmente . En la topología de grupo, los pequeños conjuntos abiertos son segmentos de una sola línea en la superficie del toro y H está conectado localmente.
El ejemplo muestra que para algunos grupos H se pueden encontrar puntos en un entorno arbitrariamente pequeño U en la topología relativa τ r de la identidad que son exponenciales de elementos de h , sin embargo, no se puede conectar a la identidad con una estancia trayectoria en U . [12] El grupo ( H , τ r ) no es un grupo de Lie. Mientras que el mapa exp: h → ( H , τ r ) es una biyección analítica, su inverso no es continuo. Es decir, si U ⊂ h corresponde a un pequeño intervalo abierto - ε < θ < ε , no hay abierto V ⊂ ( H , τ r ) con log ( V ) ⊂ U debido a la aparición de los conjuntos V . Sin embargo, con la topología de grupo τ g , ( H , τ g ) es un grupo de Lie. Con esta topología, la inyección ι :( H , τ g ) → G es una inmersión inyectiva analítica , pero no un homeomorfismo , por lo tanto, no una incrustación. También hay ejemplos de grupos H para los que se pueden encontrar puntos en una vecindad arbitrariamente pequeña (en la topología relativa) de la identidad que no son exponenciales de elementos de h . [12] Para subgrupos cerrados, este no es el caso, como muestra la siguiente demostración del teorema.
Aplicaciones
Debido a la conclusión del teorema, algunos autores optaron por definir grupos de Lie lineales o grupos de Lie matriciales como subgrupos cerrados de GL ( n , ℝ) o GL ( n , ℂ) . [13] En este escenario, se demuestra que cada elemento del grupo lo suficientemente cercano a la identidad es el exponencial de un elemento del álgebra de Lie. [14] (La demostración es prácticamente idéntica a la demostración del teorema del subgrupo cerrado que se presenta a continuación). De ello se deduce que cada subgrupo cerrado es una subvariedad incorporada de GL ( n , ℂ) [15]
El teorema de la construcción del espacio homogéneo establece
- Si H ⊂ G es un subgrupo de Lie cerrado , entonces G / H , el espacio lateral izquierdo, tiene una estructura única de variedad real-analítica tal que el mapa de cocientes π : G → G / H es una inmersión analítica . La acción izquierda dada por g 1 ⋅ ( g 2 H) = ( g 1 g 2 ) H convierte G / H en un G- espacio homogéneo .
El teorema del subgrupo cerrado ahora simplifica considerablemente las hipótesis, ampliando a priori la clase de espacios homogéneos. Cada subgrupo cerrado produce un espacio homogéneo.
De manera similar, el teorema del subgrupo cerrado simplifica la hipótesis del siguiente teorema.
- Si X es un conjunto con acción de grupo transitiva y el grupo de isotropía o estabilizador de un punto x ∈ X es un subgrupo de Lie cerrado, entonces X tiene una estructura única de variedad suave tal que la acción es suave.
Condiciones para estar cerrado
A continuación se dan algunas condiciones suficientes para que H ⊂ G esté cerrado, por lo tanto, un grupo de Lie incrustado.
- Todos los grupos clásicos están cerrados en GL ( F , n ) , donde F = ℝ, ℂ o ℍ , los cuaterniones .
- Un subgrupo que está cerrado localmente está cerrado. [16] Un subgrupo está cerrado localmente si cada punto tiene un barrio en U ⊂ G tal que H ∩ U está cerrado en U .
- Si H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B }, donde A es un grupo compacto y B es un conjunto cerrado, entonces H es cerrado. [17]
- Si h ⊂ g es una subálgebra Lie tal que para no X ∈ g \ h , [ X , h ] ∈ h , entonces Γ ( h ) , el grupo generado por e h , es cerrado en G . [18]
- Si X ∈ g , entonces el subgrupo con un parámetro generado por X es no cerrado si y sólo si X es similar sobre ℂ a una matriz diagonal con dos entradas de relación irracional. [19]
- Sea h ⊂ g una subálgebra de Lie. Si hay un simplemente conectado grupo compacto K con k isomorfo a h , entonces Γ ( h ) es cerrado en G . [20]
- Si G está simplemente conectado y h ⊂ g es un ideal , entonces el subgrupo de Lie conectado con el álgebra de Lie h está cerrado. [21]
Conversar
Un subgrupo de Lie incrustado H ⊂ G está cerrado [22] por lo que un subgrupo es un subgrupo de Lie incrustado si y solo si está cerrado. De manera equivalente, H es un subgrupo de Lie incrustado si y solo si su topología de grupo es igual a su topología relativa. [23]
Prueba
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/5e/JohnvonNeumann-LosAlamos.gif/193px-JohnvonNeumann-LosAlamos.gif)
La prueba se da para grupos de matrices con G = GL ( n , ℝ) de concreción y relativa simplicidad, ya que las matrices y su mapeo exponencial son conceptos más fáciles que en el caso general. Históricamente, este caso fue probado primero por John von Neumann en 1929, e inspiró a Cartan a probar el teorema del subgrupo cerrado completo en 1930. [5] La demostración para G general es formalmente idéntica, [24] excepto que los elementos del álgebra de Lie quedan campos vectoriales invariantes en G y el mapeo exponencial es el tiempo en el que fluye el campo vectorial. Si H ⊂ G con G cerrado en GL ( n , ℝ) , entonces H está cerrado en GL ( n , ℝ) , por lo que la especialización en GL ( n , ℝ) en lugar de G ⊂ GL ( n , ℝ) arbitraria importa poco .
Prueba del lema clave
Comenzamos por establecer el lema clave indicado en la sección "descripción general" anterior.
Dote a g con un producto interno (por ejemplo, el producto interno de Hilbert-Schmidt ), y sea h el álgebra de Lie de H definida como h = { X ∈ M n (ℝ) = g | e tX ∈ H ∀ t ∈ ℝ }. Sea s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h }, el complemento ortogonal de h . Entonces g se descompone como la suma directa g = s ⊕ h , por lo que cada X ∈ g se expresa de forma única como X = S + T con S ∈ s , T ∈ h .
Definir un mapa Φ: g → GL ( n , ℝ) por ( S , T ) ↦ e S e T . Expande las exponenciales,
y el empuje hacia adelante o diferencial en 0 , Φ ∗ ( S , T ) = d / d t phi ( tS , tT ) | Se considera que t = 0 es S + T , es decir,Φ ∗ = Id, la identidad. La hipótesis delteoremade lafunción inversase satisface conΦanalítica, por lo que hay conjuntos abiertos U 1 ⊂ g , V 1 ⊂ GL ( n , ℝ)con0 ∈ U 1 e I ∈ V 1 tal queΦes unreal-biyecciónanalíticade U 1 a V 1 con analítica inversa. Queda por demostrar que U 1 y V 1 contienen conjuntos abiertos U y V tales que se cumple la conclusión del teorema.
Considere una base de vecindad contable Β en 0 ∈ g , ordenada linealmente por inclusión inversa con B 1 ⊂ U 1 . [25] Suponga, con el fin de obtener una contradicción, que para todo i , Φ ( B i ) ∩ H contiene un elemento h i que no está en la forma h i = e T i , T i ∈ h . Entonces, puesto que Φ es una biyección en el B i , hay una única secuencia X i = S i + T i , con 0 ≠ S i ∈ s y T i ∈ h tal que X i ∈ la B i convergente a 0 porque Β es una base de vecindad, con e S i e T i = h i . Dado que e T i ∈ H y h i ∈ H , e S i ∈ H también.
Normalizar la secuencia en s , Y i = S i ⁄ || S i || . Toma sus valores en la esfera unitaria ensy,dado que escompacto, hay una subsecuencia convergente que converge aY∈s. [26]Enadelante, elíndicei serefiere a esta subsecuencia. Se mostrará quee tY ∈H, ∀t∈ ℝ. Fijety elija una secuenciam i de enteros tal quem i || S i || →tcomoi→ ∞. Por ejemplo,m i tal quem i || S i || ≤t≤ (m i + 1) || S i || servirá, ya queS i → 0. Entonces
Dado que H es un grupo, el lado izquierdo está en H para todo i . Como H es cerrado, e tY ∈ H , ∀ t , [27] por tanto Y ∈ h . Ésta es una contradicción. Por tanto, para algunos i, los conjuntos U = Β i y V = Φ (Β i ) satisfacen e ( U ∩ h ) = H ∩ V y la exponencial restringida al conjunto abierto ( U ∩ h ) ⊂ h está en biyección analítica con el conjunto abierto Φ ( U ) ∩ H ⊂ H . Esto prueba el lema.
Prueba del teorema
Para j ≥ i , la imagen en H de B j bajo Φ forman una base barrio en I . Se trata, por cierto, de una base de vecindad tanto en la topología de grupo como en la topología relativa . Dado que la multiplicación en G es analítica, la izquierda y la derecha traducen esta base de vecindad por un elemento de grupo g ∈ G da una base de vecindad en g . Estas bases restringidas a H da bases de barrio en todo h ∈ H . La topología generada por estas bases es la topología relativa. La conclusión es que la topología relativa es la misma que la topología de grupo.
A continuación, constructo de coordenadas gráficos en H . Primero defina φ 1 : e ( U ) ⊂ G → g , g ↦ log ( g ) . Esta es una biyección analítica con analítica inversa. Además, si h ∈ H , entonces φ 1 ( h ) ∈ h . Al fijar una base para g = h ⊕ sy identificar g con ℝ n , entonces en estas coordenadas φ 1 ( h ) = (x 1 ( h ),…, x m ( h ), 0,…, 0) , donde m es la dimensión de h . Esto muestra que (e U , φ 1 ) es un gráfico de sectores . Al traducir los gráficos obtenidos a partir de la base barrio contable utilizado anteriormente se obtiene rebanada listas de todo cada punto en H . Esto muestra que H es una subvariedad incrustado de G .
Además, la multiplicación my la inversión i en H son analíticas ya que estas operaciones son analíticas en G y la restricción a una subvariedad (incrustada o sumergida) con la topología relativa nuevamente produce operaciones analíticas m : H × H → G e i : H × H → G . [28] Pero como H está integrado, m : H × H → H e i : H × H → H también son analíticas. [29]
Ver también
- Teorema de la función inversa
- Correspondencia de mentiras
Notas
- ^ Teorema de Lee 2003 20.10. Lee establece y demuestra este teorema en general.
- ^ Teorema 1 de Rossmann 2002 , Sección 2.7 Rossmann establece el teorema para grupos lineales. La declaración es que hay un subconjunto abierto U ⊂ g tal que U × H → G , ( X , H ) → E X H es una biyección analítica en un entorno abierto de H en G .
- ^ Hall 2015 Para grupos lineales, Hall demuestra un resultado similar en el Corolario 3.45.
- ^ Cartan 1930 Véase § 26.
- ↑ a b von Neumann (1929) ; Bochner (1958) .
- ^ Teorema 3.20 de Hall 2015
- ^ Teorema 3.42 de Hall 2015
- ^ Lee 2003 Capítulo 5
- ^ Rossmann 2002 Capítulo 2, Proposición 1 y Corolario 7
- ^ Rossmann 2002 Sección 2.3
- ^ Lee 2003 Ejemplo 7.3
- ↑ a b Rossmann 2002 Véase el comentario al Corolario 5, Sección 2.2.
- ^ Por ejemplo, Hall 2015 . Consulte la definición en el Capítulo 1.
- ^ Teorema 3.42 de Hall 2015
- ↑ Hall 2015 Corolario 3.45
- ^ Rossmann 2002 Problema 1. Sección 2.7
- ^ Rossmann 2002 Problema 3. Sección 2.7
- ^ Rossmann 2002 Problema 4. Sección 2.7
- ^ Rossmann 2002 Problema 5. Sección 2.7
- ^ Hall 2015 El resultado se deriva del teorema 5.6
- ^ Salón 2015 ejercicio 14 en el capítulo 3
- ^ Corolario de Lee 2003 15.30.
- ^ Rossmann 2002 Problema 2. Sección 2.7.
- ^ Véase, por ejemplo, Lee 2002 Capítulo 21
- ^ Para esto se puede elegir bolas abiertas, Β = { B k | diam ( B k ) = 1 ⁄ ( k + m ) , k ∈ ℕ}para algunos m lo suficientemente grandescomo para que B 1 ⊂ U 1 . Aquí se utiliza la métrica obtenida del producto interno de Hilbert-Schmidt.
- ^ Willard 1970 Por el problema 17G, s es secuencialmente compacto, lo que significa que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
- ^ Willard, 1979 Corolario 10.5.
- ^ Lee 2003 Proposición 8.22.
- ^ Corolario de Lee 2003 8.25.
Referencias
- Bochner, S. (1958), "John von Neumann 1903-1957" (PDF) , Memorias biográficas de la Academia Nacional de Ciencias : 438-456. Ver en particular la p. 441 .
- Cartan, Élie (1930), "La théorie des groupes finis et continus et l ' Analysis Situs ", Mémorial Sc. Matemáticas. , XLII , págs. 1–61
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Springer Graduate Texts in Mathematics, 218 , ISBN 0-387-95448-1
- von Neumann, John (1929), "Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 30 (1): 3-42, doi : 10.1007 / BF01187749
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9
- Willard, Stephen (1970), Topología general , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-43479-6