Las álgebras de racimo son una clase de anillos conmutativos introducidos por Fomin y Zelevinsky ( 2002 , 2003 , 2007 ). Un álgebra de conglomerados de rango n es un dominio integral A , junto con algunos subconjuntos de tamaño n llamados conglomerados cuya unión genera el álgebra A y que satisfacen diversas condiciones.
Definiciones
Supongamos que F es un dominio de integridad , tal como el campo de Q ( x 1 , ..., x n ) de funciones racionales en n variables a lo largo de los números racionales Q .
Un clúster de rango n consiste en un conjunto de n elementos { x , y , ...} de F , se asume que son una algebraicamente independiente conjunto de generadores de una extensión de campo F .
Una semilla consiste en un grupo { x , y , ...} de F , junto con una matriz de intercambio B con entradas enteras b x , y indexadas por pares de elementos x , y del grupo. A veces se supone que la matriz es asimétrica , de modo que b x , y = - b y , x para todo x e y . De manera más general, la matriz puede ser simétricamente sesgada, lo que significa que hay números enteros positivos d x asociados con los elementos del grupo de modo que d x b x , y = - d y b y , x para todo x e y . Es común a la imagen una semilla como un carcaj con vértices del grupo electrógeno, dibujando b x , Y flechas de x a y si este número es positivo. Cuando b x , y es simétricamente sesgado, el carcaj no tiene bucles ni 2 ciclos.
Una mutación de una semilla, dependiendo de la elección del vértice y del grupo, es una nueva semilla dada por una generalización de inclinación como sigue. Intercambie los valores de b x , y y b y , x por todo x en el grupo. Si b x , y > 0 y b y , z > 0, reemplace b x , z por b x , y b y , z + b x , z . Si b x , y <0 y b y , z <0, reemplace b x , z por - b x , y b y , z + b x , z . Si b x , y b y , z ≤ 0, entonces no cambie b x , z . Finalmente reemplace y por un nuevo generador w , donde
donde los productos atraviesan los elementos t en el grupo de la semilla de manera que b t , y es positivo o negativo respectivamente. La inversa de una mutación es también una mutación, es decir, si A es una mutación de B entonces B es una mutación de A .
Un álgebra de conglomerados se construye a partir de una semilla inicial de la siguiente manera. Si mutamos repetidamente la semilla de todas las formas posibles, obtenemos un gráfico de semillas finito o infinito , donde dos semillas están unidas por un borde si una se puede obtener mutando la otra. El álgebra subyacente del álgebra de conglomerados es el álgebra generada por todos los conglomerados de todas las semillas en este gráfico. El álgebra de conglomerados también viene con la estructura adicional de las semillas de este gráfico.
Se dice que un álgebra de conglomerados es de tipo finito si solo tiene un número finito de semillas. Fomin y Zelevinsky (2003) demostraron que las álgebras de racimo de tipo finito pueden clasificarse en términos de los diagramas de Dynkin de álgebras de Lie simples de dimensión finita .
Ejemplos de
Álgebras de racimo de rango 1
Si { x } es el grupo de una semilla de rango 1, entonces la única mutación lo lleva a {2 x −1 }. Entonces, un álgebra de conglomerados de rango 1 es solo un anillo k [ x , x −1 ] de polinomios de Laurent , y tiene solo dos conglomerados, { x } y {2 x −1 }. En particular, es de tipo finito y está asociado con el diagrama A 1 de Dynkin .
Álgebras de racimo de rango 2
Supongamos que comenzamos con el grupo { x 1 , x 2 } y tomamos la matriz de intercambio con b 12 = –b 21 = 1. Entonces la mutación da una secuencia de variables x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , .. . de tal manera que los conglomerados están dados por pares adyacentes { x n , x n +1 }. Las variables están relacionadas por
así están dados por la secuencia
que se repite con el período 5. Entonces, este álgebra de conglomerados tiene exactamente 5 conglomerados, y en particular es de tipo finito. Está asociado con el diagrama de Dynkin A 2 .
Hay ejemplos similares con b 12 = 1, - b 21 = 2 o 3, donde la secuencia análoga de variables de conglomerado se repite con el período 6 u 8. También son de tipo finito y están asociadas con los diagramas de Dynkin B 2 y G 2 . Sin embargo, si | b 12 b 21 | ≥ 4 entonces la secuencia de variables de conglomerados no es periódica y el álgebra de conglomerados es de tipo infinito.
Álgebras de racimo de rango 3
Supongamos que comenzamos con el carcaj x 1 → x 2 → x 3 . Entonces los 14 grupos son:
Hay 6 variables de conglomerado distintas de las 3 iniciales x 1 , x 2 , x 3 dadas por
- .
Corresponden a las 6 raíces positivas del diagrama de Dynkin A 3 : más precisamente los denominadores son monomios en x 1 , x 2 , x 3 , correspondientes a la expresión de raíces positivas como la suma de raíces simples. Las variables de conglomerado 3 + 6 generan un álgebra de conglomerados de tipo finito, asociado con el diagrama de Dynkin A 3 . Los 14 conglomerados son los vértices del gráfico de conglomerados, que es un edro asociado .
Grassmannianos
Los álgebras de funciones homogéneas en los Grassmannianos dan ejemplos simples . Las coordenadas de Plücker proporcionan algunos de los elementos distinguidos.
Para el Grassmanniano de planos en ℂ n , la situación es aún más simple. En ese caso, las coordenadas de Plücker proporcionan todos los elementos distinguidos y los conglomerados se pueden describir completamente usando triangulaciones de un polígono regular con n vértices. Más precisamente, los conglomerados están en correspondencia uno a uno con triangulaciones y los elementos distinguidos están en correspondencia uno a uno con diagonales (segmentos de línea que unen dos vértices del polígono). Se puede distinguir entre diagonales en el límite, que pertenecen a cada grupo, y diagonales en el interior. Esto corresponde a una distinción general entre variables de coeficientes y variables de conglomerados.
Álgebras de racimo que surgen de superficies
Supongamos que S es un compacto está conectado orientado superficie de Riemann y M es un no vacío conjunto finito de puntos en S que contiene al menos un punto de cada límite componente de S (el límite de S no se supone que estar vacío, ya sea o no vacía ). El par ( S , M ) a menudo se denomina superficie bordeada con puntos marcados . Fomin-Shapiro-Thurston ha demostrado que si S no es una superficie cerrada, o si M tiene más de un punto, entonces los arcos (etiquetados) en ( S , M ) parametrizan el conjunto de variables de clúster de cierta álgebra de clúster. A ( S , M ), que depende solo de ( S , M ) y la elección de algún sistema de coeficientes, de tal manera que el conjunto de triangulaciones (etiquetadas) de ( S , M ) está en correspondencia uno a uno con el conjunto de grupos de a ( S , M ), dos (etiquetado) triangulaciones siendo relacionados por un flip si y sólo si los grupos que corresponden a están relacionados por mutación clúster.
Células dobles de Bruhat
Para G un grupo reductivo comocon subgrupos de Borel luego en (donde u y v están en el grupo de Weyl ) hay gráficos de coordenadas de clúster que dependen de las descomposiciones de palabras reducidas de u y v . Estos se denominan parámetros de factorización y su estructura está codificada en un diagrama de cableado. Con solo o solo , esta es la descomposición de Bruhat .
Referencias
- Berenstein, Arkady; Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2005), "Álgebras de clúster. III. Límites superiores y celdas de Bruhat dobles", Duke Mathematical Journal , 126 (1): 1-52, arXiv : math / 0305434 , doi : 10.1215 / S0012-7094-04- 12611-9 , MR 2110627
- Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan (2008), "Álgebras de conglomerados y superficies trianguladas, parte I: complejos de conglomerados", Acta Mathematica , 201 : 83–146, arXiv : math / 0608367 , doi : 10.1007 / s11511-008-0030-7
- Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), "Álgebras de clúster. I. Fundamentos", Revista de la American Mathematical Society , 15 (2): 497–529, arXiv : math / 0104151 , doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00385- X , MR 1887642
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- Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2007), "Álgebras de clúster. IV. Coeficientes", Compositio Mathematica , 143 (1): 112-164, arXiv : math / 0602259 , doi : 10.1112 / S0010437X06002521 , MR 2295199
- Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), "Sistemas de raíces y asociados generalizados", en Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (eds.), Combinatoria geométrica , IAS / Park City Math. Ser., 13 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., ArXiv : math / 0505518 , Bibcode : 2005math ...... 5518F , ISBN 978-0-8218-3736-8, MR 2383126
- Marsh, Robert J. (2013), Lecture notes on cluster álgebras. , Zurich Lectures in Advanced Mathematics, Zurich: European Mathematical Society (EMS), doi : 10.4171 / 130 , ISBN 978-3-03719-130-9, MR 3155783
- Reiten, Idun (2010), Teoría de inclinación y álgebras de conglomerados , Actas del taller de Trieste, arXiv : 1012.6014 , Bibcode : 2010arXiv1012.6014R
- Zelevinsky, Andrei (2007), "¿Qué es ... un álgebra de grupos?" (PDF) , Avisos de AMS , 54 (11): 1494–1495.
enlaces externos
- Portal de álgebra de clústeres de Fomin
- Artículos de Fomin sobre álgebras de racimo
- Los artículos de Zelevinsky sobre álgebras de racimo