En matemáticas , el grupo unitario proyectivo PU ( n ) es el cociente del grupo unitario U ( n ) por la multiplicación correcta de su centro , U (1) , incrustado como escalares. En abstracto, es el grupo de isometría holomórfica del espacio proyectivo complejo , así como el grupo ortogonal proyectivo es el grupo de isometría del espacio proyectivo real .
En términos de matrices , los elementos de U ( n ) son matrices unitarias complejas n × n , y los elementos del centro son matrices diagonales iguales a e iθ multiplicadas por la matriz identidad. Así, los elementos de PU ( n ) corresponden a clases de equivalencia de matrices unitarias bajo multiplicación por una fase constante θ .
De manera abstracta, dado un espacio hermitiano V , el grupo PU ( V ) es la imagen del grupo unitario U ( V ) en el grupo de automorfismo del espacio proyectivo P ( V ) .
Grupo unitario especial proyectivo
El grupo unitario proyectivo especial PSU ( n ) es igual al grupo unitario proyectivo, en contraste con el caso ortogonal.
Las conexiones entre U ( n ), SU ( n ), sus centros y los grupos unitarios proyectivos se muestran a la derecha.
El centro del grupo unitario especial son las matrices escalares de la raíz n- ésima de la unidad:
El mapa natural
es un isomorfismo, según el segundo teorema del isomorfismo , por lo tanto
y el grupo unitario especial SU ( n ) es una cubierta n- pliegue del grupo unitario proyectivo.
Ejemplos de
En n = 1, U (1) es abeliano y, por tanto, es igual a su centro. Por lo tanto, PU (1) = U (1) / U (1) es un grupo trivial .
En n = 2,, siendo todos representables por cuaterniones de norma unitaria, y vía:
Campos finitos
También se pueden definir grupos unitarios sobre campos finitos: dado un campo de orden q , hay una estructura hermitiana no degenerada en espacios vectoriales sobre único hasta la congruencia unitaria, y correspondientemente un grupo de matriz denotado o e igualmente grupos unitarios especiales y proyectivos. Por conveniencia, este artículo utiliza la convención.
Recuerde que el grupo de unidades de un campo finito es cíclico , por lo que el grupo de unidades de y así el grupo de matrices escalares invertibles en es el grupo cíclico de orden El centro de tiene orden q + 1 y consta de las matrices escalares que son unitarias, es decir, aquellas matrices con El centro del grupo unitario especial tiene orden mcd ( n , q + 1) y consiste en esos escalares unitarios que también tienen orden que divide n .
El cociente del grupo unitario por su centro es el grupo unitario proyectivo ,y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial proyectivo En la mayoría de los casos ( n ≥ 2 y), es un grupo perfecto yes un grupo simple finito ( Grove 2002 , Thm. 11.22 y 11.26).
La topología de PU ( H )
PU ( H ) es un espacio de clasificación para paquetes circulares
La misma construcción se puede aplicar a las matrices que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita. .
Sea U ( H ) el espacio de operadores unitarios en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Cuando f : X → U ( H ) es un mapeo continuo de un espacio compacto X en el grupo unitario, se puede usar una aproximación dimensional finita de su imagen y un simple truco de la teoría K
para mostrar que en realidad es homotópico al mapa trivial en un solo punto. Esto significa que U ( H ) es débilmente contráctil y un argumento adicional muestra que en realidad es contráctil. Nótese que este es un fenómeno puramente de dimensión infinita, en contraste con los primos de dimensión finita U ( n ) y su límite U (∞) bajo los mapas de inclusión que no son contráctiles admitiendo asignaciones continuas homotópicamente no triviales en U (1) dadas por el determinante de matrices.
El centro del grupo unitario de dimensión infinita es, como en el caso de dimensión finita, U (1), que nuevamente actúa sobre el grupo unitario mediante la multiplicación por una fase. Como el grupo unitario no contiene la matriz cero, esta acción es gratuita. Por lo tantoes un espacio contráctil con una acción U (1), que lo identifica como EU (1) y el espacio de órbitas U (1) como BU (1) , el espacio clasificador para U (1).
La homotopía y (co) homología de PU ( H )
se define precisamente como el espacio de órbitas de la acción U (1) sobre , por lo tanto es una realización del espacio de clasificación BU (1). En particular, usando el isomorfismo
entre los grupos de homotopía de un espacio X y los grupos de homotopía de su espacio de clasificación BX, combinado con el tipo de homotopía del círculo U (1)
encontramos los grupos de homotopía de
así identificando como representante del espacio Eilenberg – MacLane K ( Z , 2).
Como consecuencia, debe ser del mismo tipo de homotopía que el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que también representa K ( Z , 2). Esto significa, en particular, que tienen grupos de homología y cohomología isomórficos :
Representaciones
La representación adjunta
PU ( n ) en general no tiene representaciones n- dimensionales, al igual que SO (3) no tiene representaciones bidimensionales.
PU ( n ) tiene una acción adjunta sobre SU ( n ), por lo que tiene una-representación dimensional. Cuando n = 2, esto corresponde a la representación tridimensional de SO (3). La acción adjunta se define pensando en un elemento de PU ( n ) como una clase de equivalencia de elementos de U ( n ) que difieren por fases. Entonces se puede tomar la acción adjunta con respecto a cualquiera de estos representantes de U ( n ), y las fases se conmutan con todo y así se cancelan. Por lo tanto, la acción es independiente de la elección del representante y, por lo tanto, está bien definida.
Representaciones proyectivas
En muchas aplicaciones PU ( n ) no actúa en ninguna representación lineal, sino en una representación proyectiva , que es una representación hasta una fase que es independiente del vector sobre el que se actúa. Estos son útiles en mecánica cuántica, ya que los estados físicos solo se definen hasta la fase. Por ejemplo, los estados fermiónicos masivos se transforman bajo una representación proyectiva pero no bajo una representación del pequeño grupo PU (2) = SO (3).
Las representaciones proyectivas de un grupo se clasifican por su segunda cohomología integral , que en este caso es
o
Los grupos de cohomología en el caso finito se pueden derivar de la secuencia larga exacta para paquetes y del hecho anterior de que SU ( n ) es un paquete Z / n sobre PU ( n ). La cohomología en el caso infinito se argumentó anteriormente a partir del isomorfismo con la cohomología del espacio proyectivo complejo infinito.
Así PU ( n ) disfruta de n representaciones proyectivas, de las cuales la primera es la representación fundamental de su cobertura SU ( n ), mientras quetiene un número infinito contable. Como de costumbre, las representaciones proyectivas de un grupo son representaciones ordinarias de una extensión central del grupo. En este caso, el grupo extendido central correspondiente a la primera representación proyectiva de cada grupo unitario proyectivo es solo el grupo unitario original del cual tomamos el cociente por U (1) en la definición de PU.
Aplicaciones
Teoría K retorcida
La acción adjunta del grupo unitario proyectivo infinito es útil en las definiciones geométricas de la teoría K retorcida . Aquí la acción adjunta de la dimensión infinitaen los operadores de Fredholm o en el grupo unitario infinito .
En las construcciones geométricas de la teoría K retorcida con la torsión H , eles la fibra de un haz, y diferentes torsiones H corresponden a diferentes fibraciones. Como se ve a continuación, topológicamenterepresenta el espacio de Eilenberg-Maclane K ( Z , 2), por lo tanto, el espacio de clasificación dehaces es el espacio de Eilenberg-Maclane K ( Z , 3). K ( Z , 3) es también el espacio de clasificación para el tercer grupo de cohomología integral , por lo tantolos haces se clasifican por la tercera cohomología integral. Como resultado, los posibles giros H de una teoría K retorcida son precisamente los elementos de la tercera cohomología integral.
Teoría pura de calibre Yang-Mills
En la teoría de gauge pura SU ( n ) de Yang-Mills , que es una teoría de gauge con solo gluones y sin materia fundamental, todos los campos se transforman en el adjunto del grupo de gauge SU ( n ). El centro Z / n de SU ( n ) conmuta, al estar en el centro, con los campos valorados por SU ( n ), por lo que la acción adjunta del centro es trivial. Por lo tanto, la simetría de gauge es el cociente de SU ( n ) por Z / n , que es PU ( n ) y actúa sobre los campos utilizando la acción adjunta descrita anteriormente.
En este contexto, la distinción entre SU ( n ) y PU ( n ) tiene una importante consecuencia física. SU ( n ) está simplemente conectado, pero el grupo fundamental de PU ( n ) es Z / n , el grupo cíclico de orden n . Por lo tanto, una teoría de calibre de PU ( n ) con escalares adjuntos tendrá vórtices de codimensión 2 no triviales en los que los valores esperados de los escalares se enrollan alrededor del ciclo no trivial de PU ( n ) cuando uno rodea el vórtice. Estos vórtices, por tanto, también tienen cargas en Z / n , lo que implica que se atraen entre sí y cuando n entran en contacto se aniquilan. Un ejemplo de tal vórtice es la cuerda de Douglas-Shenker en las teorías de calibre de SU ( n ) Seiberg-Witten .
Referencias
- Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Estudios de posgrado en matemáticas , 39 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, Señor 1859189
Ver también
- Grupo unitario
- Grupo unitario especial
- Operadores unitarios
- Grupo ortogonal proyectivo