| Compuesto de cinco cubos | |
|---|---|
 (Animación) | |
| Escribe | Compuesto regular |
| Símbolo de coxeter | 2 {5,3} [5 {4,3}] [1] |
| Núcleo de estelación | triacontaedro rómbico |
| Casco convexo | Dodecaedro |
| Índice | UC 9 |
| Poliedros | 5 cubos |
| Caras | 30 cuadrados (visibles como 360 triángulos ) |
| Bordes | 60 |
| Vértices | 20 |
| Doble | Compuesto de cinco octaedros |
| Grupo de simetría | icosaédrico ( I h ) |
| Subgrupo restringido a un componente | piritoédrico ( T h ) |
Un compuesto de cinco cubos es un compuesto poliedro transitivo de caras que es una disposición simétrica de cinco cubos. Esto generalmente se refiere al compuesto regular de cinco cubos.
Compuesto regular de cinco cubos
El compuesto regular de cinco cubos fue descrito por primera vez por Edmund Hess en 1876.
Es uno de los cinco compuestos regulares y dual al compuesto de cinco octaedros . Puede verse como un tallado de un dodecaedro regular.
Es una de las estelaciones del triacontaedro rómbico . Tiene simetría icosaédrica ( I h ).
Geometría
El compuesto es una faceta de un dodecaedro (donde se pueden ver pentagramas correlacionados con las caras pentagonales). Cada cubo representa una selección de 8 de los 20 vértices del dodecaedro.
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| Vistas desde ejes de simetría de 2, 5 y 3 pliegues | ||||
Si la forma se considera como una unión de cinco cubos que produce un sólido simple no convexo sin superficies que se intersecan automáticamente, entonces tiene 360 caras (todos triángulos ), 182 vértices (60 con grado 3, 30 con grado 4, 12 con grado 5, 60 con grado 8 y 20 con grado 12) y 540 aristas, lo que arroja una característica de Euler de 182 - 540 + 360 = 2.
Disposición de los bordes
Su casco convexo es un dodecaedro regular . Además comparte su disposición de bordes con el icosidodecaedro ditrigonal pequeño , el icosidodecaedro ditrigonal grande y el dodecadodecaedro ditrigonal . Con estos, puede formar compuestos poliédricos que también pueden ser considerados como poliedros en estrella uniformes degenerados; el pequeño complejo rombicosidodecaedro , el gran rombicosidodecaedro complejo y el complejo rombidodecadodecaedro .
 Icosidodecaedro ditrigonal pequeño |  Gran icosidodecaedro ditrigonal |  Dodecadodecaedro Ditrigonal |
 Dodecaedro ( casco convexo ) |  Compuesto de cinco cubos |  Como baldosas esféricas |
El compuesto de diez tetraedros se puede formar tomando cada uno de estos cinco cubos y reemplazándolos con los dos tetraedros de la estela octangula (que comparten la misma disposición de vértice de un cubo).
Como una estelación
El área amarilla corresponde a una cara de cubo.
Este compuesto se puede formar como una estelación del triacontaedro rómbico . Las 30 caras rómbicas existen en los planos de los 5 cubos.
Otros compuestos de 5 cubos
Existen otros compuestos no arbitrarios de 5 cubos, que exhiben diferentes simetrías. De particular interés es un compuesto de 5 cubos, con simetría octaédrica, en lugar de la simetría icosaédrica del compuesto regular de 5 cubos, que se puede generar agregando un quinto cubo al compuesto estándar de 4 cubos.. Una propiedad notable de este compuesto es que contiene vértices coincidentes, mientras que el compuesto estándar de 4 cubos no. Esto se debe al hecho de que se puede construir alternativamente creando cuatro copias adicionales superpuestas a un cubo y rotando cada una de ellas 180 ° a lo largo de los cuatro ejes de los vértices diagonales del cubo original. Esto conduce a una relación única entre el compuesto regular de cinco cubos y este compuesto, donde sus vértices coincidentes coinciden de manera equivalente en el compuesto regular de cinco cubos, lo que permite que uno se transforme en el otro mediante la rotación de cuatro cubos a lo largo de sus diagonales en esos vértices coincidentes. Esta relación es especialporque esta transformación puede considerarse análoga a la transición entre un dodecahedoron rómbico y un dodecaedro pentagonal regular a través de un estado de simetría piritoédrica. Esta misma relación entre los mismos grupos de simetría existe entre loscompuesto regular de cinco octaedros y el dual de este compuesto de 5 cubos.
Ver también
- Compuesto de cinco octaedros
- Compuesto de tres cubos
- Compuesto de cuatro cubos
- Compuesto de seis cubos
- Compuesto de poliedro uniforme
Referencias
- ^ Politopos regulares, págs. 49-50, pág. 98
- Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra , Cambridge. p 360
- Harman, Michael G. (c. 1974), Compuestos poliédricos , manuscrito inédito.
- Skilling, John (1976), "Compuestos uniformes de poliedros uniformes", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 79 : 447–457, doi : 10.1017 / S0305004100052440 , MR 0397554.
- Cundy, H. y Rollett, A. "Cinco cubos en un dodecaedro". §3.10.6 en Modelos matemáticos , 3ª ed. Stradbroke, Inglaterra: Tarquin Pub., Págs. 135-136, 1989.
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , 3.6 Los cinco compuestos regulares , págs. 47-50, 6.2 Stellating the Platonic sólidos , págs.96-104
Enlaces externos
- MathWorld: Cube 5-Compuesto
- MathWorld: Estelaciones de triacontaedro rómbico
- George Hart: compuestos de cubos
- Steven Dutch: poliedros uniformes y sus dobles
- Modelo VRML : [1] [ enlace muerto permanente ]
- Klitzing, Richard. "Compuesto 3D" .
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