En geometría conforme , un campo vectorial de Killing conforme en una variedad de dimensión n con métrica (pseudo) riemanniana (también llamado vector de Killing conforme, o colineación conforme), es un campo vectorial cuyo flujo (definido localmente) define transformaciones conformes , es decir, preservaescalar y preservar la estructura conforme. Existen varias formulaciones equivalentes, llamadas ecuación de Killing conforme , en términos de la derivada de Lie del flujo, por ejemplo: para alguna función en el colector. Parahay un número finito de soluciones, especificando la simetría conforme de ese espacio, pero en dos dimensiones, hay una infinidad de soluciones . El nombre Killing se refiere a Wilhelm Killing , quien investigó por primera vez los campos vectoriales de Killing que conservan una métrica de Riemann y satisfacen la ecuación de Killing. .
Tensor métrico densitizado y vectores Conformal Killing
Un campo vectorial es un campo vectorial Killing si su flujo conserva el tensor métrico(estrictamente hablando para cada subconjunto compacto del colector, el flujo solo necesita definirse durante un tiempo finito). Esto se puede formular infinitesimalmente (y más convenientemente) como es matar si satisface
dónde es la derivada de Lie.
De manera más general, defina un campo de vector w -Killing como un campo vectorial cuyo flujo (local) conserva la métrica densitizada , dónde es la densidad de volumen definida por (es decir, localmente ) y es su peso. Tenga en cuenta que un campo de vector Killing conservay así automáticamente también satisface esta ecuación más general. También tenga en cuenta que es el peso único que hace que la combinación invariante bajo escala de la métrica, por lo tanto, en este caso, la condición sólo depende de la estructura conforme . Ahoraes un campo de vector w -Killing iff
Desde esto es equivalente a
- .
Tomando rastros de ambos lados, concluimos . Por lo tanto para, necesariamente y un campo vectorial w -Killing es solo un campo vectorial Killing normal cuyo flujo conserva la métrica. Sin embargo, para, el flujo de simplemente tiene que preservar la estructura conforme y es, por definición, un campo vectorial de Killing conforme .
Formulaciones equivalentes
Los siguientes son equivalentes
- es un campo vectorial de Killing conforme,
- El flujo (definido localmente) de conserva la estructura conforme,
- para alguna función
La discusión anterior prueba la equivalencia de todas, excepto la última forma aparentemente más general. Sin embargo, las dos últimas formas también son equivalentes: tomar rastros muestra que necesariamente.
La ecuación de Killing conforme en notación de índice (abstracta)
Usando eso dónde es el derivado de Levi Civita de (también conocido como derivado covariante), y es la forma dual 1 de (también conocido como vector covariante asociado, también conocido como vector con índices reducidos), y es la proyección en la parte simétrica, se puede escribir la ecuación de Killing conforme en notación de índice abstracto como
Otra notación de índice para escribir las ecuaciones de Killing conformes es
Ver también
- Campo de vector afín
- Colineación de curvatura
- Colector de Einstein
- Campo de vector homotético
- operador diferencial invariante
- Campo de vector de matanza
- Colineación de materia
- Simetrías del espacio-tiempo