En teoría de números , un congruum (plural congrua ) es la diferencia entre números cuadrados sucesivos en una progresión aritmética de tres cuadrados. Es decir, si x 2 , y 2 y z 2 (para enteros x , y y z ) son tres números cuadrados que están igualmente espaciados entre sí, entonces el espaciado entre ellos, z 2 - y 2 = y 2 - x 2, se llama congruum.
El problema del congruum es el problema de encontrar cuadrados en progresión aritmética y su congrua asociada. [1] Se puede formalizar como una ecuación diofántica : encuentre números enteros x , y , z tales que
Cuando se satisface esta ecuación, ambos lados de la ecuación son iguales al congruum.
Fibonacci resolvió el problema del congruum al encontrar una fórmula parametrizada para generar todos los congrua, junto con sus progresiones aritméticas asociadas. Según esta fórmula, cada congruum es cuatro veces el área de un triángulo pitagórico . Los congrue también están estrechamente relacionados con los números congruentes : todo congruente es un número congruente y todo congruente es un congruente multiplicado por el cuadrado de un número racional.
Ejemplos de
Como ejemplo, el número 96 es un congruum porque es la diferencia entre cuadrados adyacentes en la secuencia 4, 100 y 196 (los cuadrados de 2, 10 y 14 respectivamente).
Los primeros congrua son:
Historia
El problema del congruum se planteó originalmente en 1225, como parte de un torneo matemático celebrado por Federico II, emperador del Sacro Imperio Romano Germánico , y fue respondido correctamente en ese momento por Fibonacci , quien registró su trabajo sobre este problema en su Libro de los cuadrados . [2]
Fibonacci ya sabía que es imposible que un congruum en sí mismo sea un cuadrado, pero no dio una prueba satisfactoria de este hecho. [3] Geométricamente, esto significa que no es posible que el par de catetos de un triángulo pitagórico sea el cateto e hipotenusa de otro triángulo pitagórico. Finalmente, Pierre de Fermat dio una demostración , y el resultado ahora se conoce como el teorema del triángulo rectángulo de Fermat . Fermat también conjeturó, y Leonhard Euler demostró, que no existe una secuencia de cuatro cuadrados en la progresión aritmética. [4] [5]
Solución parametrizada
El problema congruum puede ser resuelto por la elección de dos números enteros positivos distintos m y n (con m > n ); entonces el número 4 mn ( m 2 - n 2 ) es un congruum. El cuadrado del medio de la progresión aritmética de cuadrados asociada es ( m 2 + n 2 ) 2 , y los otros dos cuadrados se pueden encontrar sumando o restando el congruum. Además, multiplicar un congruum por un número cuadrado produce otro congruum, cuya progresión de cuadrados se multiplica por el mismo factor. Todas las soluciones surgen de una de estas dos formas. [1] Por ejemplo, el congruum 96 se puede construir mediante estas fórmulas con m = 3 yn = 1, mientras que el congruum 216 se obtiene al multiplicar el congruum menor 24 por el número cuadrado 9.
Una formulación equivalente de esta solución, dada por Bernard Frénicle de Bessy , es que para los tres cuadrados en progresión aritmética x 2 , y 2 y z 2 , el número medio y es la hipotenusa de un triángulo pitagórico y los otros dos números x y z son la diferencia y suma, respectivamente, de dos patas del triángulo. [6] El congruum en sí es cuatro veces el área del mismo triángulo pitagórico. El ejemplo de progresión aritmética con el congruum 96 puede obtenerse de esta forma a partir de un triángulo rectángulo con longitudes de lado e hipotenusa 6, 8 y 10.
Relación con números congruentes
Un número congruente se define como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Debido a que cada congruum puede obtenerse (usando la solución parametrizada) como el área de un triángulo pitagórico, se deduce que todo congrueo es congruente. Por el contrario, todo número congruente es un congrueo multiplicado por el cuadrado de un número racional. [7] Sin embargo, probar si un número es congruente es mucho más fácil que probar si un número es congruente. Para el problema de congruum, la solución parametrizada reduce este problema de prueba a verificar un conjunto finito de valores de parámetros. Por el contrario, para el problema de números congruentes, un procedimiento de prueba finito se conoce solo de manera conjetural, a través del teorema de Tunnell , bajo el supuesto de que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es verdadera. [8]
Ver también
- Triángulo automático , un triángulo para el cual los cuadrados de los tres lados forman una progresión aritmética.
- Espiral de Theodorus , formada por triángulos rectángulos cuyos lados (no enteros), cuando se elevan al cuadrado, forman una progresión aritmética infinita
Referencias
- ↑ a b Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zeno , John Wiley & Sons, p. 77, ISBN 978-0-471-66700-1.
- ^ Bradley, Michael John (2006), El nacimiento de las matemáticas: tiempos antiguos hasta 1300 , Infobase Publishing, p. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7.
- ^ Ore, Øystein (2012), Teoría de números y su historia , Courier Dover Corporation, págs. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1.
- ^ Erickson, Martin J. (2011), Beautiful Mathematics , MAA Spectrum, Asociación Matemática de América, págs. 94–95, ISBN 978-0-88385-576-8.
- ^ La prueba de Euler no está escrita con claridad. Se da una prueba elemental en Brown, Kevin, "Sin Cuatro Plazas En progresión aritmética" , MathPages , recuperada 12/06/2014.
- ^ Beiler, Albert H. (1964), Recreaciones en la teoría de los números: la reina de las matemáticas entretiene , Courier Corporation, p. 153, ISBN 978-0-486-21096-4.
- ^ Conrad, Keith (otoño de 2008), "The congruent number problem" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) en 2013-01-20.
- ^ Koblitz, Neal (1984), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, no. 97, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Congruum Problem" , MathWorld