En matemáticas , específicamente en cálculo diferencial , el teorema de la función inversa da una condición suficiente para que una función sea invertible en una vecindad de un punto en su dominio : es decir, que su derivada sea continua y no cero en el punto . El teorema también da una fórmula para la derivada de la función inversa . En cálculo multivariable , este teorema se puede generalizar a cualquier continuamente diferenciable , función vectorial cuyaEl determinante jacobiano es distinto de cero en un punto de su dominio, lo que da una fórmula para la matriz jacobiana de la inversa. También hay versiones del teorema de la función inversa para funciones holomórficas complejas , para mapas diferenciables entre variedades , para funciones diferenciables entre espacios de Banach , etc.
Declaración
Para funciones de una sola variable , el teorema establece que sies una función continuamente diferenciable con derivada distinta de cero en el punto a ; luegoes invertible en una vecindad de a , la inversa es continuamente diferenciable y la derivada de la función inversa en es el recíproco de la derivada de a :
Una versión alternativa, que asume que es continua e inyectiva cerca de a , y diferenciable en a con una derivada distinta de cero, también dará como resultadosiendo invertible cerca de a , con una inversa que es igualmente continua e inyectiva, y donde también se aplicaría la fórmula anterior. [1]
Como corolario, vemos claramente que si es -ésimo diferenciable, con derivada distinta de cero en el punto a , entonceses invertible en una vecindad de a , la inversa también es-ésima diferenciable. Aquí es un entero positivo o .
Para funciones de más de una variable, el teorema establece que si F es una función continuamente diferenciable de un conjunto abierto de dentro , y la derivada total es invertible en un punto p (es decir, el determinante jacobiano de F en p no es cero), entonces F es invertible cerca de p : una función inversa a F se define en alguna vecindad de. Escritura, esto significa que el sistema de n ecuaciones tiene una solución única para en términos de , A condición de que se restrinja x y y a las pequeñas suficientes barrios de p y q , respectivamente. En el caso de dimensión infinita, el teorema requiere la hipótesis adicional de que la derivada de Fréchet de F en p tiene una inversa acotada .
Finalmente, el teorema dice que la función inversa es continuamente diferenciable, y su derivado jacobiano en es la matriz inversa del jacobiano de F en p :
La parte difícil del teorema es la existencia y diferenciabilidad de . Suponiendo esto, la fórmula de la derivada inversa se sigue de la regla de la cadena aplicada a:
Ejemplo
Considere la función con valores vectoriales definido por:
La matriz jacobiana es:
con determinante jacobiano:
El determinante es distinto de cero en todas partes. Por tanto, el teorema garantiza que, para cada punto p en, existe una vecindad alrededor de p sobre la cual F es invertible. Esto no significa que F sea invertible en todo su dominio: en este caso, F ni siquiera es inyectivo ya que es periódico:.
Contraejemplo
Si se descarta la suposición de que la derivada es continua, la función ya no necesita ser invertible. Por ejemplo y tiene derivada discontinua y , que desaparece arbitrariamente cerca de . Estos puntos críticos son puntos máximos / mínimos locales de, entonces no es uno a uno (y no invertible) en ningún intervalo que contenga . Intuitivamente, la pendiente no se propaga a puntos cercanos, donde las pendientes se rigen por una oscilación débil pero rápida.
Métodos de prueba
Como resultado importante, el teorema de la función inversa ha recibido numerosas demostraciones. La prueba que se ve con más frecuencia en los libros de texto se basa en el principio de mapeo de contracciones , también conocido como el teorema del punto fijo de Banach (que también se puede usar como el paso clave en la prueba de existencia y unicidad de las soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias ). [2] [3]
Dado que el teorema del punto fijo se aplica en escenarios de dimensión infinita (espacio de Banach), esta demostración se generaliza inmediatamente a la versión de dimensión infinita del teorema de la función inversa [4] (ver Generalizaciones a continuación).
Una prueba alternativa en dimensiones finitas depende del teorema del valor extremo para funciones en un conjunto compacto . [5]
Otra demostración más usa el método de Newton , que tiene la ventaja de proporcionar una versión efectiva del teorema: los límites en la derivada de la función implican una estimación del tamaño de la vecindad en la que la función es invertible. [6]
Una demostración del teorema de la función inversa
El teorema de la función inversa establece que sies una función de valor vectorial C 1 en un conjunto abierto, luego si y solo si hay una función de valor vectorial C 1 definido cerca con cerca y cerca . Esto fue establecido por primera vez por Picard y Goursat usando un esquema iterativo: la idea básica es probar un teorema de punto fijo usando el teorema de mapeo de contracciones . Tomando derivados, se sigue que.
La regla de la cadena implica que las matrices y son cada uno inverso. Continuidad de y significa que son homeomorfismos que son inversos localmente. Para probar la existencia, se puede suponer después de una transformación afín que y , así que eso .
Por el teorema fundamental del cálculo si es una función C 1 ,, así que eso . Configuración, resulta que
Ahora elige así que eso por . Suponer que y definir inductivamente por y . Las suposiciones muestran que si luego
- .
En particular implica . En el esquema inductivo y . Por lo tantoes una secuencia de Cauchy que tiende a. Por construcción según sea necesario.
Para comprobar eso es C 1 , escribe así que eso . Por las desigualdades de arriba, así que eso . Por otro lado si, luego . Usando la serie geométrica para, resulta que . Pero entonces
tiende a 0 como y tienden a 0, lo que demuestra que es C 1 con.
La prueba anterior se presenta para un espacio de dimensión finita, pero se aplica igualmente bien a los espacios de Banach . Si una función invertiblees C k con, entonces también lo es su inverso. Esto sigue por inducción utilizando el hecho de que el mapaen operadores es C k para cualquier(en el caso de dimensión finita, este es un hecho elemental porque la inversa de una matriz se da como la matriz adjunta dividida por su determinante ). [7] [8] El método de prueba aquí se puede encontrar en los libros de Henri Cartan , Jean Dieudonné , Serge Lang , Roger Godement y Lars Hörmander .
Generalizaciones
Colectores
El teorema de la función inversa puede reformularse en términos de mapas diferenciables entre variedades diferenciables . En este contexto, el teorema establece que para un mapa diferenciable (de clase ), si el diferencial de,
es un isomorfismo lineal en un punto en entonces existe un barrio abierto de tal que
es un difeomorfismo . Tenga en cuenta que esto implica que los componentes conectados de M y N que contienen p y F ( p ) tienen la misma dimensión, como ya se implica directamente a partir del supuesto de que dF p es un isomorfismo. Si la derivada de F es un isomorfismo en todos los puntos p en M, entonces el mapa F es un difeomorfismo local .
Espacios banach
La función inversa teorema también se puede generalizar a mapas diferenciables entre espacios de Banach X y Y . [9] Sea U una vecindad abierta del origen en X y una función continuamente diferenciable, y suponga que la derivada de Fréchet de F a 0 es una acotada isomorfismo lineal de X a Y . Entonces existe un vecindario abierto V deen Y y un mapa continuamente diferenciable tal que para todos y en V . Es más,es la única solución x suficientemente pequeña de la ecuación.
Colectores Banach
Estas dos direcciones de generalización se pueden combinar en el teorema de la función inversa para las variedades de Banach . [10]
Teorema de rango constante
El teorema de la función inversa (y el teorema de la función implícita ) se puede ver como un caso especial del teorema de rango constante, que establece que un mapa uniforme con rango constante cerca de un punto se puede poner en una forma normal particular cerca de ese punto. [11] Específicamente, si tiene rango constante cerca de un punto , Entonces hay entornos abiertos U de p y V de y hay difeomorfismos y tal que y tal que la derivada es igual a . Es decir, F "parece" su derivada cerca de p . La semicontinuidad de la función de rango implica que hay un subconjunto denso abierto del dominio de F en el que la derivada tiene rango constante. Por tanto, el teorema de rango constante se aplica a un punto genérico del dominio.
Cuando la derivada de F es inyectiva (resp. Sobreyectiva) en un punto p , también es inyectiva (resp. Sobreyectiva) en una vecindad de p , y por lo tanto el rango de F es constante en esa vecindad, y se aplica el teorema de rango constante .
Funciones holomorfas
Si una función holomórfica F se define a partir de un conjunto abierto U de dentro , y la matriz jacobiana de derivadas complejas es invertible en un punto p , entonces F es una función invertible cerca de p . Esto se sigue inmediatamente de la versión multivariable real del teorema. También se puede mostrar que la función inversa es nuevamente holomórfica. [12]
Funciones polinomiales
Si fuera cierto, la conjetura jacobiana sería una variante del teorema de la función inversa para polinomios. Establece que si una función polinomial con valores vectoriales tiene un determinante jacobiano que es un polinomio invertible (que es una constante distinta de cero), entonces tiene una inversa que también es una función polinomial. Se desconoce si esto es cierto o falso, incluso en el caso de dos variables. Este es un gran problema abierto en la teoría de polinomios.
Ver también
- Teorema del punto fijo de Banach
- Teorema de la función implícita
- Teorema de Nash-Moser
Notas
- ^ "Derivada de funciones inversas" . Bóveda de matemáticas . 2016-02-28 . Consultado el 26 de julio de 2019 .
- ^ McOwen, Robert C. (1996). "Cálculo de mapas entre espacios de Banach" . Ecuaciones diferenciales parciales: métodos y aplicaciones . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 218–224. ISBN 0-13-121880-8.
- ^ Tao, Terence (12 de septiembre de 2011). "El teorema de la función inversa para mapas diferenciables en todas partes" . Consultado el 26 de julio de 2019 .
- ^ Jaffe, Ethan. "Teorema de la función inversa" (PDF) .
- ^ Spivak, Michael (1965). Cálculo en colectores . Boston: Addison-Wesley. págs. 31–35. ISBN 0-8053-9021-9.
- ^ Hubbard, John H .; Hubbard, Barbara Burke (2001). Análisis vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales: un enfoque unificado (Matrix ed.).
- ^ Hörmander, Lars (2015). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: teoría de la distribución y análisis de Fourier . Clásicos de las Matemáticas (2ª ed.). Saltador. pag. 10. ISBN 9783642614972.
- ^ Cartan, Henri (1971). Calcul Differentiel (en francés). Hermann . págs. 55–61. ISBN 9780395120330.
- ^ Luenberger, David G. (1969). Optimización por métodos de espacio vectorial . Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 240–242. ISBN 0-471-55359-X.
- ^ Lang, Serge (1985). Colectores diferenciales . Nueva York: Springer. págs. 13-19. ISBN 0-387-96113-5.
- ^ Boothby, William M. (1986). Una introducción a los colectores diferenciables y la geometría de Riemann (segunda ed.). Orlando: Prensa académica. págs. 46–50 . ISBN 0-12-116052-1.
- ^ Fritzsche, K .; Grauert, H. (2002). De funciones holomorfas a colectores complejos . Saltador. págs. 33–36.
Referencias
- Allendoerfer, Carl B. (1974). "Teoremas sobre funciones diferenciables". Cálculo de varias variables y colectores diferenciables . Nueva York: Macmillan. págs. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
- Baxandall, Peter ; Liebeck, Hans (1986). "El teorema de la función inversa". Cálculo vectorial . Nueva York: Oxford University Press. págs. 214-225. ISBN 0-19-859652-9.
- Nijenhuis, Albert (1974). "Derivadas fuertes y mapeos inversos". Amer. Matemáticas. Mensual . 81 (9): 969–980. doi : 10.2307 / 2319298 . hdl : 10338.dmlcz / 102482 .
- Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformaciones y jacobianos". Cálculo intermedio (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
- Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill Book. pp. 221 -223.