En física teórica , la teoría de campo hamiltoniana es el análogo de la teoría de campos a la mecánica clásica hamiltoniana . Es un formalismo en la teoría de campo clásica junto con la teoría de campo lagrangiana . También tiene aplicaciones en la teoría cuántica de campos .
Definición
El hamiltoniano para un sistema de partículas discretas es una función de sus coordenadas generalizadas y momentos conjugados, y posiblemente, el tiempo. Para continuos y campos, la mecánica hamiltoniana no es adecuada, pero puede ampliarse considerando un gran número de masas puntuales y tomando el límite continuo, es decir, infinitas partículas que forman un continuo o campo. Dado que cada masa puntual tiene uno o más grados de libertad , la formulación del campo tiene infinitos grados de libertad.
Un campo escalar
La densidad hamiltoniana es el análogo continuo de los campos; es una función de los campos, los campos de "momento" conjugado, y posiblemente las coordenadas espaciales y temporales mismas. Para un campo escalar φ ( x , t ) , la densidad hamiltoniana se define a partir de la densidad lagrangiana por [nb 1]
con ∇ el operador "del" o "nabla" , x es el vector de posición de algún punto en el espacio y t es el tiempo . La densidad de Lagrange es una función de los campos en el sistema, sus derivadas espaciales y temporales, y posiblemente las propias coordenadas espaciales y temporales. Es el campo análogo a la función de Lagrange para un sistema de partículas discretas descrito por coordenadas generalizadas.
Como en la mecánica hamiltoniana donde cada coordenada generalizada tiene un momento generalizado correspondiente, el campo φ ( x , t ) tiene un campo de momento conjugado π ( x , t ) , definido como la derivada parcial de la densidad lagrangiana con respecto a la derivada del tiempo de el campo,
en el que el overdot [nb 2] denota una derivada de tiempo parcial ∂ / ∂ t , no una derivada de tiempo total d / dt .
Muchos campos escalares
Para muchos campos φ i ( x , t ) y sus conjugados π i ( x , t ) la densidad hamiltoniana es una función de todos ellos:
donde cada campo conjugado se define con respecto a su campo,
En general, para cualquier número de campos, la integral de volumen de la densidad hamiltoniana da la hamiltoniana, en tres dimensiones espaciales:
La densidad hamiltoniana es la hamiltoniana por unidad de volumen espacial. La dimensión correspondiente es [energía] [longitud] −3 , en unidades SI Joules por metro cúbico, J m −3 .
Campos de tensor y espinor
Las ecuaciones y definiciones anteriores pueden extenderse a campos vectoriales y, en general, campos tensoriales y campos espino . En física, los campos tensoriales describen a los bosones y los campos espino describen los fermiones .
Ecuaciones de movimiento
Las ecuaciones de movimiento para los campos son similares a las ecuaciones hamiltonianas para partículas discretas. Para cualquier número de campos:
donde nuevamente los sobrepuntos son derivadas de tiempo parcial, la derivada variacional con respecto a los campos
con · el producto escalar , debe usarse en lugar de simplemente derivadas parciales . En notación de índice tensorial (incluida la convención de suma ) esto es
donde ∂ μ es el gradiente de cuatro .
Espacio de fase
Los campos φ i y los conjugados π i forman un espacio de fase de dimensión infinita , porque los campos tienen un número infinito de grados de libertad.
Soporte de Poisson
Para dos funciones que dependen de los campos φ i y π i , sus derivadas espaciales y las coordenadas espaciales y temporales,
y los campos son cero en el límite del volumen donde se toman las integrales, el corchete de Poisson de la teoría de campo se define como (no confundir con el conmutador de la mecánica cuántica). [1]
dónde es la derivada variacional
En las mismas condiciones de campos que desaparecen en la superficie, el siguiente resultado es válido para la evolución temporal de A (de manera similar para B ):
que se puede encontrar a partir de la derivada de tiempo total de A , integración por partes y usando el paréntesis de Poisson anterior.
Independencia explícita del tiempo
Los siguientes resultados son verdaderos si las densidades lagrangiana y hamiltoniana son explícitamente independientes del tiempo (aún pueden tener una dependencia temporal implícita a través de los campos y sus derivadas),
Densidades de energía cinética y potencial
La densidad hamiltoniana es la densidad de energía total, la suma de la densidad de energía cinética () y la densidad de energía potencial (),
Ecuación de continuidad
Tomando la derivada temporal parcial de la definición de la densidad hamiltoniana anterior, y usando la regla de la cadena para la diferenciación implícita y la definición del campo de momento conjugado, se obtiene la ecuación de continuidad :
en el que la densidad hamiltoniana se puede interpretar como la densidad de energía, y
el flujo de energía, o flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de superficie.
Teoría del campo relativista
La teoría del campo covariante hamiltoniano es la formulación relativista de la teoría del campo hamiltoniano.
La teoría de campo hamiltoniana generalmente significa el formalismo hamiltoniano simpléctico cuando se aplica a la teoría de campo clásica , que toma la forma del formalismo hamiltoniano instantáneo en un espacio de fase de dimensión infinita , y donde las coordenadas canónicas son funciones de campo en algún instante de tiempo. [2] Este formalismo hamiltoniano se aplica a la cuantificación de campos , por ejemplo, en la teoría del calibre cuántico . En la teoría del campo covariante hamiltoniano, los momentos canónicos p μ i corresponden a derivadas de campos con respecto a todas las coordenadas mundiales x μ . [3] Las ecuaciones covariantes de Hamilton son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange en el caso de lagrangianos hiperregulares . La teoría del campo hamiltoniano covariante se desarrolla en las variantes de Hamilton-De Donder, [4] polisimpléctica, [5] multisimpléctica [6] y k- simpléctica [7] . Un espacio de fase de la teoría de campos hamiltonianos covariantes es una variedad polisimpléctica o multisimpléctica de dimensión finita .
La mecánica hamiltoniana no autónoma se formula como teoría de campo covariante hamiltoniana en haces de fibras sobre el eje del tiempo, es decir, la línea real ℝ.
Ver también
- Mecánica analítica
- Teoría de De Donder-Weyl
- Cuatro vector
- Cuantización canónica
- Mecánica de fluidos hamiltoniana
- Teoría de campo clásica covariante
- Colector polisimpléctico
- Mecánica no autónoma
Notas
- ^ Es un abuso estándar de notación abreviar todas las derivadas y coordenadas en la densidad lagrangiana de la siguiente manera:
- ^ Esta es una notación estándar en este contexto, la mayor parte de la literatura no menciona explícitamente que es una derivada parcial. En general, las derivadas de tiempo total y parcial de una función no son lo mismo.
Citas
- ^ Greiner y Reinhardt 1996 , Capítulo 2
- ^ Gotay, M., Un marco multisimpléctico para la teoría de campo clásica y el cálculo de variaciones. II. Descomposición espacio + tiempo, en "Mecánica, análisis y geometría: 200 años después de Lagrange" (Holanda Septentrional, 1991).
- ^ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashntly, G. , "Teoría de campo clásica avanzada", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .
- ^ Krupkova, O., teoría del campo hamiltoniano, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
- ^ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashntly, G. , Ecuaciones covariantes de Hamilton para la teoría de campos, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv : hep-th / 9904062 .
- ^ Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometría de teorías de campo de primer orden hamiltonianas multisimplécticas, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
- ^ Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Formalismo de Gunther (formalismo k- simpléctico) en la teoría de campo clásica: enfoque de Skinner-Rusk y el operador de evolución, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.
Referencias
- Badin, G .; Crisciani, F. (2018). Formulación Variacional de Fluidos y Dinámica de Fluidos Geofísica - Mecánica, Simetrías y Leyes de Conservación - . Saltador. pag. 218. doi : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
- Goldstein, Herbert (1980). "Capítulo 12: Campos y sistemas continuos". Mecánica clásica (2ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. págs. 562–565. ISBN 0201029189.
- Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Cuantización de campo , Springer, ISBN 3-540-59179-6
- Fetter, AL; Walecka, JD (1980). Mecánica Teórica de Partículas y Continua . Dover. págs. 258-259. ISBN 978-0-486-43261-8.