En matemáticas aplicadas, una matriz DFT es una expresión de una transformada de Fourier discreta (DFT) como una matriz de transformación , que se puede aplicar a una señal mediante la multiplicación de matrices .
Definición
Una DFT de N puntos se expresa como la multiplicación, dónde es la señal de entrada original, es la matriz DFT de N -por- N cuadrados , y es la DFT de la señal.
La matriz de transformación Puede ser definido como , o equivalente:
- ,
dónde es una primitiva N º raíz de la unidad en la que. Podemos evitar escribir grandes exponentes para usando el hecho de que para cualquier exponente tenemos la identidad Esta es la matriz de Vandermonde para las raíces de la unidad, hasta el factor de normalización. Tenga en cuenta que el factor de normalización frente a la suma () y el signo del exponente en ω son meras convenciones y difieren en algunos tratamientos. Toda la discusión siguiente se aplica independientemente de la convención, con ajustes mínimos como máximo. La única cosa importante es que las transformadas directa e inversa tienen exponentes de distinto signo, y que el producto de sus factores de normalización ser de 1 / N . sin embargo, elLa elección aquí hace que la matriz DFT resultante sea unitaria , lo cual es conveniente en muchas circunstancias.
Los algoritmos de transformada rápida de Fourier utilizan las simetrías de la matriz para reducir el tiempo de multiplicar un vector por esta matriz, desde el habitual. Se pueden aplicar técnicas similares para multiplicaciones por matrices como la matriz de Hadamard y la matriz de Walsh .
Ejemplos de
Dos puntos
La DFT de dos puntos es un caso simple, en el que la primera entrada es la CC (suma) y la segunda entrada es la CA (diferencia).
La primera fila realiza la suma y la segunda fila realiza la diferencia.
El factor de es hacer que la transformación sea unitaria (ver más abajo).
Cuatro puntos
La matriz DFT de cuatro puntos en el sentido de las agujas del reloj es la siguiente:
dónde .
Ocho puntos
La primera potencia entera no trivial de dos casos es de ocho puntos:
dónde
(Tenga en cuenta que .)
La siguiente imagen muestra la DFT como una multiplicación de matrices, con elementos de la matriz representados por muestras de exponenciales complejas:
La parte real (onda cosenoidal) se indica con una línea continua y la parte imaginaria (onda sinusoidal) con una línea discontinua.
La fila superior son todos unos (escalados por para la unitaridad), por lo que "mide" el componente de CC en la señal de entrada. La siguiente fila son ocho muestras de un ciclo negativo de un exponencial complejo, es decir, una señal con una frecuencia fraccionaria de -1/8, por lo que "mide" cuánta "fuerza" hay a una frecuencia fraccional +1/8 en el señal. Recuerde que un filtro emparejado compara la señal con una versión de tiempo invertido de lo que estamos buscando, así que cuando buscamos fracfreq. 1/8 lo comparamos con fracfreq. −1/8, por eso esta fila es una frecuencia negativa . La siguiente fila tiene dos ciclos negativos de una exponencial compleja, muestreada en ocho lugares, por lo que tiene una frecuencia fraccionaria de -1/4 y, por lo tanto, "mide" hasta qué punto la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/4.
A continuación se resume cómo funciona la DFT de 8 puntos, fila por fila, en términos de frecuencia fraccionaria:
- 0 mide cuánta CC hay en la señal
- −1/8 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/8
- −1/4 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/4
- −3/8 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +3/8
- −1/2 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +1/2
- −5/8 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +5/8
- −3/4 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +3/4
- −7/8 mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de +7/8
De manera equivalente, se puede decir que la última fila tiene una frecuencia fraccionaria de +1/8 y, por lo tanto, mide qué parte de la señal tiene una frecuencia fraccionaria de -1/8. De esta manera, se podría decir que las filas superiores de la matriz "miden" el contenido de frecuencia positiva en la señal y las filas inferiores miden la componente de frecuencia negativa en la señal.
Transformada unitaria
La DFT es (o puede ser, mediante la selección apropiada de escala) una transformada unitaria, es decir, una que conserva la energía. La elección adecuada de escala para lograr la unitaridad es, de modo que la energía en el dominio físico será la misma que la energía en el dominio de Fourier, es decir, para satisfacer el teorema de Parseval . (Otras escalas , no unitarias, también se usan comúnmente por conveniencia computacional; por ejemplo, el teorema de convolución adquiere una forma ligeramente más simple con la escala que se muestra en el artículo de la transformada de Fourier discreta ).
Otras propiedades
Para conocer otras propiedades de la matriz DFT, incluidos sus valores propios, conexión a convoluciones, aplicaciones, etc., consulte el artículo sobre transformadas discretas de Fourier .
Un caso límite: el operador de Fourier
La noción de transformada de Fourier se generaliza fácilmente . Una de estas generalizaciones formales de la DFT de N puntos se puede imaginar tomando N arbitrariamente grande. En el límite, la rigurosa maquinaria matemática trata a estos operadores lineales como las llamadas transformadas integrales . En este caso, si hacemos una matriz muy grande con exponenciales complejos en las filas (es decir, partes reales de coseno y partes imaginarias de seno), y aumentamos la resolución sin límite, nos acercamos al núcleo de la ecuación integral de Fredholm de segundo tipo, a saber, el operador de Fourier que define la transformada de Fourier continua. Una parte rectangular de este operador continuo de Fourier se puede mostrar como una imagen, análoga a la matriz DFT, como se muestra a la derecha, donde el valor de píxel en escala de grises denota una cantidad numérica.
Ver también
Referencias
- The Transform and Data Compression Handbook de PC Yip, K. Ramamohan Rao - Consulte el capítulo 2 para ver un tratamiento de la DFT basado en gran medida en la matriz DFT.