En análisis y aplicaciones matemáticos , las transformaciones multidimensionales se utilizan para analizar el contenido de frecuencia de señales en un dominio de dos o más dimensiones.
Transformada multidimensional de Fourier
Una de las transformaciones multidimensionales más populares es la transformada de Fourier , que convierte una señal de una representación en el dominio del tiempo / espacio a una representación en el dominio de la frecuencia. [1] La transformada de Fourier multidimensional (FT) de dominio discreto se puede calcular de la siguiente manera:
donde F representa la transformada multidimensional de Fourier, m representa la dimensión multidimensional. Defina f como una señal multidimensional de dominio discreto. La transformada de Fourier multidimensional inversa está dada por
La transformada multidimensional de Fourier para señales de dominio continuo se define de la siguiente manera: [1]
Propiedades de la transformada de Fourier
Se aplican propiedades similares de la transformada 1-D FT, pero en lugar de que el parámetro de entrada sea solo una entrada, es una matriz o vector multidimensional (MD). Por lo tanto, es x (n 1 ,…, n M ) en lugar de x (n).
Linealidad
Si , y luego,
Cambiar
Si , luego
Modulación
Si , luego
Multiplicación
Si , y
luego,
( Convolución MD en el dominio de la frecuencia )
o,
( Convolución MD en el dominio de la frecuencia )
Diferenciación
Si , luego
Transposición
Si , luego
Reflexión
Si , luego
Conjugación compleja
Si , luego
Teorema de Parseval (MD)
Si , y luego,
Si , luego
Un caso especial del teorema de Parseval es cuando las dos señales multidimensionales son iguales. En este caso, el teorema describe la conservación de energía de la señal y el término en la suma o integral es la densidad de energía de la señal.
Posibilidad de separación
Una propiedad es la propiedad de separabilidad. Se dice que una señal o sistema es separable si se puede expresar como un producto de funciones 1-D con diferentes variables independientes. Este fenómeno permite calcular la transformada FT como un producto de FT 1-D en lugar de FT multidimensional.
Si , , ... , y si , luego
, entonces
MD FFT
Una transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) y su inversa. Una FFT calcula la DFT y produce exactamente el mismo resultado que evaluar la definición de DFT directamente; la única diferencia es que una FFT es mucho más rápida. (En presencia de error de redondeo, muchos algoritmos de FFT también son mucho más precisos que evaluar la definición de DFT directamente). Hay muchos algoritmos de FFT diferentes que involucran una amplia gama de matemáticas, desde la simple aritmética de números complejos hasta la teoría de grupos y la teoría. Ver más en FFT .
MD DFT
La transformada de Fourier discreta multidimensional (DFT) es una versión muestreada de la FT de dominio discreto evaluándola en frecuencias de muestra que están uniformemente espaciadas. [2] La DFT de N 1 × N 2 × ... N m viene dada por:
para 0 ≤ K yo ≤ N yo - 1 , yo = 1, 2, ..., m .
La ecuación DFT multidimensional inversa es
para 0 ≤ n 1 , n 2 , ..., n m ≤ N (1, 2, ..., m ) - 1 .
Transformada de coseno discreta multidimensional
La transformada de coseno discreta (DCT) se utiliza en una amplia gama de aplicaciones, como compresión de datos , extracción de características , reconstrucción de imágenes , detección de múltiples cuadros , etc. La DCT multidimensional viene dada por:
para k yo = 0, 1, ..., N yo - 1 , yo = 1, 2, ..., r .
Transformada multidimensional de Laplace
La transformada multidimensional de Laplace es útil para la solución de problemas de valores de frontera. Los problemas de valores de frontera en dos o más variables caracterizados por ecuaciones diferenciales parciales pueden resolverse mediante el uso directo de la transformada de Laplace. [3] La transformada de Laplace para un caso de dimensión M se define [3] como
donde F representa la representación en el dominio s de la señal f (t).
Un caso especial (a lo largo de 2 dimensiones) de la transformada de Laplace multidimensional de la función f (x, y) se define [4] como
se llama la imagen de y es conocido como el original de . [ cita requerida ] Este caso especial se puede utilizar para resolver las ecuaciones del Telegrapher . [ cita requerida ] }
Transformada Z multidimensional [5]
La transformada Z multidimensional se utiliza para mapear la señal multidimensional del dominio del tiempo discreto con el dominio Z. Esto se puede utilizar para comprobar la estabilidad de los filtros. La ecuación de la transformada Z multidimensional viene dada por
donde F representa la representación en el dominio z de la señal f (n).
Un caso especial de la transformada Z multidimensional es la transformada Z 2D que se da como
La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada Z evaluada a lo largo del círculo unitario (en 1D) y el bicírculo unitario (en 2D). yo como
donde z y w son vectores.
Región de convergencia
Puntos ( z 1 , z 2 ) para los cuales se encuentran en la República de China.
Un ejemplo:
Si una secuencia tiene un soporte como se muestra en la Figura 1.1a, entonces su ROC se muestra en la Figura 1.1b. Esto sigue que | F ( z 1 , z 2 ) | < ∞ .
se encuentra en la República de China, entonces todos los puntosque satisfacen | z1 | ≥ | z01 | y | z2 | ≥ | z02 se encuentran en la República de China.
Por lo tanto, para las figuras 1.1ay 1.1b, la República de China sería
donde L es la pendiente.
La transformada Z 2D , similar a la transformada Z, se utiliza en el procesamiento de señales multidimensionales para relacionar una señal de tiempo discreto bidimensional con el dominio de frecuencia complejo en el que se conoce la superficie 2D en el espacio 4D donde se encuentra la transformada de Fourier. como la superficie de la unidad o el bicírculo de la unidad.
Aplicaciones
El DCT y DFT se usan a menudo en el procesamiento de señales [6] y procesamiento de imágenes, y también se usan para resolver de manera eficiente ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales. La DFT también se puede utilizar para realizar otras operaciones como convoluciones o multiplicar números enteros grandes. DFT y DCT han tenido un amplio uso en una gran cantidad de campos, solo esbozamos algunos ejemplos a continuación.
Procesamiento de imágenes
El DCT se utiliza en compresión de imágenes JPEG , compresión de video MJPEG , MPEG , DV , Daala y Theora . Allí, se calcula el DCT-II bidimensional de N x N bloques y los resultados se cuantifican y codifican entropía . En este caso, N es típicamente 8 y la fórmula DCT-II se aplica a cada fila y columna del bloque. El resultado es una matriz de coeficientes de transformación de 8x8 en la que el elemento: (0,0) (arriba a la izquierda) es el componente de CC (frecuencia cero) y las entradas con valores de índice verticales y horizontales crecientes representan frecuencias espaciales verticales y horizontales más altas, como se muestra en la imagen de la derecha.
En el procesamiento de imágenes, también se pueden analizar y describir métodos criptográficos no convencionales basados en DCT 2D, para insertar marcas de agua binarias no visibles en el plano de imagen 2D, [7] y según diferentes orientaciones, la transformación híbrida DCT-DWT direccional bidimensional se puede aplicar en la eliminación de ruido en imágenes de ultrasonido. [8] La DCT 3-D también se puede utilizar para transformar datos de vídeo o datos de imágenes 3-D en esquemas de incrustación de marcas de agua en el dominio de transformación. [9] [10]
Análisis espectral
Cuando la DFT se usa para análisis espectral , la secuencia { x n } generalmente representa un conjunto finito de muestras de tiempo uniformemente espaciadas de alguna señal x ( t ) donde t representa el tiempo. La conversión de tiempo continuo a muestras (tiempo discreto) cambia la transformada de Fourier subyacente de x ( t ) en una transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que generalmente implica un tipo de distorsión llamada aliasing . La elección de una frecuencia de muestreo adecuada (consulte la frecuencia de Nyquist ) es la clave para minimizar esa distorsión. De manera similar, la conversión de una secuencia muy larga (o infinita) a un tamaño manejable implica un tipo de distorsión llamada fuga , que se manifiesta como una pérdida de detalle (también conocida como resolución) en la DTFT. La elección de una longitud de subsecuencia adecuada es la clave principal para minimizar ese efecto. Cuando los datos disponibles (y el tiempo para procesarlos) superan la cantidad necesaria para alcanzar la resolución de frecuencia deseada, una técnica estándar es realizar múltiples DFT, por ejemplo, para crear un espectrograma . Si el resultado deseado es un espectro de potencia y hay ruido o aleatoriedad en los datos, promediar los componentes de magnitud de las múltiples DFT es un procedimiento útil para reducir la varianza del espectro (también llamado periodograma en este contexto); dos ejemplos de tales técnicas son el método de Welch y el método de Bartlett ; el tema general de la estimación del espectro de potencia de una señal ruidosa se denomina estimación espectral .
Una fuente final de distorsión (o quizás ilusión ) es la propia DFT, porque es solo una muestra discreta de la DTFT, que es una función de un dominio de frecuencia continuo. Eso se puede mitigar aumentando la resolución de la DFT. Ese procedimiento se ilustra en § Muestreo de la DTFT .
- En ocasiones, el procedimiento se denomina relleno de ceros , que es una implementación particular que se utiliza junto con el algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT). La ineficacia de realizar multiplicaciones y sumas con "muestras" de valor cero está más que compensada por la eficiencia inherente de la FFT.
- Como ya se señaló, las fugas imponen un límite a la resolución inherente de la DTFT. Por lo tanto, existe un límite práctico para el beneficio que se puede obtener de una DFT de grano fino.
Ecuaciones diferenciales parciales
Las transformadas discretas de Fourier se usan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales parciales , donde nuevamente la DFT se usa como una aproximación para la serie de Fourier (que se recupera en el límite de N infinito ). La ventaja de este enfoque es que expande la señal en exponenciales complejas e inx , que son funciones propias de diferenciación: d / dx e inx = in e inx . Por lo tanto, en la representación de Fourier, la diferenciación es simple: simplemente multiplicamos por in . (Tenga en cuenta, sin embargo, que la elección de n no es única debido al aliasing; para que el método sea convergente, se debe utilizar una elección similar a la de la sección de interpolación trigonométrica anterior). Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica de fácil solución. Luego, se usa la DFT inversa para transformar el resultado nuevamente en la representación espacial ordinaria. Este enfoque se denomina método espectral .
Las DCT también se emplean ampliamente en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales por métodos espectrales, donde las diferentes variantes de la DCT corresponden a condiciones de frontera pares / impares ligeramente diferentes en los dos extremos de la matriz.
Las transformadas de Laplace se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales parciales. La teoría general para la obtención de soluciones en esta técnica se desarrolla mediante teoremas sobre la transformada de Laplace en n dimensiones. [3]
La transformada Z multidimensional también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales. [11]
Procesamiento de imágenes para análisis de superficies artísticas por FFT
Un factor muy importante es que debemos aplicar un método no destructivo para obtener esos raros datos valiosos (desde el mirador del HVS, se centra en toda la información colorimétrica y espacial) sobre las obras de arte y sin dañarlas. Podemos entender las artes observando un cambio de color o midiendo el cambio de uniformidad de la superficie. Dado que toda la imagen será muy grande, usamos una ventana de coseno elevada doble para truncar la imagen: [12]
donde N es la dimensión de la imagen yx , y son las coordenadas desde el centro de la imagen desde 0 hasta N / 2. El autor quería calcular un valor igual para la frecuencia espacial como: [12]
donde "FFT" denota la transformada rápida de Fourier, yf es el intervalo de frecuencia espacial de 0 a N / 2 - 1 . El enfoque de imágenes basado en FFT propuesto es una tecnología de diagnóstico para garantizar una vida larga y estable para las artes culturales. Se trata de una herramienta sencilla, barata que se puede utilizar en museos sin afectar a su uso diario. Pero este método no permite una medida cuantitativa de la velocidad de corrosión.
Aplicación a la simulación de circuitos débilmente no lineales [13]
La transformada de Laplace multidimensional inversa se puede aplicar para simular circuitos no lineales. Esto se hace formulando un circuito como un espacio de estados y expandiendo la Transformada Inversa de Laplace basada en la expansión de la función de Laguerre .
El método de Lagurre se puede utilizar para simular un circuito débilmente no lineal y el método de Laguerre puede invertir una transformada de Laplace multidimensional de manera eficiente con una alta precisión.
Se observa que se puede lograr una alta precisión y una aceleración significativa para simular grandes circuitos no lineales utilizando transformadas multidimensionales de Laplace.
Ver también
- Transformada de coseno discreta
- Lista de transformadas relacionadas con Fourier
- Lista de temas de análisis de Fourier
- Convolución discreta multidimensional
- Transformada Z 2D
- Descomposición en modo empírico multidimensional
- Reconstrucción de señales multidimensionales
Referencias
- ^ a b Smith, W. Handbook of Real-Time Fast Fourier Transforms: Algorithms to Product Testing, Wiley_IEEE Press, edición 1, páginas 73–80, 1995
- ^ Dudgeon y Mersereau, Procesamiento de señales digitales multidimensionales, 2da edición, 1995
- ^ a b c Debnath, Joyati; Dahiya, RS (1 de enero de 1989). "Teoremas sobre la transformada de Laplace multidimensional para la solución de problemas de valor de frontera". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 18 (12): 1033–1056. doi : 10.1016 / 0898-1221 (89) 90031-X .
- ^ Cálculo operacional en dos variables y su aplicación (1ª edición en inglés) - traducido por DMG Wishart (Calcul opérationnel) .
- ^ "Libro Narod" (PDF) .
- ^ Tan Xiao, Shao-hai Hu, Yang Xiao. Aplicación 2-D DFT-DWT al procesamiento de señales multidimensionales. Actas de ICSP2006, 2006 IEEE
- ^ Peter KULLAI, Pavol SABAKAI, JozefHUSKAI. Posibilidades simples de la aplicación 2D DCT en criptografía de imágenes monocromáticas digitales. Radioelektronika, 17ª Conferencia Internacional, IEEE, 2007, págs. 1–6
- ^ Xin-ling Wen, Yang Xiao. La transformada híbrida bidireccional DCT-DWT y su aplicación en la reducción de ruido de la imagen de ultrasonido. Procesamiento de la señal. ICSP 2008. Novena Conferencia Internacional, página (s): 946–949
- ^ Jinwei Wang, Shiguo Lian, Zhongxuan Liu, Zhen Ren, Yuewei Dai, Haila Wang. Esquema de marca de agua de imagen basado en DCT 3-D. Electrónica industrial y aplicaciones, 2006 1ª Conferencia IEEE, págs. 1–6
- ^ Jin Li, Moncef Gabbouj, Jarmo Takala, Hexin Chen. Algoritmo de cambio de tamaño directo 3-D DCT a DCT para codificación de video. Procesamiento y análisis de imágenes y señales, 2009. ISPA 2009. Actas del 6º Simposio Internacional, págs. 105–110
- ^ Gregor, Jiří (1998). "Kybernetika" (PDF) . Kybernetika . 24 .
- ↑ a b Angelini, E., Grassin, S .; Piantanida, M .; Corbellini, S .; Ferraris, F .; Neri, A .; Parvis, M. Procesamiento de imágenes basado en FFT para el monitoreo del patrimonio cultural, Instrumentation and Measurement Technology Conference (I2MTC), 2010 IEEE
- ^ Wang, Tingting (2012). "Análisis de circuito débilmente no lineal basado en la transformada de Laplace inversa multidimensional rápida" . 17ª Conferencia de Automatización del Diseño de Asia y el Pacífico Sur . págs. 547–552. doi : 10.1109 / ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7.