En física atómica , la estructura fina describe la división de las líneas espectrales de los átomos debido al espín del electrón y las correcciones relativistas de la ecuación de Schrödinger no relativista . Fue medido por primera vez con precisión para el átomo de hidrógeno por Albert A. Michelson y Edward W. Morley en 1887, [1] [2] sentando las bases para el tratamiento teórico de Arnold Sommerfeld , introduciendo la constante de estructura fina . [3]
Fondo
Estructura bruta
La estructura bruta de los espectros de líneas son los espectros de líneas predichos por la mecánica cuántica de electrones no relativistas sin espín. Para un átomo hidrógeno , los niveles de energía de la estructura bruta solo dependen del número cuántico principal n . Sin embargo, un modelo más preciso tiene en cuenta los efectos relativistas y de espín, que rompen la degeneración de los niveles de energía y dividen las líneas espectrales. La escala de la estructura fina que se divide en relación con las energías de la estructura bruta es del orden de ( Zα ) 2 , donde Z es el número atómico y α es la constante de estructura fina , un número adimensional igual a aproximadamente 1/137.
Correcciones relativistas
Las correcciones de energía de estructura fina se pueden obtener utilizando la teoría de perturbaciones . Para realizar este cálculo se deben agregar los tres términos correctivos al hamiltoniano : la corrección relativista de orden principal a la energía cinética, la corrección debida al acoplamiento espín-órbita y el término de Darwin que proviene del movimiento fluctuante cuántico o zitterbewegung del electrón .
Estas correcciones también se pueden obtener del límite no relativista de la ecuación de Dirac , ya que la teoría de Dirac incorpora naturalmente interacciones de relatividad y espín .
El átomo de hidrógeno
Esta sección discute las soluciones analíticas para el átomo de hidrógeno, ya que el problema se puede resolver analíticamente y es el modelo base para los cálculos del nivel de energía en átomos más complejos.
Corrección relativista de energía cinética
La estructura bruta asume que el término de energía cinética del hamiltoniano toma la misma forma que en la mecánica clásica , que para un solo electrón significa
donde V es la energía potencial , es el impulso, y es la masa en reposo del electrón .
Sin embargo, al considerar una teoría de la naturaleza más precisa a través de la relatividad especial , debemos utilizar una forma relativista de la energía cinética,
donde el primer término es la energía relativista total, y el segundo término es la energía en reposo del electrón (es la velocidad de la luz ). Expandiendo la raíz cuadrada para valores grandes de, encontramos
Aunque hay un número infinito de términos en esta serie, los términos posteriores son mucho más pequeños que los términos anteriores, por lo que podemos ignorar todos menos los dos primeros. Dado que el primer término anterior ya es parte del hamiltoniano clásico, la corrección de primer orden al hamiltoniano es
Usando esto como una perturbación , podemos calcular las correcciones de energía de primer orden debido a los efectos relativistas.
dónde es la función de onda no perturbada. Recordando al imperturbable hamiltoniano, vemos
Podemos usar este resultado para calcular más la corrección relativista:
Para el átomo de hidrógeno,
, , y ,
dónde es la carga elemental ,es la permitividad del vacío ,es el radio de Bohr ,es el número cuántico principal ,es el número cuántico azimutal yes la distancia del electrón al núcleo. Por lo tanto, la corrección relativista de primer orden para el átomo de hidrógeno es
donde hemos usado:
En el cálculo final, el orden de magnitud de la corrección relativista al estado fundamental es .
Acoplamiento giro-órbita
Para un átomo similar al hidrógeno con protones para el hidrógeno), momento angular orbital y espín de electrones , el término giro-órbita viene dado por:
dónde es el factor g de espín .
La corrección de giro- órbita se puede entender cambiando del marco de referencia estándar (donde el electrón orbita el núcleo ) a uno en el que el electrón está estacionario y el núcleo en su lugar lo orbita. En este caso, el núcleo en órbita funciona como un bucle de corriente efectivo, que a su vez generará un campo magnético. Sin embargo, el propio electrón tiene un momento magnético debido a su momento angular intrínseco . Los dos vectores magnéticos, y se acoplan para que exista un cierto costo de energía en función de su orientación relativa. Esto da lugar a la corrección energética de la forma.
Observe que se debe agregar un factor importante de 2 al cálculo, llamado precesión de Thomas , que proviene del cálculo relativista que regresa al marco del electrón desde el marco del núcleo.
Desde
el valor esperado para el hamiltoniano es:
Por tanto, el orden de magnitud del acoplamiento espín-orbital es .
Cuando se aplican campos magnéticos externos débiles, el acoplamiento espín-órbita contribuye al efecto Zeeman .
Término de Darwin
Hay un último término en la expansión no relativista de la ecuación de Dirac . Se lo conoce como el término de Darwin, ya que fue derivado por primera vez por Charles Galton Darwin , y viene dado por:
El término de Darwin afecta solo a los orbitales s. Esto se debe a que la función de onda de un electrón condesaparece en el origen, por lo que la función delta no tiene ningún efecto. Por ejemplo, le da al orbital 2s la misma energía que el orbital 2p elevando el estado 2s en9.057 × 10 −5 eV .
El término de Darwin cambia el potencial efectivo en el núcleo. Puede interpretarse como una mancha de la interacción electrostática entre el electrón y el núcleo debido a zitterbewegung , u oscilaciones cuánticas rápidas, del electrón. Esto se puede demostrar con un breve cálculo. [4]
Las fluctuaciones cuánticas permiten la creación de pares virtuales de electrones y positrones con una vida útil estimada por el principio de incertidumbre. . La distancia que las partículas pueden moverse durante este tiempo es, la longitud de onda de Compton . Los electrones del átomo interactúan con esos pares. Esto produce una posición de electrones fluctuante.. Usando una expansión de Taylor , el efecto sobre el potencial se puede estimar:
Promediando las fluctuaciones
da el potencial medio
Aproximando , esto produce la perturbación del potencial debido a fluctuaciones:
Para comparar con la expresión anterior, conecte el potencial de Coulomb :
Esto es solo un poco diferente.
Otro mecanismo que afecta solo al estado s es el desplazamiento de Lamb , una corrección adicional más pequeña que surge en la electrodinámica cuántica y que no debe confundirse con el término de Darwin. El término de Darwin da al estado s y al estado p la misma energía, pero el desplazamiento de Lamb hace que el estado s sea más alto en energía que el estado p.
Efecto total
El hamiltoniano completo está dado por
dónde es el hamiltoniano de la interacción de Coulomb .
El efecto total, obtenido sumando los tres componentes, viene dado por la siguiente expresión: [5]
dónde es el número cuántico del momento angular total ( Si y de lo contrario). Vale la pena señalar que esta expresión fue obtenida por primera vez por Sommerfeld basándose en la antigua teoría de Bohr ; es decir, antes de que se formulara la mecánica cuántica moderna .
Energías relativistas exactas
El efecto total también se puede obtener utilizando la ecuación de Dirac. En este caso, el electrón se trata como no relativista. Las energías exactas están dadas por [6]
Esta expresión, que contiene todos los términos de orden superior que se omitieron en los otros cálculos, se expande al primer orden para dar las correcciones de energía derivadas de la teoría de perturbaciones. Sin embargo, esta ecuación no contiene las correcciones de estructura hiperfina , que se deben a interacciones con el espín nuclear. No se incluyen otras correcciones de la teoría cuántica de campos , como el desplazamiento de Lamb y el momento dipolar magnético anómalo del electrón.
Ver también
- Acoplamiento de momento angular
- Fina estructura electrónica
Referencias
- ^ AA Michelson ; EW Morley (1887). "Sobre un método para hacer que la longitud de onda de la luz de sodio sea el estándar práctico real de longitud" . Revista estadounidense de ciencia . 34 : 427.
- ^ AA Michelson ; EW Morley (1887). "Sobre un método para hacer que la longitud de onda de la luz de sodio sea el estándar práctico real de longitud" . Revista Filosófica . 24 : 463.
- ^ A. Sommerfeld (julio de 1940). "Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie". Naturwissenschaften (en alemán). 28 (27): 417–423. doi : 10.1007 / BF01490583 .
- ^ Zelevinsky, Vladimir (2011), Física cuántica Volumen 1: De lo básico a las simetrías y las perturbaciones , WILEY-VCH, ISBN 978-3-527-40979-2pag. 551
- ^ Berestetskii, VB; EM Lifshitz; LP Pitaevskii (1982). Electrodinámica cuántica . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-3371-0.
- ^ Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien '. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-87144-484-7. Alemán inglés
- Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
- Liboff, Richard L. (2002). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
enlaces externos
- Hiperfísica: estructura fina
- Universidad de Texas: la fina estructura del hidrógeno