En matemáticas , la teoría de la deformación es el estudio de las condiciones infinitesimales asociadas con la variación de una solución P de un problema a soluciones P ε ligeramente diferentes , donde ε es un número pequeño o un vector de cantidades pequeñas. Las condiciones infinitesimales son el resultado de aplicar el enfoque del cálculo diferencial para resolver un problema con restricciones . El nombre es una analogía de las estructuras no rígidas que se deforman ligeramente para adaptarse a las fuerzas externas.
Algunos fenómenos característicos son: la derivación de ecuaciones de primer orden al tratar las cantidades ε como si tuvieran cuadrados despreciables; la posibilidad de soluciones aisladas , en las que variar una solución puede no ser posible, o no aporta nada nuevo; y la cuestión de si las restricciones infinitesimales realmente se 'integran', de modo que su solución proporcione pequeñas variaciones. De alguna forma, estas consideraciones tienen una historia de siglos en las matemáticas, pero también en la física y la ingeniería . Por ejemplo, en la geometría de los números se reconoció una clase de resultados llamados teoremas de aislamiento , con la interpretación topológica de una órbita abierta (de unacción de grupo ) en torno a una solución dada. La teoría de la perturbación también analiza las deformaciones, en general, de los operadores .
La teoría de la deformación más destacada en matemáticas ha sido la de variedades complejas y variedades algebraicas . Esto fue puesto sobre una base firme por el trabajo fundacional de Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , después de que las técnicas de deformación hubieran recibido una gran cantidad de aplicaciones tentativas en la escuela italiana de geometría algebraica . Uno espera, intuitivamente, que la teoría de la deformación de primer orden iguale el espacio tangente de Zariski con un espacio de módulos . Sin embargo, los fenómenos resultan ser bastante sutiles en el caso general.
En el caso de las superficies de Riemann , se puede explicar que la estructura compleja en la esfera de Riemann está aislada (sin módulos). Para el género 1, una curva elíptica tiene una familia de estructuras complejas de un parámetro, como se muestra en la teoría de la función elíptica . La teoría general de Kodaira-Spencer identifica como la clave de la teoría de la deformación el grupo de cohomología de la gavilla
donde Θ es (la gavilla de gérmenes de secciones de) el haz tangente holomorfo . Hay una obstrucción en el H 2 de la misma gavilla; que siempre es cero en el caso de una curva, por razones generales de dimensión. En el caso del género 0, el H 1 también desaparece. Para el género 1 la dimensión es el número de Hodge h 1,0 que por lo tanto es 1. Se sabe que todas las curvas del género uno tienen ecuaciones de la forma y 2 = x 3 + ax + b. Estos obviamente dependen de dos parámetros, ayb, mientras que las clases de isomorfismo de tales curvas tienen un solo parámetro. Por lo tanto, debe haber una ecuación que relacione a y b que describen curvas elípticas isomórficas. Resulta que las curvas para las cuales b 2 a −3 tiene el mismo valor, describen curvas isomorfas. Es decir, variar ayb es una forma de deformar la estructura de la curva y 2 = x 3 + ax + b , pero no todas las variaciones de a,b realmente cambian la clase de isomorfismo de la curva.
donde Ω es el paquete cotangente holomorfo y la notación Ω [2] significa el tensor cuadrado ( no la segunda potencia exterior ). En otras palabras, las deformaciones están reguladas por diferenciales cuadráticos holomorfos en una superficie de Riemann, de nuevo algo conocido clásicamente. La dimensión del espacio de módulos, llamado espacio de Teichmüller en este caso, se calcula como 3 g − 3, por el teorema de Riemann-Roch .