En geometría algebraica , una pila de Deligne-Mumford es una pila F tal que
- (i) el morfismo diagonal es representable , cuasi-compacto y separado.
- (ii) Hay un esquema U y un mapa sobreyectivo étale(llamado atlas ).
Pierre Deligne y David Mumford introdujeron esta noción en 1969 cuando se demostró que los espacios de moduli de curvas estables de fijos género aritméticas están adecuada suavizar pilas Deligne-Mumford.
Si el "étale" se debilita a " suave ", entonces dicha pila se llama pila algebraica (también llamada pila Artin, en honor a Michael Artin ). Un espacio algebraico es Deligne-Mumford.
Un hecho clave sobre una pila F de Deligne-Mumford es que cualquier X en, donde B es cuasi-compacto, sólo tiene un número finito de automorfismos. Una pila de Deligne-Mumford admite una presentación de un grupoide ; ver esquema grupoide .
Ejemplos de
Pilas afines
Las pilas de Deligne-Mumford se construyen típicamente tomando el cociente de pila de alguna variedad donde los estabilizadores son grupos finitos. Por ejemplo, considere la acción del grupo cíclico en dada por
- .
Entonces el cociente de la pila es una pila Deligne-Mumford suave y afín con un estabilizador no trivial en el origen. Si deseamos pensar en esto como una categoría con fibras en grupos sobre luego dado un esquema la categoría superior está dada por
Tenga en cuenta que podríamos ser un poco más generales si consideramos la acción de grupo en .
Línea proyectiva ponderada
Los ejemplos no afines surgen cuando se toma el cociente de la pila para el espacio proyectivo ponderado / variedades. Por ejemplo, el espacio está construido por el cociente de la pila donde el -la acción viene dada por
Nótese que dado que este cociente no es de un grupo finito, tenemos que buscar puntos con estabilizadores y sus respectivos grupos estabilizadores. Luego si y solo si o y o , respectivamente, mostrando que los únicos estabilizadores son finitos, por lo tanto, la pila es Deligne-Mumford.
Curva apilada
No ejemplo
Un simple no ejemplo de una pila Deligne-Mumford es ya que este tiene un estabilizador infinito. Las pilas de esta forma son ejemplos de pilas Artin.