El término diferencial se usa en cálculo para referirse a un cambio infinitesimal (infinitamente pequeño) en alguna cantidad variable . Por ejemplo, si x es una variable , entonces un cambio en el valor de x a menudo se denota como Δ x (pronunciado delta x ). El diferencial dx representa un cambio infinitamente pequeño en la variable x . La idea de un cambio infinitamente pequeño o infinitamente lento es, intuitivamente, extremadamente útil, y hay varias formas de hacer que la noción sea matemáticamente precisa.
Usando el cálculo, es posible relacionar los cambios infinitamente pequeños de varias variables entre sí matemáticamente usando derivadas . Si y es una función de x , entonces el diferencial dy de y está relacionado con dx por la fórmula
donde dy / dx denota la derivada de y con respecto ax . Esta fórmula resume la idea intuitiva de que la derivada de y con respecto ax es el límite de la relación de diferencias Δ y / Δ x cuando Δ x se vuelve infinitesimal.
Hay varios enfoques para hacer matemáticamente precisa la noción de diferenciales.
- Diferenciales como mapas lineales . Este enfoque es la base de la definición de la derivada y la derivada exterior en geometría diferencial . [1]
- Diferenciales como elementos nilpotentes de anillos conmutativos . Este enfoque es popular en geometría algebraica. [2]
- Diferenciales en modelos suaves de teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que las ideas de la teoría topos se utilizan para ocultar los mecanismos mediante los cuales se introducen infinitesimales nilpotentes. [3]
- Diferenciales como infinitesimales en sistemas numéricos hiperrealistas , que son extensiones de los números reales que contienen infinitesimales invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque de análisis no estándar del que fue pionero Abraham Robinson . [4]
Estos enfoques son muy diferentes entre sí, pero tienen en común la idea de ser cuantitativos , es decir, decir no solo que un diferencial es infinitamente pequeño, sino lo pequeño que es.
Historia y uso
Las cantidades infinitesimales jugaron un papel importante en el desarrollo del cálculo. Arquímedes los usó, aunque no creía que los argumentos que involucraban a infinitesimales fueran rigurosos. [5] Isaac Newton se refirió a ellos como fluxiones . Sin embargo, fue Gottfried Leibniz quien acuñó el término diferenciales para cantidades infinitesimales e introdujo la notación para ellos que todavía se usa en la actualidad.
En la notación de Leibniz , si x es una cantidad variable, entonces dx denota un cambio infinitesimal en la variable x . Por lo tanto, si y es una función de x , entonces la derivada de y con respecto a x a menudo se denota dy / dx , que de otro modo se denotaría (en la notación de Newton o Lagrange ) ẏ o y ′ . El uso de diferenciales en esta forma atrajo muchas críticas, por ejemplo en el famoso panfleto The Analyst del obispo Berkeley. Sin embargo, la notación se ha mantenido popular porque sugiere fuertemente la idea de que la derivada de y en x es su tasa de cambio instantánea (la pendiente de la línea tangente de la gráfica ), que puede obtenerse tomando el límite de la razón Δ y / Δ x del cambio en y sobre el cambio en x , ya que el cambio en x se vuelve arbitrariamente pequeño. Los diferenciales también son compatibles con el análisis dimensional , donde un diferencial como dx tiene las mismas dimensiones que la variable x .
Los diferenciales también se usan en la notación de integrales porque una integral puede considerarse como una suma infinitesimal de cantidades infinitesimales: el área debajo de un gráfico se obtiene subdividiendo el gráfico en franjas infinitamente delgadas y sumando sus áreas. En una expresión como
el signo integral (que es una s larga modificada ) denota la suma infinita, f ( x ) denota la "altura" de una tira delgada, y el diferencial dx denota su ancho infinitamente delgado.
Diferenciales como mapas lineales
Existe una forma sencilla de dar un sentido preciso a los diferenciales considerándolos como mapas lineales . Para ilustrar esto, supongamos que f ( x ) es una función real en R . Podemos reinterpretar la variable x en f ( x ) como una función en lugar de un número, es decir, el mapa de identidad en la línea real, que toma un número real p a sí mismo: x ( p ) = p . Entonces f ( x ) es el compuesto de f con x , cuyo valor en p es f ( x ( p )) = f ( p ) . El diferencial df (que por supuesto depende de f ) es entonces una función cuyo valor en p (generalmente denotado df p ) no es un número, pero un mapa lineal de R a R . Dado que un mapa lineal de R a R viene dado por una matriz de 1 × 1 , es esencialmente lo mismo que un número, pero el cambio en el punto de vista nos permite pensar en df p como un infinitesimal y compararlo con el estándar infinitesimal dx p , que nuevamente es solo el mapa de identidad de R a R (una matriz de 1 × 1 con la entrada 1). El mapa de identidad tiene la propiedad de que si ε es muy pequeño, entonces dx p ( ε ) es muy pequeño, lo que nos permite considerarlo como infinitesimal. El diferencial df p tiene la misma propiedad, porque es solo un múltiplo de dx p , y este múltiplo es la derivada f ′ ( p ) por definición. Por tanto, obtenemos que df p = f ′ ( p ) dx p , y por tanto df = f ′ dx . Así recuperamos la idea de que f ′ es la razón de los diferenciales df y dx .
Esto sería solo un truco si no fuera por el hecho de que:
- captura la idea de la derivada de f en p como la mejor aproximación lineal de f en p ;
- tiene muchas generalizaciones.
Por ejemplo, si f es una función de R n a R , entonces decimos que f es derivable [6] en p ∈ R n si hay un mapa lineal df p de R n a R tal que para cualquier ε > 0 , hay una vecindad N de p tal que para x ∈ N ,
Ahora podemos usar el mismo truco que en el caso unidimensional y pensar en la expresión f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) como el compuesto de f con las coordenadas estándar x 1 , x 2 ,…, x n en R n (de modo que x j ( p ) es la j -ésima componente de p ∈ R n ). Entonces, las diferenciales ( dx 1 ) p , ( dx 2 ) p , ( dx n ) p en un punto p forman una base para el espacio vectorial de mapas lineales de R n a R y, por lo tanto, si f es derivable en p , puede escribir df p como una combinación lineal de estos elementos básicos:
Los coeficientes D j f ( p ) son (por definición) las derivadas parciales de f en p con respecto a x 1 , x 2 ,…, x n . Por lo tanto, si f es diferenciable en todo R n , podemos escribir, de manera más concisa:
En el caso unidimensional, esto se convierte en
como antes.
Esta idea se generaliza directamente a funciones de R n a R m . Además, tiene la ventaja decisiva sobre otras definiciones de la derivada de que es invariante bajo cambios de coordenadas. Esto significa que se puede utilizar la misma idea para definir el diferencial de mapas suaves entre variedades suaves .
Aparte: observe que la existencia de todas las derivadas parciales de f ( x ) en x es una condición necesaria para la existencia de una diferencial en x . Sin embargo, no es una condición suficiente . Para contraejemplos, consulte Derivado de Gateaux .
Geometría algebraica
En geometría algebraica , los diferenciales y otras nociones infinitesimales se manejan de una manera muy explícita al aceptar que el anillo de coordenadas o la estructura de un espacio pueden contener elementos nilpotentes . El ejemplo más simple es el anillo de números duales R [ ε ], donde ε 2 = 0.
Esto puede estar motivado por el punto de vista algebro-geométrico sobre la derivada de una función f de R a R en un punto p . Para esto, observe primero que f - f ( p ) pertenece al ideal I p de funciones en R que se desvanecen en p . Si la derivada f desaparece en p , entonces f - f ( p ) pertenece al cuadrado I p 2 de este ideal. Por tanto, la derivada de f en p puede ser capturada por la clase de equivalencia [ f - f ( p )] en el espacio del cociente I p / I p 2 , y el 1-chorro de f (que codifica su valor y su primera derivada) es la clase de equivalencia de f en el espacio de todas las funciones módulo I p 2 . Los geómetras algebraicos consideran esta clase de equivalencia como la restricción de f a una versión engrosada del punto p cuyo anillo de coordenadas no es R (que es el espacio cociente de funciones en R módulo I p ) sino R [ ε ] que es el espacio cociente de funciones en R módulo I p 2 . Un punto tan engrosado es un ejemplo simple de esquema . [2]
Geometría diferencial sintética
Un tercer enfoque de los infinitesimales es el método de geometría diferencial sintética [7] o análisis infinitesimal suave . [8] Esto está estrechamente relacionado con el enfoque algebraico-geométrico, excepto que los infinitesimales son más implícitos e intuitivos. La idea principal de este enfoque es reemplazar la categoría de conjuntos con otra categoría de conjuntos que varían suavemente, que es un topos . En esta categoría, se pueden definir los números reales, funciones suaves, etc., pero los números reales contienen automáticamente infinitesimales nilpotentes, por lo que no es necesario introducirlos a mano como en el enfoque geométrico algebraico. Sin embargo, la lógica en esta nueva categoría no es idéntica a la lógica familiar de la categoría de conjuntos: en particular, la ley del medio excluido no se cumple. Esto significa que los argumentos matemáticos de la teoría de conjuntos solo se extienden a un análisis infinitesimal suave si son constructivos (por ejemplo, no use la prueba por contradicción ). Algunos [ ¿quién? ] consideran esta desventaja como algo positivo, ya que obliga a uno a encontrar argumentos constructivos dondequiera que estén disponibles.
Análisis no estándar
El acercamiento final a los infinitesimales nuevamente implica extender los números reales, pero de una manera menos drástica. En el enfoque de análisis no estándar no hay infinitesimales nilpotentes, solo invertibles, que pueden verse como los recíprocos de números infinitamente grandes. [4] Tales extensiones de los números reales se pueden construir de forma explícita el uso de clases de equivalencia de secuencias de números reales , de modo que, por ejemplo, la secuencia (1, 1/2, 1/3, ..., 1 / n ,. ..) representa un infinitesimal. La lógica de primer orden de este nuevo conjunto de números hiperrealistas es la misma que la lógica de los números reales habituales, pero el axioma de completitud (que implica lógica de segundo orden ) no se cumple. Sin embargo, esto es suficiente para desarrollar un enfoque elemental y bastante intuitivo del cálculo usando infinitesimales, ver principio de transferencia .
Ver también
- Ecuación diferencial
- Forma diferencial
- Diferencial de una función
Notas
- ^ Cariño, 1994 .
- ↑ a b Eisenbud y Harris, 1998 .
- ^ Ver Kock 2006 y Moerdijk & Reyes 1991 .
- ^ a b Véase Robinson 1996 y Keisler 1986 .
- ^ Boyer 1991 .
- ^ Ver, por ejemplo, Apostol 1967 .
- ^ Ver Kock 2006 y Lawvere 1968 .
- ^ Ver Moerdijk & Reyes 1991 y Bell 1998 .
Referencias
- Apostol, Tom M. (1967), Cálculo (2a ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
- Bell , John L. (1998), Invitación a un análisis infinitesimal fluido (PDF).
- Boyer, Carl B. (1991), "Archimedes of Syracuse", A History of Mathematics (2ª ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
- Darling, RWR (1994), Formas y conexiones diferenciales , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
- Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), La geometría de los esquemas , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
- Keisler, H. Jerome (1986), Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal (2a ed.).
- Kock, Anders (2006), Geometría diferencial sintética (PDF) (2a ed.), Cambridge University Press.
- Lawvere, FW (1968), Esquema de la geometría diferencial sintética (PDF) (publicado en 1998).
- Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Modelos para análisis infinitesimal suave , Springer-Verlag.
- Robinson, Abraham (1996), análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.