En física matemática , el álgebra de Dirac es el álgebra de Clifford Cℓ 4 ( C ), que puede considerarse como Cℓ 1,3 ( C ). Esto fue introducido por el físico matemático PAM Dirac en 1928 al desarrollar la ecuación de Dirac para partículas de espín ½ con una representación matricial con las matrices gamma de Dirac , que representan los generadores del álgebra.
Los elementos gamma tienen la relación definitoria
dónde son los componentes de la métrica de Minkowski con firma (+ - - -) yes el elemento identidad del álgebra (la matriz identidad en el caso de una representación matricial). Esto permite la definición de un producto escalar.
dónde
- y .
Poderes superiores
Los sigmas [1]
( I4 )
solo 6 de los cuales son distintos de cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación de seis dimensiones del tensor (1, 0) ⊕ (0, 1) -representación del álgebra de Lorentz en el interior. Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie, [2]
( I5 )
y por lo tanto constituyen una representación del álgebra de Lorentz (además de abarcar un espacio de representación) sentado dentro el (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representación de giro.
Derivación a partir de la ecuación de Dirac y Klein-Gordon
La forma definitoria de los elementos gamma se puede derivar si se asume la forma covariante de la ecuación de Dirac :
y la ecuación de Klein-Gordon :
debe darse, y requiere que estas ecuaciones conduzcan a resultados consistentes.
Al multiplicar la ecuación de Dirac por su ecuación conjugada se obtiene:
La exigencia de coherencia con la ecuación de Klein-Gordon conduce inmediatamente a:
dónde es el anticonmutador ,es la métrica de Minkowski con firma (+ - - -) yes la matriz de unidades 4x4. [3]
Cℓ 1,3 ( ℂ ) y Cℓ 1,3 ( ℝ )
El álgebra de Dirac se puede considerar como una complejación del álgebra del espacio-tiempo real Cℓ 1,3 ( ℝ ):
Cℓ 1,3 ( ℝ ) difiere de Cℓ 1,3 ( ℂ ): en Cℓ 1,3 ( ℝ ) solo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos.
Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Argumentan que generalmente es posible (y generalmente esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Estas unidades surgen de una de las muchas cantidades en un álgebra de Clifford real que cuadran con -1, y tienen importancia geométrica debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos proponentes también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac.
En las matemáticas de la geometría de Riemann , es convencional definir el álgebra de Clifford Cℓ p, q ( ℝ ) para dimensiones arbitrarias p, q ; la anticonmutación de los espinores de Weyl surge naturalmente del álgebra de Clifford. [4] Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín. . La complexificación del grupo de espín, llamado grupo de espín., es un producto del grupo de giro con el círculo con el producto solo un dispositivo de notación para identificar con El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante bajo las transformaciones de Lorentz, de la componente, que se puede identificar con el fibra de la interacción electromagnética. Laestá entrelazando la conjugación de paridad y carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partículas / antipartículas de Dirac (de manera equivalente, los estados quirales en la base de Weyl). El bispinor , en la medida en que tiene componentes izquierda y derecha linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor ELKO, que no pueden ( es decir , son eléctricamente neutrales), ya que restringen explícitamente el espinor para no interactuar con el parte procedente de la complexificación.
En la medida en que la presentación de carga y paridad puede ser un tema confuso en los libros de texto de teoría cuántica de campos convencionales, la disección más cuidadosa de estos temas en un entorno geométrico general puede resultar esclarecedor. Las exposiciones estándar del álgebra de Clifford construyen los espinores de Weyl a partir de los primeros principios; que "automáticamente" anticonmutan es un subproducto geométrico elegante de la construcción, pasando por alto por completo cualquier argumento que apele al principio de exclusión de Pauli (o la sensación a veces común de que las variables de Grassmann se han introducido mediante una argumentación ad hoc ).
En la práctica de la física contemporánea, el álgebra de Dirac sigue siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac, en lugar del álgebra del espacio-tiempo.
Ver también
Referencias
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.6
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.4 Sección 5.4.
- ^ ver también: Victoria Martin, Lecture Notes SH Particle Physics 2012 , Lecture Notes 5-7, Sección 5.5 Las matrices gamma
- ^ Jurgen Jost (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3ª edición)", Springer Universitext. Ver sección 1.8