grupo discreto
En matemáticas , un grupo topológico como G se llama grupo discreto si no tiene un punto límite (es decir, para cada elemento en G , hay una vecindad que solo contiene ese elemento). De manera equivalente, el grupo G es discreto si y solo si su identidad está aislada . [1] ; en otras palabras, la topología subespacial de H en G es la topología discreta . Por ejemplo, los enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales, R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no. Un grupo discreto es un grupo topológico G equipado con la topología discreta .
A cualquier grupo se le puede dar la topología discreta. Dado que cada mapa de un espacio discreto es continuo , los homomorfismos topológicos entre grupos discretos son exactamente los homomorfismos de grupo entre los grupos subyacentes. Por lo tanto, existe un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. Por lo tanto, los grupos discretos se pueden identificar con sus grupos subyacentes (no topológicos).
Hay algunas ocasiones en las que un grupo topológico o grupo de Lie está útilmente dotado de la topología discreta, 'contra natura'. Esto sucede por ejemplo en la teoría de la compactación de Bohr , y en la teoría de la cohomología de grupos de los grupos de Lie.
Un grupo de isometrías discretas es un grupo de isometrías tal que para cada punto del espacio métrico el conjunto de imágenes del punto bajo las isometrías es un conjunto discreto . Un grupo de simetría discreta es un grupo de simetría que es un grupo de isometría discreta.
Dado que los grupos topológicos son homogéneos , solo es necesario observar un único punto para determinar si el grupo topológico es discreto. En particular, un grupo topológico es discreto si y solo si el singleton que contiene la identidad es un conjunto abierto .
Un grupo discreto es lo mismo que un grupo de Lie de dimensión cero ( los grupos discretos incontables no son contables en segundo lugar, por lo que los autores que requieren grupos de Lie para satisfacer este axioma no consideran estos grupos como grupos de Lie). El componente de identidad de un grupo discreto es solo el subgrupo trivial , mientras que el grupo de componentes es isomorfo al grupo mismo.
