El propósito de esta página es catalogar identidades nuevas, interesantes y útiles relacionadas con sumas de divisores teóricos de números , es decir, sumas de una función aritmética sobre los divisores de un número natural., o equivalentemente la convolución de Dirichlet de una función aritmética con uno:
Estas identidades incluyen aplicaciones a sumas de una función aritmética sobre los divisores primos adecuados de . También definimos variantes periódicas de estas sumas de divisores con respecto a la función máxima común divisor en forma de
Relaciones de inversión conocidas que permiten la función ser expresado en términos de son proporcionados por la fórmula de inversión de Möbius . Naturalmente, algunos de los ejemplos más interesantes de tales identidades resultan al considerar las funciones sumatorias de orden promedio sobre una función aritmética. definido como una suma de divisores de otra función aritmética . Se pueden encontrar ejemplos particulares de sumas de divisores que involucran funciones aritméticas especiales y convoluciones de Dirichlet especiales de funciones aritméticas en las siguientes páginas: aquí , aquí , aquí , aquí y aquí .
Identidades de suma de orden promedio
Intercambio de identidades de suma
Las siguientes identidades son la motivación principal para crear esta página de temas. Estas identidades no parecen ser bien conocidas, o al menos bien documentadas, y son herramientas extremadamente útiles para tener a mano en algunas aplicaciones. En lo que sigue, consideramos queson funciones aritméticas prescritas y que denota la función sumatoria de . Aquí se hace referencia a un caso especial más común de la primera sumatoria a continuación . [1]
En general, estas identidades se recopilan de las llamadas " rarezas y lados B " de notas y técnicas de teoría de números analíticas bien establecidas y semi-oscuras y de los artículos y el trabajo de los contribuyentes. Las identidades en sí mismas no son difíciles de probar y son un ejercicio de manipulaciones estándar de inversión de series y sumas de divisores. Por lo tanto, omitimos sus pruebas aquí.
El método de convolución
El método de convolución es una técnica general para estimar sumas de orden promedio de la forma
donde la función multiplicativa f se puede escribir como una convolución de la formapara funciones aritméticas adecuadas definidas por la aplicación u y v . Puede encontrar una breve reseña de este método aquí .
Sumas periódicas de divisores
Una función aritmética es periódica (mod k) , o k -periódica, si para todos . Ejemplos particulares de k- funciones teóricas de números periódicos son los caracteres de Dirichletmódulo k y la función máxima común divisor. Se sabe que toda función aritmética periódica k tiene una representación como una serie de Fourier discreta finita de la forma
donde los coeficientes de Fourierdefinidos por la siguiente ecuación también son k -periódicos:
Estamos interesados en las siguientes sumas de divisores periódicos k :
Es un hecho que los coeficientes de Fourier de estas variantes de suma de divisores vienen dados por la fórmula [2]
Así, al combinar los resultados anteriores obtenemos que
Sumas sobre divisores primos
Deja que la función denotar la función característica de los números primos , es decir,si y solo sies primo y tiene valor cero en caso contrario. Entonces, como un caso especial de la primera identidad en la ecuación (1) en la sección intercambio de identidades de suma anterior, podemos expresar las sumas de orden promedio
También tenemos una fórmula integral basada en la suma de Abel para sumas de la forma [4]
Adoptamos la notación de que denota la identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet de modo que para cualquier función aritmética f y. El inverso de Dirichlet de una función f satisface para todos . Existe una fórmula de convolución recursiva bien conocida para calcular el inverso de Dirichletde una función f por inducción dada en forma de [7]
Para una función fija f , deje que la función
A continuación, defina las siguientes dos variantes de convolución múltiples o anidadas para cualquier función aritmética fija f :
La función por el par equivalente de fórmulas de suma en la siguiente ecuación está estrechamente relacionado con el inverso de Dirichlet para una función arbitraria f . [8]
En particular, podemos probar que [9]
Una tabla de los valores de por aparece a continuación. Esta tabla precisa el significado deseado y la interpretación de esta función como la suma firmada de todas las posibles k -convoluciones múltiples de la función f consigo misma.
norte
norte
norte
2
7
12
3
8
13
4
9
14
5
10
15
6
11
dieciséis
Dejar donde p es la función de partición (teoría de números) . Luego hay otra expresión para la inversa de Dirichlet dada en términos de las funciones anteriores y los coeficientes del símbolo q-Pochhammer paradado por [8]
Variantes de sumas sobre funciones aritméticas
Ver también
Suma
Serie campana
Lista de series matemáticas
Notas
^ Véase también la sección 3.10 de Apostol.
^ Sección 27.10 en el Manual de funciones matemáticas del NIST (DLMF).
^ Schramm, W. (2008). "La transformada de Fourier de funciones de los máximos divisores comunes". Enteros . 8 .
^ Consulte la sección 2.2 en Villarino, MB (2005). "Prueba de Mertens del teorema de Mertens". arXiv : matemáticas / 0504289 .
^ En el orden respectivo del libro de Apostol: Ejercicio 2.29, Teorema 2.18 y Ejercicios 2.31-2.32
^ La primera identidad tiene una conocida serie de Dirichlet de la forma catalogado en Gould, Henry W .; Shonhiwa, Temba (2008). "Un catálogo de interesantes series de Dirichlet" . Srta. J. Math. Sci . 20 (1). Archivado desde el original el 2 de octubre de 2011.
^ Consulte la Sección 2.7 del libro de Apostol para obtener una prueba.
^ a bM. Merca y MD Schmidt (2017). "Teoremas de factorización para aplicaciones y series de Lambert generalizadas". págs. 13-20. arXiv : 1712.00611 [ matemáticas.NT ].
^ Esta identidad se prueba en un manuscrito inédito de MD Schmidt que aparecerá en ArXiv en 2018.
Referencias
Apostol, T. (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90163-9.
Biblioteca digital de funciones matemáticas (DLMF) . NIST. 2018 . Consultado el 24 de abril de 2018 .
Tao, Terrence. "Convolución de Dirichlet: ¿Qué hay de nuevo?" .