En matemáticas , un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma
No. de términos conocidos | 4 |
---|---|
Conjeturaba que no. de términos | 4 |
Primeros términos | 7, 127, 2147483647 |
Término más grande conocido | 170141183460469231731687303715884105727 |
Índice OEIS |
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donde p es primo .
Ejemplos de
Los primeros cuatro términos de la secuencia de números dobles de Mersenne son [1] (secuencia A077586 en la OEIS ):
Primos dobles de Mersenne
Un número de Mersenne doble que es primo se llama un número primo de Mersenne doble . Dado que un número de Mersenne M p puede ser primo solo si p es primo (ver el número primo de Mersenne para una prueba), un número de Mersenne doblesólo puede ser primo si M p es en sí mismo un primo de Mersenne. Para los primeros valores de p para los cuales M p es primo,se sabe que es primo para p = 2, 3, 5, 7 mientras que los factores explícitos dese han encontrado para p = 13, 17, 19 y 31.
factorización de | |||
---|---|---|---|
2 | 3 | principal | 7 |
3 | 7 | principal | 127 |
5 | 31 | principal | 2147483647 |
7 | 127 | principal | 170141183460469231731687303715884105727 |
11 | no primo | no primo | 47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ... |
13 | 8191 | no primo | 338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ... |
17 | 131071 | no primo | 231733529 × 64296354767 × ... |
19 | 524287 | no primo | 62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ... |
23 | no primo | no primo | 2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ... |
29 | no primo | no primo | 1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ... |
31 | 2147483647 | no primo | 295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ... |
37 | no primo | no primo | |
41 | no primo | no primo | |
43 | no primo | no primo | |
47 | no primo | no primo | |
53 | no primo | no primo | |
59 | no primo | no primo | |
61 | 2305843009213693951 | desconocido |
Por lo tanto, el candidato más pequeño para el próximo doble primo de Mersenne es , o 2 2305843009213693951 - 1. Siendo aproximadamente 1,695 × 10 694127911065419641 , este número es demasiado grande para cualquier prueba de primalidad conocida actualmente . No tiene un factor primo por debajo de 4 × 10 33 . [2] Probablemente no haya otros números primos dobles de Mersenne que los cuatro conocidos. [1] [3]
El factor primo más pequeño de (donde p es el n- ésimo primo) son
Conjetura del número catalán-Mersenne
La secuencia definida de forma recursiva
se llama la secuencia de números catalán-mersenne . [4] Los primeros términos de la secuencia (secuencia A007013 en la OEIS ) son:
Catalán ideó esta secuencia después del descubrimiento de la primordialidad depor Lucas en 1876. [1] [5] Catalán conjeturó que son primos "hasta cierto límite". Aunque los primeros cinco términos son primos, ningún método conocido puede probar que otros términos sean primos (en un tiempo razonable) simplemente porque son demasiado grandes. Sin embargo, si no es primo, existe la posibilidad de descubrirlo calculando modulo un pequeño primo(usando exponenciación modular recursiva ). Si el residuo resultante es cero, representa un factor de y así refutaría su originalidad. Desdees un número de Mersenne , tal factor primo tendría que ser de la forma . Además, porquees compuesto cuando es compuesto, el descubrimiento de un término compuesto en la secuencia excluiría la posibilidad de otros números primos en la secuencia.
En la cultura popular
En la película de Futurama The Beast with a Billion Backs , el número doble de Mersennese ve brevemente en "una prueba elemental de la conjetura de Goldbach ". En la película, este número se conoce como "prima marciana".
Ver también
Referencias
- ^ a b c Chris Caldwell, Mersenne Primes: Historia, teoremas y listas en las Prime Pages .
- ^ Tony Forbes, una búsqueda de un factor de MM61. Progreso: 9 de octubre de 2008 . Esto informa una marca de agua alta de 204204000000 × (10019 + 1) × (2 61 - 1), por encima de 4 × 10 33 . Consultado el 22 de octubre de 2008.
- ^ IJ Bueno. Conjeturas sobre los números de Mersenne. Matemáticas de la Computación vol. 9 (1955) pág. 120-121 [consultado el 19 de octubre de 2012]
- ^ Weisstein, Eric W. "Número catalán-Mersenne" . MathWorld .
- ^ "Preguntas propuestas" . Nouvelle correspondance mathématique . 2 : 94–96. 1876.(probablemente recopilado por el editor). Casi todas las preguntas están firmadas por Édouard Lucas al igual que el número 92:
La nota a pie de página (indicada con un asterisco) escrita por el editor Eugène Catalan, es la siguiente:Prouver Que 2 61 - 1 et 2 127 - 1 sont des nombres estrenos. (É. L.) (*).
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2 2 - 1, 2 3 - 1, 2 7 - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2 n - 1 est un nombre premier p , 2 p - 1 est un nombre premier p ', 2 p ' - 1 est un nombre premier p ", etc. Cette proposición a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2 n + 1 est un nombre premier. (EC)
Otras lecturas
- Dickson, LE (1971) [1919], Historia de la teoría de los números , Nueva York: Chelsea Publishing.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número doble de Mersenne" . MathWorld .
- Tony Forbes, una búsqueda de un factor de MM61 .
- Estado de la factorización de números dobles de Mersenne
- Búsqueda doble de Mersennes Prime
- Operazione Doppi Mersennes