Variedad abeliana dual
En matemáticas , una variedad abelian dual se puede definir a partir de una variedad abeliano A , definido sobre un campo K .
A una variedad abeliana A sobre un campo k , se asocia una variedad abeliana dual A v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizados por una k -variedad T se define como un haz de líneas L en A × T tal que
Luego hay una variedad A v y un paquete de líneas , [ aclaración necesaria ] , llamado paquete de Poincaré, que es una familia de paquetes de líneas de grado 0 parametrizados por A v en el sentido de la definición anterior. Además, esta familia es universal, es decir, a cualquier familia L parametrizada por T se le asocia un morfismo único f : T → A v de modo que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo 1 A × f : A × T →A × A v . Aplicando esto al caso en el que T es un punto, vemos que los puntos de A v corresponden a haces de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A v dada por el producto tensorial de los haces de líneas, lo que hace que en una variedad abeliana.
En el lenguaje de los functores representables, se puede enunciar el resultado anterior de la siguiente manera. El funtor contravariante, que asocia a cada k -variedad T el conjunto de familias de haces de líneas de grado 0 parametrizados por T y a cada k -morfismo f : T → T ' el mapeo inducido por el retroceso con f , es representable. El elemento universal que representa este funtor es el par ( A v , P ).
Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A vv y A (definido a través del paquete de Poincaré) y que es functorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f v : B v → A v de forma compatible. La n- torsión de una variedad abeliana y la n- torsión de su dual son duales entre sí cuando nes coprime a la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas de grupos de n- torsión de las variedades abelianas duales son duales Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.
La teoría se puso por primera vez en una buena forma cuando K era el campo de los números complejos . En ese caso existe una forma general de dualidad entre la variedad albanesa de una variedad completa V , y su variedad Picard ; esto se realizó, para las definiciones en términos de tori complejos , tan pronto como André Weil dio una definición general de la variedad albanesa. Para una variedad abeliana A , la variedad albanesa es A en sí misma, por lo que el dual debería ser Pic 0 ( A ), el componente conectado de lo que en la terminología contemporánea es elEsquema de Picard .