El toro complejo asociado a una celosía dividida en dos períodos, ω 1 y ω 2 . Se identifican los bordes correspondientes.
Todas estas estructuras complejas se pueden obtener de la siguiente manera: tome una red Λ en un espacio vectorial V isomorfo a C n considerado como espacio vectorial real; luego el grupo del cociente
Una forma de definir tori complejos [1] es como un grupo de Lie complejo conectado compacto. Estos son grupos de Lie donde los mapas de estructura son mapas holomórficos de variedades complejas. Resulta que todos estos grupos de Lie conectados compactos son conmutativos y son isomorfos a un cociente de su álgebra de Lie.cuyo mapa de cobertura es el mapa exponencial de un álgebra de Lie a su grupo de Lie asociado. El núcleo de este mapa es una celosía. y .
Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo y una celosía de rango máximo, la variedad compleja del cociente tiene una estructura compleja de grupo de Lie, y también es compacto y está conectado. Esto implica que las dos definiciones de toros complejos son equivalentes.
Matriz de período de un toro complejo
Una forma de describir un toro complejo [2] pág. 9 es utilizando un matriz cuyas columnas corresponden a una base de la celosía expandido usando una base de . Es decir, escribimos
entonces
Entonces podemos escribir el toro como
Si vamos en sentido inverso seleccionando una matriz , corresponde a una matriz de período si y solo si la matriz correspondiente construido uniendo la matriz conjugada compleja a , entonces
no es singular . Esto garantiza los vectores columna de abarcar una celosía en por tanto, deben ser vectores linealmente independientes sobre .
Ejemplo
Para un toro complejo bidimensional, tiene una matriz de período de la forma
por ejemplo, la matriz
forma una matriz de período ya que la matriz de período asociada tiene el determinante 4.
Matriz de período normalizado
Para cualquier toro complejo de dimensión tiene una matriz de periodos de la forma
dónde es la matriz de identidad y dónde . Podemos obtener esto tomando un cambio de base del espacio vectorial dando una matriz de bloques de la forma anterior. La condición para se desprende de mirar el correspondiente -matriz
ya que esta debe ser una matriz no singular. Esto se debe a que si calculamos el determinante de la matriz de bloques, esto es simplemente
lo que da la implicación.
Ejemplo
Por ejemplo, podemos escribir una matriz de período normalizado para un toro complejo bidimensional como
un ejemplo es la matriz de períodos normalizados
ya que el determinante de es distinto de cero, igual a .
Matrices de período de variedades abelianas
Para obtener una matriz de período que dé una variedad compleja proyectiva, por lo tanto, una variedad algebraica, la matriz de período necesita satisfacer aún más las relaciones bilineales de Riemann . [3]
Homomorfismos de toros complejos
Si tenemos toros complejos y de dimensiones entonces un homomorfismo [2] pg 11 de toros complejos es una función
de manera que se conserve la estructura del grupo. Esto tiene una serie de consecuencias, como que cada homomorfismo induce un mapa de sus espacios de cobertura.
que es compatible con sus mapas de cobertura. Además, porque induce un homomorfismo de grupo, debe restringirse a un morfismo de las celosías
En particular, hay inyecciones.
y que se denominan representaciones analíticas y racionales del espacio de homomorfismos. Estos son útiles para determinar cierta información sobre el anillo de endomorfismo. que tiene dimensión racional .
Mapas holomorfos de toros complejos
La clase de mapas homomórficos entre toros complejos tiene una estructura muy simple. Por supuesto, todo homomorfismo induce un mapa holomórfico, pero todo mapa holomórfico es la composición de un tipo especial de mapa holomórfico con un homomorfismo. Por un elemento definimos el mapa de traducción
enviando Entonces sí es un mapa holomórfico entre toros complejos , hay un homomorfismo único tal que
que muestran que los mapas holomorfos no son mucho mayores que el conjunto de homomorfismos de toros complejos.
Isogenias
Una clase distinta de homomorfismos de toros complejos se denominan isogenias. Estos son endomorfismos de toros complejos con un núcleo distinto de cero. Por ejemplo, si dejamos ser un número entero, entonces hay un mapa asociado
enviando que tiene kernel
isomorfo a .
Toros complejos isomorfos
Existe un isomorfismo de estructuras complejas en el espacio vectorial real. y el set
y toros isomorfos pueden ser dados por un cambio de base de sus redes, por lo tanto, una matriz en . Esto da al conjunto de clases de isomorfismo de toros complejos de dimensión , , como el espacio de doble clase lateral
Tenga en cuenta que como una variedad real, esto tiene dimensión
esto es importante cuando se consideran las dimensiones de los módulos de las variedades abelianas , lo que muestra que hay toros mucho más complejos que las variedades abelianas.
Paquetes de líneas y formas automórficas
Para colectores complejos , en particular toros complejos, hay una construcción [2] pág. 571 que relaciona los haces de líneas holomórficas cuyo retroceso son triviales utilizando la cohomología de grupo de. Afortunadamente para tori complejos, cada paquete de líneas complejas se vuelve trivial ya que .
Factores de automorfia
Partiendo del primer grupo de cohomología grupal
recordamos cómo se pueden representar sus elementos. Desde actúa sobre hay una accin inducida en todas sus gavillas, de ah en adelante
La -la acción se puede representar como un mapa holomórfico . Este mapa satisface la condición de ciclo si
para cada y . El grupo abeliano de 1-cociclos se llama el grupo de factores de la automorfia . Tenga en cuenta que tales funciones también se denominan simplemente factores .
En toros complejos
Para toros complejos, estas funciones están dadas por funciones
que siguen la condición de ciclo. Estas son funciones automórficas , más precisamente, las funciones automórficas utilizadas en las leyes de transformación para funciones theta . Además, cualquier mapa de este tipo se puede escribir como
por
que es útil para calcular invariantes relacionados con el paquete de líneas asociado.
Paquetes de líneas de factores de automorfia
Dado un factor de automorfia podemos definir un paquete de líneas en de la siguiente manera: el paquete de línea trivial tiene un -acción dada por
por el factor . Dado que esta acción es gratuita y propiamente discontinua, el paquete cociente
es una variedad compleja. Además, la proyección inducido desde la proyección de cobertura . Esto da un mapa
que induce un isomorfismo
dando el resultado deseado.
Para toros complejos
En el caso de tori complejos, tenemos de ahí que haya un isomorfismo
representando haces de líneas en toros complejos como 1-cocyles en la cohomología del grupo asociado. Es típico anotar el grupo como la celosía definiendo , por eso
contiene las clases de isomorfismo de paquetes de líneas en .
Primera clase chern de paquetes de líneas en tori complejos
es el primer mapa de clase Chern , que envía una clase de isomorfismo de un paquete de líneas a su primera clase Chern asociada. Resulta que hay un isomorfismo entre y el módulo de formas alternas en la celosía , . Por lo tanto se puede considerar como una alternancia -valuado en 2 formas en . Si tiene factor de automorfia entonces la forma alterna se puede expresar como
por y .
Ejemplo
Para una matriz de período normalizada
ampliado utilizando la base estándar de tenemos los vectores de columna que definen la celosía . Entonces, cualquier forma alterna en es de la forma
donde se deben cumplir una serie de condiciones de compatibilidad.
Secciones de paquetes de líneas y funciones theta
Para un paquete de líneas dado por un factor de automorfia , entonces y , hay un haz asociado de secciones dónde
con abierto. Luego, evaluado en secciones globales, este es el conjunto de funciones holomorfas tal que
que son exactamente las funciones theta en el plano. A la inversa, este proceso se puede hacer al revés donde el factor automórfico en la función theta es de hecho el factor de automorfia que define un paquete de líneas en un toro complejo.
Formas hermitianas y el teorema de Appell-Humbert
Para el alterno -valuado en 2 formas asociado al paquete de líneas , se puede ampliar para ser -valorado. Entonces, resulta que cualquier-forma alternativa valorada satisfaciendo las siguientes condiciones
para cualquier
es la extensión de una primera clase Chern de un paquete de líneas . Además, hay una forma hermitiana asociada satisfactorio
para cualquier .
Grupo Neron-Severi
Para un toro complejo podemos definir el grupo Neron-Serveri como el grupo de formas hermitianas en con
De manera equivalente, es la imagen del homomorfismo
de la primera clase Chern. También podemos identificarlo con el grupo de formas alternas alternas de valor real en tal que .
Ejemplo de una forma hermitiana en una curva elíptica
Para [4] una curva elíptica dado por la celosía dónde podemos encontrar la forma integral mirando una matriz alterna genérica y encontrando las condiciones de compatibilidad correctas para que se comporte como se esperaba. Si usamos la base estándar de como un espacio vectorial real (por lo que ), entonces podemos escribir una matriz alterna
y calcular los productos asociados sobre los vectores asociados a . Estos son
Luego, tomando los productos internos (con el producto interno estándar) de estos vectores con los vectores obtenemos
Así que si , luego
Luego podemos verificar directamente , que es válido para la matriz anterior. Por un fijo , escribiremos la forma integral como . Entonces, hay una forma hermitiana asociada
dada por
dónde
Pares de semi-caracteres para formas hermitianas
Para una forma hermitiana un semi-personaje es un mapa
tal que
de ahí el mapa se comporta como un personaje retorcido por la forma hermitiana. Tenga en cuenta que si es el elemento cero en , por lo que corresponde al paquete de línea trivial , entonces los semi-caracteres asociados son el grupo de caracteres en . Resultará que esto corresponde al grupo de grado paquetes de línea en , o equivalentemente, su toro dual, que se puede ver calculando el grupo de caracteres
cuyos elementos se pueden factorizar como mapas
mostrar un personaje es de la forma
para algún vector de celosía dual fijo . Esto da el isomorfismo
del conjunto de personajes con un toro real. El conjunto de todos los pares de semi-caracteres y su forma hermitiana asociada., o pares de semi-caracteres , forma un grupo dónde
Esta estructura de grupo proviene de la aplicación de la ley de conmutación anterior para semi-caracteres al nuevo semi-carácter. :
Resulta que este grupo se sobrepone a y tiene kernel , dando una breve secuencia exacta
Esta sobreyección se puede construir asociando a cada par de semi caracteres un paquete de líneas .
Pares de semi-caracteres y paquetes de líneas
Para una pareja de semi-caracteres podemos construir un ciclo de 1 en como mapa
definido como
La relación del ciclo
se puede verificar fácilmente mediante cálculo directo. Por lo tanto, el ciclo determina un paquete de líneas
donde el -acción en es dado por
Tenga en cuenta que esta acción se puede utilizar para mostrar las secciones del paquete de líneas están dadas por las funciones theta con factor de automorfia . A veces, esto se llama el factor canónico de automorfia para . Tenga en cuenta que debido a que cada paquete de líneas tiene una forma hermitiana asociada , y se puede construir un semi-carácter usando el factor de automorfia para , tenemos una sobreyección
Además, este es un homomorfismo de grupo con un núcleo trivial. Todos estos hechos se pueden resumir en el siguiente diagrama conmutativo
donde las flechas verticales son isomorfismos o igualdad. Este diagrama se denomina típicamente teorema de Appell-Humbert .
Toro complejo dual
Como se mencionó anteriormente, un carácter en la celosía se puede expresar como una función
para algún vector dual fijo . Si queremos poner una estructura compleja en el toro real de todos los caracteres, debemos comenzar con un espacio vectorial complejo queincrusta en. Resulta que el espacio vectorial complejo
de mapas antilineales complejos , es isomorfo al espacio vectorial dual real, que es parte de la factorización para escribir caracteres. Además, hay una celosía asociada
llamado la celosía dual de . Entonces, podemos formar el toro complejo dual
que tiene la propiedad especial de que ese dual del toro complejo dual es el toro complejo original. Además, de la discusión anterior, podemos identificar el toro complejo dual con el grupo de Picard de
^ Mumford, David (2008). Variedades abelianas . CP Ramanujam, I︠U︡. I. Manin. Publicado para el Instituto Tata de Investigación Fundamental. ISBN 8185931860. OCLC 297809496 .
^ a b cBirkenhake, Christina (2004). Variedades Abelianas complejas . Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558 .
^"Relaciones bilineales de Riemann" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 31 de mayo de 2021.
^"Cómo funciona el teorema de Appell-Humbert en el caso más simple de una curva elíptica" .
Birkenhake, Christina; Lange, Herbert (1999), toros complejos , Progreso en matemáticas, 177 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, Señor 1713785
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