número p-ádico

En matemáticas , el sistema numérico $p$ -ádico para cualquier número primo $p$ extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión del sistema numérico racional a los sistemas numéricos reales y complejos . La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de "cercanía" o valor absoluto . En particular, dos números $p$ -ádicos se consideran cercanos cuando su diferencia es divisible por una potencia alta de $p$ : cuanto mayor sea la potencia, más cerca estarán. Esta propiedad permite que los números $p$ -ádicos codifiquen información de congruencia de una manera que resulta tener poderosas aplicaciones en la teoría de números , incluida, por ejemplo, en la famosa demostración del último teorema de Fermat de Andrew Wiles . ^[1]

Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, ^[2] aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como implícitamente usando números $p$ -ádicos. ^{[nota 1]} Los números $p$ -ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de esto. Por ejemplo, el campo del análisis $p$ -ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo .

Más formalmente, para un primo $p$ dado , el cuerpo $Q p$ de números $p$ -ádicos es una terminación de los números racionales. El campo $Q p$ también recibe una topología derivada de una métrica , que a su vez se deriva del orden $p$ -ádico , una valoración alternativa de los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que toda sucesión de Cauchy converge en un punto en $Q p$ . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo sobre $Q p$ , y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que da a los sistemas numéricos $p$ -ádicos su poder y utilidad.

La $p$ en " $p$ -ádico" es una variable y puede ser reemplazada por un primo (produciendo, por ejemplo, "los números 2-ádicos") u otra expresión que represente un número primo. El "adic" de " $p$ -adic" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádica o triádica .

donde each es un número entero tal que Esta expansión se puede calcular mediante una división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: Si es un número racional tal que hay un número entero $a$ tal que y con La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto $s$ que en la iteración asume el papel del número racional original $r$ . ${\ estilo de visualización a_ {i}}$ $0\leq a_{i}<10.$ $r={\tfrac{n}{d}}$ $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ ${\ estilo de visualización 0 <a <10,}$ $r=a\,10^{k}+s,$ $s<10^{k}.$

La expansión $p$ - ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo fijo $p$ , cada número racional distinto de cero puede escribirse únicamente como donde $k$ es un número entero (posiblemente negativo), y $n$ y $d$ son números enteros coprimos , ambos coprimos con $p$ . El entero $k$ es la valoración $p$ -ádica de $r$ , denotada y es su valor $p$ -ádico absoluto , denotado ${\ estilo de visualización r}$ $r=p^{k}{\tfrac{n}{d}},$ ${\ Displaystyle v_ {p} (r),}$ $p^{-k}$ ${\ estilo de visualización |r|_{p}}$ (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir

Los enteros de 3 ádicos, con los caracteres correspondientes seleccionados en su grupo dual de Pontryagin