Grupo modular

Para un grupo cuyo entramado de subgrupos es modular, consulte Grupo Iwasawa .

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, Z ) de matrices 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Se identifican las matrices A y - A. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias , y el nombre "grupo modular" proviene de la relación con los espacios de los módulos y no de la aritmética modular .

Definición

El grupo modular Γ es el grupo de transformaciones fraccionarias lineales de la mitad superior del plano complejo , que tienen la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

donde a , b , c , d son números enteros y ad - bc = 1 . La operación de grupo es la composición de funciones .

Este grupo de transformaciones es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL (2, Z ) , que es el cociente del grupo lineal especial bidimensional SL (2, Z ) sobre los enteros por su centro { I , - I } . En otras palabras, PSL (2, Z ) consta de todas las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

donde a , b , c , d son números enteros, ad - bc = 1 , y los pares de matrices A y - A se consideran idénticos. La operación de grupo es la multiplicación habitual de matrices .

Algunos autores definen el grupo modular como PSL (2, Z ) , y otros definen el grupo modular como el grupo más grande SL (2, Z ) .

Algunas relaciones matemáticas requieren la consideración del grupo GL (2, Z ) de matrices con determinante más o menos uno. ( SL (2, Z ) es un subgrupo de este grupo.) De manera similar, PGL (2, Z ) es el grupo cociente GL (2, Z ) / { I , - I } . Una matriz de 2 × 2 con determinante unitario es una matriz simpléctica y, por lo tanto, SL (2, Z ) = Sp (2, Z ) , el grupo simpléctico de matrices de 2 × 2 .

Encontrar elementos

Para encontrar elementos explícitos en SL (2, Z ) , hay un truco al tomar dos enteros coprimos y ponerlos en la matriz${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}}}$

y resolviendo la ecuación determinante

${\displaystyle ay-bx=1}$

Note las fuerzas de ecuaciones determinantes para ser primos entre sí ya que de lo contrario no sería un factor tal que , , por lo tanto${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle ca'=a}$${\displaystyle cb'=b}$

${\displaystyle c(a'y-b'x)=1}$

no tendría soluciones enteras. Por ejemplo, si entonces la ecuación determinante dice${\displaystyle a=7,{\text{ }}b=6}$

${\displaystyle 7y-6x=1}$

luego toma y da , por lo tanto${\displaystyle y=-5}$${\displaystyle x=-6}$${\displaystyle -35-(-36)=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}7&-6\\6&-5\end{pmatrix}}}$

es una matriz. Luego, usando la proyección, estas matrices definen elementos en PSL (2, Z ) .

Propiedades de la teoría de números

La unidad determinante de

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

implica que las fracciones a/B, a/C, C/D, B/Dson irreductibles, es decir, no tienen factores comunes (siempre que los denominadores sean distintos de cero, por supuesto). De manera más general, sipag/q es una fracción irreducible, entonces

${\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}$

también es irreducible (de nuevo, siempre que el denominador sea distinto de cero). Cualquier par de fracciones irreducibles se puede conectar de esta manera; es decir, para cualquier parpag/q y r/s de fracciones irreductibles, existen elementos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {Z} )}$

tal que

${\displaystyle r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.}$

Los elementos del grupo modular proporcionan una simetría en la celosía bidimensional . Sean ω ₁ y ω ₂ dos números complejos cuya razón no es real. Entonces el conjunto de puntos

${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbf {Z} \}}$

es una red de paralelogramos en el plano. Un par diferente de vectores α ₁ y α ₂ generará exactamente la misma red si y solo si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

para alguna matriz en GL (2, Z ) . Es por esta razón que las funciones doblemente periódicas , como las funciones elípticas , poseen una simetría de grupo modular.

La acción del grupo modular sobre los números racionales se puede entender más fácilmente visualizando una cuadrícula cuadrada, con el punto de cuadrícula ( p , q ) correspondiente a la fracciónpag/q(ver el huerto de Euclides ). Una fracción irreducible es aquella que es visible desde el origen; la acción del grupo modular sobre una fracción nunca lleva una visible (irreductible) a una oculta (reducible), y viceversa.

Nótese que cualquier miembro del grupo modular mapea la línea real proyectivamente extendida uno a uno a sí mismo, y además mapea biyectivamente la línea racional proyectivamente extendida (los racionales con infinito) a sí mismo, los irracionales a los irracionales, los números trascendentales a los números trascendentales, los números no reales a los números no reales, el semiplano superior al semiplano superior, etcétera.

Si p _{n −1}/q _{n −1} y p _n/q _nson dos convergentes sucesivos de una fracción continua , entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

pertenece a GL (2, Z ) . En particular, si bc - ad = 1 para enteros positivos a , b , c , d con a < b y c < d entoncesa/B y C/Dserán vecinos en la secuencia de Farey de orden max ( b , d ) . Los casos especiales importantes de convergentes de fracciones continuas incluyen los números de Fibonacci y las soluciones de la ecuación de Pell . En ambos casos, los números se pueden organizar para formar un subconjunto de semigrupo del grupo modular.

Propiedades de la teoría de grupos

Presentación

Se puede mostrar que el grupo modular se genera mediante las dos transformaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}}\\T&:z\mapsto z+1\end{aligned}}}$

de modo que cada elemento en el grupo modular puede ser representado (de una manera no única) por la composición de poderes de S y T . Geométricamente, S representa la inversión en el círculo unitario seguida de una reflexión con respecto al eje imaginario, mientras que T representa una traslación unitaria hacia la derecha.

Los generadores S y T obedecen a las relaciones S ² = 1 y ( ST ) ³ = 1 . Se puede demostrar ^[1] que se trata de un conjunto completo de relaciones, por lo que el grupo modular tiene la presentación :

${\displaystyle \Gamma \cong \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\rangle }$

Esta presentación describe el grupo modular como el grupo de triángulos rotacionales D (2, 3, ∞) (infinito ya que no hay relación en T ), y por lo tanto se asigna a todos los grupos de triángulos (2, 3, n ) agregando la relación T ⁿ = 1 , que ocurre, por ejemplo, en el subgrupo de congruencia Γ ( n ) .

Usando los generadores S y ST en lugar de S y T , esto muestra que el grupo modular es isomorfo al producto libre de los grupos cíclicos C ₂ y C ₃ :

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3}}$

• La acción de T  : z ↦ z + 1 sobre H

• La acción de S  : z ↦ -1/zen H

Grupo de trenzas

El grupo trenzado B ₃ es la extensión central universal del grupo modular.

El grupo trenzado B ₃ es la extensión central universal del grupo modular, con estos asentados como celosías dentro del grupo de recubrimiento universal (topológico) SL ₂ ( R ) → PSL ₂ ( R ) . Además, el grupo modular tiene un centro trivial y, por tanto, el grupo modular es isomorfo al grupo cociente de B ₃ módulo su centro ; de manera equivalente, al grupo de automorfismos internos de B ₃ .

El grupo de trenzas B _3, a su vez, es isomorfo al grupo de nudos del nudo de trébol .

Cocientes

Los cocientes por subgrupos de congruencia son de gran interés.

Otros cocientes importantes son los grupos de triángulos (2, 3, n ) , que corresponden geométricamente a descender a un cilindro, cociente de la coordenada x módulo n , como T ⁿ = ( z ↦ z + n ) . (2, 3, 5) es el grupo de simetría icosaédrica , y el grupo de triángulos (2, 3, 7) (y el mosaico asociado) es la cubierta de todas las superficies de Hurwitz .

Presentando como un grupo de matriz

El grupo puede ser generado por las dos matrices ^[2]${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\text{ }}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

desde

${\displaystyle S^{2}=-I_{2},{\text{ }}(ST)^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}^{3}=-I_{2}}$

La proyección convierte estas matrices en generadoras de , con relaciones similares a la presentación grupal.${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Relación con la geometría hiperbólica

Ver también: PSL 2 ( R )

El grupo modular es importante porque forma un subgrupo del grupo de isometrías del plano hiperbólico . Si consideramos el modelo de semiplano superior H de la geometría del plano hiperbólico, entonces el grupo de todas las isometrías de H que conservan la orientación consiste en todas las transformaciones de Möbius de la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números reales . En términos de coordenadas proyectivas , el grupo PSL (2, R ) actúa sobre el semiplano superior H por proyectividad:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

Esta acción es fiel . Desde PSL (2, Z ) es un subgrupo de PSL (2, R ) , el grupo modular es un subgrupo del grupo de isometrías conserva la orientación de H . ^[3]

Teselación del plano hiperbólico

Un dominio fundamental típico para la acción de Γ en el semiplano superior.

El grupo modular Γ actúa sobre H como un subgrupo discreto de PSL (2, R ) , es decir, para cada z en H podemos encontrar una vecindad de z que no contiene ningún otro elemento de la órbita de z . Esto también significa que podemos construir dominios fundamentales , que (aproximadamente) contienen exactamente un representante de la órbita de cada z en H . (Se necesita cuidado en los límites del dominio).

Hay muchas formas de construir un dominio fundamental, pero una opción común es la región.

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbf {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}}$

delimitado por las líneas verticales Re ( z ) =1/2y Re ( z ) = -1/2y el círculo | z | = 1 . Esta región es un triángulo hiperbólico. Tiene vértices en1/2+ yo√ 3/2y -1/2+ yo√ 3/2, donde el ángulo entre sus lados es π/3y un tercer vértice en el infinito, donde el ángulo entre sus lados es 0.

Al transformar esta región a su vez por cada uno de los elementos del grupo modular, se crea una teselación regular del plano hiperbólico por triángulos hiperbólicos congruentes conocido como V6.6.∞ Se crea un mosaico triangular de orden infinito . Tenga en cuenta que cada uno de estos triángulos tiene un vértice en el infinito o en el eje real Im ( z ) = 0 . Este mosaico se puede extender al disco de Poincaré , donde cada triángulo hiperbólico tiene un vértice en el límite del disco. El mosaico del disco de Poincaré viene dado de forma natural por la J- invariante , que es invariante bajo el grupo modular, y alcanza cada número complejo una vez en cada triángulo de estas regiones.

Esta teselación se puede refinar ligeramente, dividiendo cada región en dos mitades (convencionalmente coloreadas en blanco y negro), agregando un mapa de orientación inversa; los colores corresponden entonces a la orientación del dominio. Sumando ( x , y ) ↦ (- x , y ) y tomando la mitad derecha de la región R (donde Re ( z ) ≥ 0 ) produce la teselación habitual. Esta teselación aparece por primera vez impresa en ( Klein & 1878 / 79a ), ^[4] donde se le atribuye a Richard Dedekind , en referencia a ( Dedekind 1877 ). ^{[4] [5]}

Visualización del mapa (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) transformando los mosaicos asociados. ^[6]

El mapa de grupos (2, 3, ∞) → (2, 3, n ) (del grupo modular al grupo triangular) se puede visualizar en términos de este mosaico (produciendo un mosaico en la curva modular), como se muestra en el video A la derecha.

Azulejos uniformes paracompactos de la familia [∞, 3] v t mi
Simetría: [∞, 3], (* ∞32)							[∞, 3] + (∞32)	[1 + , ∞, 3] (* ∞33)		[∞, 3 + ] (3 * ∞)
		=	=	=				= o	= o	=
{∞, 3}	t {∞, 3}	r {∞, 3}	t {3, ∞}	{3, ∞}	rr {∞, 3}	tr {∞, 3}	sr {∞, 3}	h {∞, 3}	h 2 {∞, 3}	s {3, ∞}
Duales uniformes
V∞ 3	V3.∞.∞	V (3.∞) 2	V6.6.∞	V3 ∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V (3.∞) 3		V3.3.3.3.3.∞

Subgrupos de congruencia

Artículo principal: subgrupo de congruencia

Los subgrupos importantes del grupo modular Γ , llamados subgrupos de congruencia , se dan imponiendo relaciones de congruencia en las matrices asociadas.

No es un producto natural homomorfismo SL (2, Z ) → SL (2, Z / N Z ) dado por la reducción de las entradas modulo N . Esto induce un homomorfismo en el grupo modular PSL (2, Z ) → PSL (2, Z / N Z ) . El núcleo de este homomorfismo se denomina subgrupo de congruencia principal del nivel N , denotado Γ ( N ) . Tenemos la siguiente secuencia corta y exacta :

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to {\mbox{PSL}}(2,\mathbf {Z} /N\mathbf {Z} )\to 1}$.

Siendo el núcleo de un homomorfismo Γ ( N ) es un subgrupo normal del grupo modular Γ . El grupo Γ ( N ) se da como el conjunto de todas las transformaciones modulares

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

para lo cual a ≡ d ≡ ± 1 (mod N ) y b ≡ c ≡ 0 (mod N ) .

Es fácil mostrar que la traza de una matriz que representa un elemento de Γ ( N ) no puede ser -1, 0 o 1, por lo que estos subgrupos son grupos libres de torsión . (Hay otros subgrupos sin torsión).

El subgrupo de congruencia principal del nivel 2, Γ (2) , también se denomina grupo modular Λ . Desde PSL (2, Z / 2 Z ) es isomorfo a S 3 , Λ es un subgrupo de índice 6. El grupo de Λ consta de todas las transformaciones modulares para los que una y d son impares y b y c son aún.

Otra familia importante de subgrupos de congruencia son el grupo modular Γ 0 ( N ) se define como el conjunto de todas las transformaciones modulares para los que c ≡ 0 (mod N ) , o de forma equivalente, como el subgrupo cuya matrices convertido triangular superior en la reducción de módulo N . Tenga en cuenta que Γ ( N ) es un subgrupo de Γ ₀ ( N ) . Las curvas modulares asociadas con estos grupos son un aspecto de monstruoso moonshine - para un número primo p, la curva modular del normalizador es género cero si y solo si p divide el orden del grupo de monstruos , o de manera equivalente, si p es un número primo supersingular .

Monoide diádico

Un subconjunto importante del grupo modular es la monoid diádico , que es el monoid de todas las cadenas de la forma ST ^k ST ^m ST ⁿ ... para números enteros positivos k , m , n , ... . Este monoide ocurre naturalmente en el estudio de curvas fractales y describe las simetrías de auto-semejanza de la función de Cantor , la función del signo de interrogación de Minkowski y el copo de nieve de Koch , siendo cada uno un caso especial de la curva general de Rham.. El monoide también tiene representaciones lineales de dimensiones superiores; por ejemplo, se puede entender que la representación N = 3 describe la auto-simetría de la curva de manjar blanco .

Mapas del toro

El grupo GL (2, Z ) son los mapas lineales que conservan el retículo estándar Z ² , y SL (2, Z ) son los mapas que conservan la orientación y preservan este retículo; así descienden a auto-homeomorfismos del toro (mapeo SL a mapas que preservan la orientación), y de hecho mapean isomórficamente al grupo de clases de mapeo (extendido) del toro, lo que significa que cada auto-homeomorfismo del toro es isotópico a un mapa de este formulario. Las propiedades algebraicas de una matriz como elemento de GL (2, Z ) corresponden a la dinámica del mapa inducido del toro.

Grupos de Hecke

El grupo modular se puede generalizar a los grupos de Hecke , llamados así por Erich Hecke , y definidos de la siguiente manera. ^[7]

El grupo de Hecke H _q con q ≥ 3 , es el grupo discreto generado por

${\displaystyle {\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}}$

donde λ _q = 2 cosπ/q. Para valores pequeños de q ≥ 3 , se tiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

El grupo modular Γ es isomorfo a H ₃ y comparten propiedades y aplicaciones, por ejemplo, al igual que uno tiene el producto libre de grupos cíclicos.

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}$

más generalmente uno tiene

${\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q},}$

que corresponde al grupo de triángulos (2, q , ∞) . De manera similar, existe una noción de subgrupos de congruencia principales asociados a ideales principales en Z [ λ ] .

Historia

El grupo modular y sus subgrupos fueron estudiados en detalle por primera vez por Richard Dedekind y por Felix Klein como parte de su programa Erlangen en la década de 1870. Sin embargo, las funciones elípticas estrechamente relacionadas fueron estudiadas por Joseph Louis Lagrange en 1785, y Carl Gustav Jakob Jacobi y Niels Henrik Abel publicaron más resultados sobre las funciones elípticas en 1827.

Ver también

• Grupo Bianchi
• Curva modular clásica
• Grupo fucsia
• J -invariante
• Grupo kleiniano
• Grupo de clases de mapeo
• Función de signo de interrogación de Minkowski
• Transformación de Moebius
• Curva modular
• Forma modular
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Azulejos uniformes en plano hiperbólico

Referencias

1. Alperin, Roger C. (abril de 1993). " PSL ₂ ( Z ) = Z ₂ ∗ Z ₃ ". Amer. Matemáticas. Mensual . 100 (4): 385–386. doi : 10.2307 / 2324963 . JSTOR  2324963 .
2. Conrad, Keith. "SL (2, Z)" (PDF) .
3. McCreary, Paul R .; Murphy, Teri Jo; Carter, Christian. "El Grupo Modular" (PDF) . The Mathematica Journal . 9 (3).
4. Le Bruyn, Lieven (22 de abril de 2008), ¿ Dedekind o Klein?
5. Stillwell, John (enero de 2001). "Milagros modulares". The American Mathematical Monthly . 108 (1): 70–76. doi : 10.2307 / 2695682 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2695682 .  
6. Westendorp, Gerard. "Teselaciones platónicas de superficies de Riemann" . www.xs4all.nl .
7. Rosenberger, Gerhard; Bien, Benjamín; Gaglione, Anthony M .; Spellman, Dennis. Teoría de grupos combinatoria, grupos discretos y teoría de números . pag. sesenta y cinco.

• Apostol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2ª ed.). Nueva York: Springer. ch. 2. ISBN 0-387-97127-0.
• Klein, Felix (1878–1879), "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (Sobre la transformación de funciones elípticas y ...)" , Math. Annalen , 14 : 13–75, doi : 10.1007 / BF02297507 , archivado desde el original el 19 de julio de 2011 , consultado el 3 de junio de 2010
• Dedekind, Richard (septiembre de 1877), "Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen", Crelle's Journal , 83 : 265-292.