![]() 4 21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() 1 42 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() 2 41 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Rectificado 4 21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Rectificado 1 42 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Rectificado 2 41 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Birectificado 4 21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Trirectificado 4 21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E 6 |
---|
En geometría de 8 dimensiones , el 2 41 es un politopo 8 uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E 8 .
Su símbolo de Coxeter es 2 41 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de las secuencias de 2 nodos.
El 2 41 rectificado está construido por puntos en los bordes medios del 2 41 . El 2 41 birectificado está construido por puntos en los centros de las caras del triángulo del 2 41 , y es el mismo que el 1 42 rectificado .
Estos politopos son parte de una familia de 255 (2 8 - 1) politopos convexos uniformes en 8 dimensiones, hechos de facetas politopos uniformes , definidas por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.
2 41 politopo
2 41 politopo | |
---|---|
Tipo | Politopo uniforme de 8 |
Familia | 2 k1 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3 4,1 } |
Símbolo de coxeter | 2 41 |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
7 caras | 17520: 240 2 31 ![]() 17280 {3 6 } ![]() |
6 caras | 144960: 6720 2 21 ![]() 138240 {3 5 } ![]() |
5 caras | 544320: 60480 2 11 ![]() 483840 {3 4 } ![]() |
4 caras | 1209600: 241920 {2 01 ![]() 967680 {3 3 } ![]() |
Células | 1209600 {3 2 }![]() |
Caras | 483840 {3}![]() |
Bordes | 69120 |
Vértices | 2160 |
Figura de vértice | 1 41 |
Polígono de Petrie | 30 gon |
Grupo Coxeter | E 8 , [3 4,2,1 ] |
Propiedades | convexo |
El 2 41 está compuesto por 17,520 facetas (240 2 31 politopos y 17,280 7-simplices ), 144,960 6-caras (6,720 2 21 politopos y 138,240 6-simplices ), 544,320 5-caras (60,480 2 11 y 483,840 5-simplices ) , 1,209,600 4 caras ( 4-simples ), 1,209,600 celdas ( tetraedros ), 483,840 caras ( triángulos ), 69,120 aristas y 2160 vértices . Su figura de vértice es un 7-semicubo .
Este politopo es una faceta en la teselación uniforme, 2 51 con el diagrama de Coxeter-Dynkin :
Nombres Alternativos
- EL Elte lo nombró V 2160 (por sus 2160 vértices) en su lista de politopos semirregulares de 1912. [1]
- Coxeter lo nombra 2 41 por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado, con un solo anillo al final de la secuencia de 2 nodos.
- Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (Acrónimo Bay) - 240-17280 polyzetton facetado (Jonathan Bowers) [2]
Coordenadas
Los vértices 2160 se pueden definir de la siguiente manera:
- 16 permutaciones de (± 4,0,0,0,0,0,0,0) de ( 8-ortoplex )
- 1120 permutaciones de (± 2, ± 2, ± 2, ± 2,0,0,0,0) de ( 8-ortoplex trirectificado )
- 1024 permutaciones de (± 3, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1) con un número impar de signos negativos
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin :.
Eliminar el nodo en la rama corta deja el 7-simplex :. Hay 17280 de estas facetas
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes deja el 2 31 ,. Hay 240 de estas facetas. Están centrados en las posiciones de los 240 vértices en el politopo 4 21 .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el 7-demicubo , 1 41 ,.
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . [3]
E 8 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | k -figura | notas | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 7 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | () | f 0 | 2160 | 64 | 672 | 2240 | 560 | 2240 | 280 | 1344 | 84 | 448 | 14 | 64 | h {4,3,3,3,3,3} | E 8 / D 7 = 192 * 10! / 64/7! = 2160 |
A 6 A 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {} | f 1 | 2 | 69120 | 21 | 105 | 35 | 140 | 35 | 105 | 21 | 42 | 7 | 7 | r {3,3,3,3,3} | E 8 / A 6 A 1 = 192 * 10! / 7! / 2 = 69120 |
A 4 A 2 A 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3} | f 2 | 3 | 3 | 483840 | 10 | 5 | 20 | 10 | 20 | 10 | 10 | 5 | 2 | {} x {3,3,3} | Mi 8 / A 4 A 2 A 1 = 192 * 10! / 5! / 3! / 2 = 483840 |
A 3 A 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 1209600 | 1 | 4 | 4 | 6 | 6 | 4 | 4 | 1 | {3,3} V () | E 8 / A 3 A 3 = 192 * 10! / 4! / 4! = 1209600 |
A 4 A 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 241920 | * | 4 | 0 | 6 | 0 | 4 | 0 | {3,3} | E 8 / A 4 A 3 = 192 * 10! / 5! / 4! = 241920 |
A 4 A 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 967680 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | {3} V () | E 8 / A 4 A 2 = 192 * 10! / 5! / 3! = 967680 | ||
D 5 A 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3 1,1 } | f 5 | 10 | 40 | 80 | 80 | dieciséis | dieciséis | 60480 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | Mi 8 / D 5 UNA 2 = 192 * 10! / 16/5! / 2 = 40480 |
A 5 A 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 15 | 0 | 6 | * | 483840 | 1 | 2 | 2 | 1 | {} V () | E 8 / A 5 A 1 = 192 * 10! / 6! / 2 = 483840 | |
E 6 A 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3 2,1 } | f 6 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 216 | 432 | 27 | 72 | 6720 | * | 2 | 0 | {} | Mi 8 / Mi 6 UNA 1 = 192 * 10! / 72/6! = 6720 |
A 6 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 0 | 21 | 0 | 7 | * | 138240 | 1 | 1 | E 8 / A 6 = 192 * 10! / 7! = 138240 | ||
E 7 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3 3,1 } | f 7 | 126 | 2016 | 10080 | 20160 | 4032 | 12096 | 756 | 4032 | 56 | 576 | 240 | * | () | Mi 8 / Mi 7 = 192 * 10! / 72! / 8! = 240 |
A 7 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3,3,3,3} | 8 | 28 | 56 | 70 | 0 | 56 | 0 | 28 | 0 | 8 | * | 17280 | E 8 / A 7 = 192 * 10! / 8! = 17280 |
Imagenes
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/4c/E8_241-3D.png/300px-E8_241-3D.png)
- u = (1, φ , 0, −1, φ , 0,0,0)
- v = ( φ , 0, 1, φ , 0, −1,0,0)
- w = (0, 1, φ , 0, −1, φ , 0,0)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/2e/E8_241-3D_Concentric_Hulls_List.png/300px-E8_241-3D_Concentric_Hulls_List.png)
Las proyecciones de polígonos de Petrie pueden tener 12, 18 o 30 lados según las simetrías E6, E7 y E8. Los 2160 vértices se muestran todos, pero las formas de simetría inferior tienen posiciones proyectadas superpuestas, que se muestran como vértices de diferentes colores. A modo de comparación, también se muestra un grupo coxeter B6.
E8 [30] | [20] | [24] |
---|---|---|
![]() (1) | ![]() | ![]() |
E7 [18] | E6 [12] | [6] |
![]() | ![]() (1,8,24,32) | ![]() |
D3 / B2 / A3 [4] | D4 / B3 / A2 [6] | D5 / B4 [8] |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
D6 / B5 / A4 [10] | D7 / B6 [12] | D8 / B7 / A6 [14] |
![]() | ![]() (1,3,9,12,18,21,36) | ![]() |
B8 [16/2] | A5 [6] | A7 [8] |
![]() | ![]() | ![]() |
Politopos y panales relacionados
2 k 1 cifras en n dimensiones | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 384 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
Nombre | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Politopo 2_41 rectificado
Rectificado 2 41 politopo | |
---|---|
Tipo | Politopo uniforme de 8 |
Símbolo de Schläfli | t 1 {3,3,3 4,1 } |
Símbolo de coxeter | t 1 (2 41 ) |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
7 caras | 19680 en total: 240 t 1 (2 21 ) |
6 caras | 313440 |
5 caras | 1693440 |
4 caras | 4717440 |
Células | 7257600 |
Caras | 5322240 |
Bordes | 19680 |
Vértices | 69120 |
Figura de vértice | prisma rectificado 6-simplex |
Polígono de Petrie | 30 gon |
Grupo Coxeter | E 8 , [3 4,2,1 ] |
Propiedades | convexo |
El 2 41 rectificado es una rectificación del politopo 2 41 , con vértices colocados en los bordes medios del 2 41 .
Nombres Alternativos
- Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton rectificado para policetón rectificado 240-17280 facetado (conocido como robay para abreviar) [4] [5]
Construcción
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones, definido por los vectores raíz del grupo E 8 Coxeter .
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin :.
La eliminación del nodo en la rama corta deja el 7-simplex rectificado :.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes deja el rectificado 2 31 ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 7-demicubo , 1 41.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el prisma rectificado 6-simplex ,.
Visualizaciones
Las proyecciones de polígonos de Petrie pueden tener 12, 18 o 30 lados según las simetrías E6, E7 y E8. Los 2160 vértices se muestran todos, pero las formas de simetría inferior tienen posiciones proyectadas superpuestas, que se muestran como vértices de diferentes colores. A modo de comparación, también se muestra un grupo coxeter B6.
E8 [30] | [20] | [24] |
---|---|---|
![]() (1) | ![]() | ![]() |
E7 [18] | E6 [12] | [6] |
![]() | ![]() (1,8,24,32) | ![]() |
D3 / B2 / A3 [4] | D4 / B3 / A2 [6] | D5 / B4 [8] |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
D6 / B5 / A4 [10] | D7 / B6 [12] | D8 / B7 / A6 [14] |
![]() | ![]() (1,3,9,12,18,21,36) | ![]() |
B8 [16/2] | A5 [6] | A7 [8] |
![]() | ![]() | ![]() |
Ver también
- Lista de politopos E8
Notas
- ↑ Elte, 1912
- ^ Klitzing, (x3o3o3o * c3o3o3o3o - bahía)
- ↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203
- ^ Jonathan Bowers
- ^ Klitzing, (o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay)
Referencias
- Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Klitzing, Richard. "Policeta uniforme 8D" . x3o3o3o * c3o3o3o3o - bahía, o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |