Octacross de 8 ortoplex | |
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Proyección ortogonal dentro del polígono de Petrie | |
Tipo | 8 politopos regulares |
Familia | ortoplex |
Símbolo de Schläfli | {3 6 , 4} {3,3,3,3,3,3 1,1 } |
Diagramas de Coxeter-Dynkin | |
7 caras | 256 {3 6 } |
6 caras | 1024 {3 5 } |
5 caras | 1792 {3 4 } |
4 caras | 1792 {3 3 } |
Células | 1120 {3,3} |
Caras | 448 {3} |
Bordes | 112 |
Vértices | dieciséis |
Figura de vértice | 7-ortoplex |
Polígono de Petrie | hexadecágono |
Grupos de Coxeter | C 8 , [3 6 , 4] D 8 , [3 5,1,1 ] |
Doble | 8 cubos |
Propiedades | convexo |
En geometría , un politopo de 8 ortoplex o de 8 cruces es un politopo regular de 8 con 16 vértices , 112 aristas , 448 caras triangulares , 1120 celdas de tetraedro , 1792 5 celdas 4 caras , 1792 5 caras , 1024 6 caras y 256 de 7 caras .
Tiene dos formas constructivas, la primera es regular con el símbolo de Schläfli {3 6 , 4}, y la segunda con facetas etiquetadas alternativamente (con tablero de ajedrez), con el símbolo de Schläfli {3,3,3,3,3,3 1,1 } o símbolo de Coxeter 5 11 .
Es parte de una familia infinita de politopos, llamados politopos cruzados u ortoplejos . El politopo dual es un hipercubo de 8 u octeract .
Nombres Alternativos
- Octacross , derivado de combinar el politopo cruzado del apellido con oct para ocho (dimensiones) en griego
- Diacosipentacontahexazetton como un politopo 8 de 256 facetas (polyzetton)
Como configuración
Esta matriz de configuración representa el 8-ortoplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4 caras, 5 caras, 6 caras y 7 caras. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en el 8-ortoplex completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. [1] [2]
Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo mediante la eliminación de espejos individuales. [3]
B 8 | cara-k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | k -figura | notas | |
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B 7 | () | f 0 | dieciséis | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | {3,3,3,3,3,4} | B 8 / B 7 = 2 ^ 8 * 8! / 2 ^ 7/7! = 16 | |
A 1 B 6 | {} | f 1 | 2 | 112 | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | {3,3,3,3,4} | B 8 / A 1 B 6 = 2 ^ 8 * 8! / 2/2 ^ 6/6! = 112 | |
A 2 B 5 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 448 | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | {3,3,3,4} | B 8 / A 2 B 5 = 2 ^ 8 * 8! / 3! / 2 ^ 5/5! = 448 | |
A 3 B 4 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 1120 | 8 | 24 | 32 | dieciséis | {3,3,4} | B 8 / A 3 B 4 = 2 ^ 8 * 8! / 4! / 2 ^ 4/4! = 1120 | |
A 4 B 3 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1792 | 6 | 12 | 8 | {3,4} | B 8 / A 4 B 3 = 2 ^ 8 * 8! / 5! / 8/3! = 1792 | |
A 5 B 2 | {3,3,3,3} | f 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1792 | 4 | 4 | {4} | B 8 / A 5 B 2 = 2 ^ 8 * 8! / 6! / 4/2 = 1792 | |
A 6 A 1 | {3,3,3,3,3} | f 6 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1024 | 2 | {} | B 8 / A 6 A 1 = 2 ^ 8 * 8! / 7! / 2 = 1024 | |
A 7 | {3,3,3,3,3,3} | f 7 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 256 | () | B 8 / A 7 = 2 ^ 8 * 8! / 8! = 256 |
Construcción
Hay dos grupos de Coxeter asociados con el 8-cubo, uno regular , dual del octeracto con el grupo de simetría C 8 o [4,3,3,3,3,3,3], y una media simetría con dos copias de Facetas 7-simplex, alternadas, con el grupo de simetría D 8 o [3 5,1,1 ]. Una construcción de simetría más baja se basa en un dual de un ortotópico de 8 , llamado fusil de 8 .
Nombre | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Schläfli | Simetría | Pedido | Figura de vértice |
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8-ortoplex regular | {3,3,3,3,3,3,4} | [3,3,3,3,3,3,4] | 10321920 | ||
8-ortoplex cuasirregular | {3,3,3,3,3,3 1,1 } | [3,3,3,3,3,3 1,1 ] | 5160960 | ||
8 fusil | 8 {} | [2 7 ] | 256 |
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cubo de 8, centradas en el origen son
- (± 1,0,0,0,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0,0,0,0), (0,0, ± 1,0,0, 0,0,0), (0,0,0, ± 1,0,0,0,0),
- (0,0,0,0, ± 1,0,0,0), (0,0,0,0,0, ± 1,0,0), (0,0,0,0,0,0 , 0, ± 1), (0,0,0,0,0,0,0, ± 1)
Cada par de vértices está conectado por una arista , excepto los opuestos.
Imagenes
B 8 | B 7 | ||||
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[dieciséis] | [14] | ||||
B 6 | B 5 | ||||
[12] | [10] | ||||
B 4 | B 3 | B 2 | |||
[8] | [6] | [4] | |||
A 7 | A 5 | A 3 | |||
[8] | [6] | [4] |
Se utiliza en su forma alternada 5 11 con el 8-simplex para formar el panal de 5 21 .
Referencias
- ^ Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117
- ^ Klitzing, Richard. "x3o3o3o3o3o3o4o - ek" .
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 8D (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o4o - ek" .
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Politopo cruzado" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Politopos de varias dimensiones
- Glosario multidimensional
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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