Un elipsoide es una superficie que puede obtenerse de una esfera deformándola mediante escalas direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .
Un elipsoide es una superficie cuadrática ; es decir, una superficie que puede definirse como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse , está vacía o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "similar a una elipse"). Está acotado , lo que significa que puede estar encerrado en una esfera suficientemente grande.
Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares que se cruzan en un centro de simetría , llamado centro del elipsoide. Los segmentos de línea que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se denominan ejes principales , o simplemente ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen longitudes diferentes, se dice que el elipsoide es triaxial o raramente escaleno , y los ejes se definen de forma única.
Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un elipsoide de revolución , también llamado esferoide . En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje, por lo que hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado ; si es más largo, es un esferoide alargado . Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera.
Ecuación estándar
Usando un sistema de coordenadas cartesianas en el que el origen es el centro del elipsoide y los ejes de coordenadas son ejes del elipsoide, la ecuación implícita del elipsoide tiene la forma estándar
donde a , b , c son números reales positivos .
Los puntos ( a , 0, 0) , (0, b , 0) y (0, 0, c ) se encuentran en la superficie. Los segmentos de línea desde el origen hasta estos puntos se denominan semiejes principales del elipsoide, porque a , b , c son la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al semieje mayor y al semieje menor de una elipse .
Si a = b > c , uno tiene un esferoide achatado ; si a = b < c , se tiene un esferoide alargado ; si a = b = c , uno tiene una esfera .
Parametrización
El elipsoide puede parametrizarse de varias formas, que son más sencillas de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una opción común es
dónde
Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas , donde θ es el ángulo polar y φ es el ángulo azimutal del punto ( x , y , z ) del elipsoide. [1]
Midiendo desde el centro en lugar de un poste,
dónde
θ es la latitud reducida , latitud paramétrica o anomalía excéntrica y λ es acimut o longitud.
Midiendo ángulos directamente a la superficie del elipsoide, no a la esfera circunscrita,
dónde
γ sería la latitud geocéntrica en la Tierra y λ es la longitud. Estas son verdaderas coordenadas esféricas con el origen en el centro del elipsoide. [ cita requerida ]
En geodesia , la latitud geodésica se usa más comúnmente, como el ángulo entre el plano vertical y el ecuatorial, definido para un elipsoide biaxial. Para obtener un elipsoide triaxial más general, consulte Latitud elipsoidal .
Volumen
El volumen delimitado por el elipsoide es
En términos de los diámetros principales A , B , C (donde A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ), el volumen es
- .
Esta ecuación se reduce a la del volumen de una esfera cuando los tres radios elípticas son iguales, y a la de un achatado o prolato esferoide cuando dos de ellos son iguales.
El volumen de un elipsoide es 2/3el volumen de un cilindro elíptico circunscrito , y π/6el volumen de la caja circunscrita. Los volúmenes de las cajas inscritas y circunscritas son respectivamente:
Área de superficie
El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es [2] [3]
dónde
y donde F ( φ , k ) y E ( φ , k ) son integrales elípticas incompletas del primer y segundo tipo respectivamente. [4]
El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide) se puede expresar en términos de funciones elementales :
o
o
y
que, como se desprende de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para S oblato puede usarse para calcular el área de superficie de un elipsoide prolongado y viceversa). En ambos casos, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse ). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo Mathworld . [5]
Fórmula aproximada
Aquí p ≈ 1,6075 produce un error relativo de como máximo 1,061%; [6] un valor de p = 8/5= 1.6 es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de como máximo 1.178%.
En el límite "plana" de c mucho más pequeño que un y b , el área es de aproximadamente 2π ab , equivalente a p ≈ 1,5850 .
Secciones de plano
Propiedades
La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de algún otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines asignan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un solo punto, o está vacía. [7] Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para elipsoides triaxiales (consulte la sección Circular ).
Determinación de la elipse de una sección plana
Dado: Elipsoidex 2/un 2 + y 2/b 2 + z 2/c 2= 1 y el plano con la ecuación n x x + n y y + n z z = d , que tienen una elipse en común.
Se buscan: tres vectores f 0 (centro) y f 1 , f 2 (vectores conjugados), de modo que la elipse se pueda representar mediante la ecuación paramétrica
(ver elipse ).
Solución: la escala u = X/a, v = y/B, w = z/Ctransforma el elipsoide en la esfera unitaria u 2 + v 2 + w 2 = 1 y el plano dado en el plano con la ecuación
Sea m u u + m v v + m w w = δ la forma normal de Hesse del nuevo plano y
su vector normal unitario. Por eso
es el centro del círculo de intersección y
su radio (ver diagrama).
Donde m w = ± 1 (es decir, el plano es horizontal), sea
Donde m w ≠ ± 1 , sea
En cualquier caso, los vectores e 1 , e 2 son ortogonales, paralelos al plano de intersección y tienen una longitud ρ (radio del círculo). Por lo tanto, el círculo de intersección se puede describir mediante la ecuación paramétrica
La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo en el elipsoide y los vectores e 0 , e 1 , e 2 se mapean en los vectores f 0 , f 1 , f 2 , que se querían para la representación paramétrica de la elipse de intersección .
Cómo encontrar los vértices y semiejes de la elipse se describe en elipse .
Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes a = 4, b = 5, c = 3 que está cortado por el plano x + y + z = 5 .
Construcción de pasadores y cuerdas
La construcción de alfileres y cuerdas de un elipsoide es una transferencia de la idea de construir una elipse usando dos alfileres y una cuerda (ver diagrama).
La construcción de alfileres y cuerdas de un elipsoide de revolución viene dada por la construcción de alfileres y cuerdas de la elipse girada.
La construcción de puntos de un elipsoide triaxial es más complicada. Las primeras ideas se deben al físico escocés JC Maxwell (1868). [8] Las principales investigaciones y la extensión a los cuádricos fue realizada por el matemático alemán O. Staude en 1882, 1886 y 1898. [9] [10] [11] La descripción de la construcción de clavijas y cuerdas de elipsoides e hiperboloides es contenido en el libro La geometría y la imaginación de D. Hilbert & S. Vossen, [12] también.
Pasos de la construcción
- Elija una elipse y una hipérbola , que son un par de cónicas focales :
- Elipse: y
- Hipérbola:
con los vértices y focos de la elipse
- Fijar un extremo de la cuerda al vértice y el otro para enfocar . La cuerda se mantiene tensa en un punto con coordenadas y y z positivas, de modo que la cadena se extiende desde a detrás de la parte superior de la hipérbola (ver diagrama) y es libre de deslizarse sobre la hipérbola. La parte de la cuerda de a corre y se desliza frente a la elipse. La cuerda pasa por ese punto de la hipérbola, por lo que la distanciasobre cualquier punto de hipérbola es mínimo. La declaración analógica en la segunda parte de la cuerda y la elipse también debe ser cierta.
- Luego: es un punto del elipsoide con ecuación
- y
- Los puntos restantes del elipsoide se pueden construir mediante cambios adecuados de la cuerda en las cónicas focales.
Semi-ejes
Las ecuaciones para los semiejes del elipsoide generado se pueden derivar mediante elecciones especiales para el punto : .
La parte inferior del diagrama muestra: también son los focos de la elipse en el plano xy. Por lo tanto, es confocal a la elipse dada y la longitud de la cuerda es. Resolviendo para rinde: . Además:.
Del diagrama superior se obtiene: son los focos de la elipse (del elipsoide) en el plano xz y la ecuación .
Conversar
Si, por el contrario, su ecuación da un elipsoide triaxial, a partir de las ecuaciones del paso 3 se pueden derivar los parámetros para una construcción de pasadores y cuerdas.
Elipsoides confocales
Si es un elipsoide confocal para con los cuadrados de sus semiejes
luego de las ecuaciones de
uno encuentra que las cónicas focales correspondientes utilizadas para la construcción de clavijas y cuerdas tienen los mismos semiejes como elipsoide . Por lo tanto (análogamente a los focos de una elipse) uno considera las cónicas focales de un elipsoide 3-axial como los focos (infinitos) y los llama las curvas focales del elipsoide. [13]
La afirmación inversa también es cierta: si uno elige una segunda cadena de longitud y define luego las ecuaciones son válidos, lo que significa que los dos elipsoides son confocales.
Caso límite, elipsoide de revolución
En caso de uno consigue , lo que significa: la elipse focal degenera en un segmento de línea y la hipérbola focal se colapsa en dos segmentos de línea infinitos en el eje x. El elipsoide es simétrico rotacional con el eje x como eje de rotación y.
Propiedades de la hipérbola focal
- Curva verdadera
- Si uno ve un elipsoide desde un punto externo de su hipérbola focal, que parece ser una esfera, es decir, la forma aparente es un círculo. O equivalente: las tangentes del punto que contiene el elipsoide son las líneas de un cono circular, cuyo eje de rotación es la tangente de la hipérbola en . [14] [15] Si se permite el centro para desaparecer en el infinito, se obtiene una proyección paralela ortogonal con la correspondiente asíntota de la hipérbola focal como dirección. ¡La verdadera curva de forma (puntos tangentes) en el elipsoide es sin círculo! La parte inferior del diagrama muestra a la izquierda una proyección paralela de un elipsoide (semiejes: 60, 40, 30) a lo largo de una asíntota y a la derecha una proyección central con centro y punto principal en la tangente de la hipérbola en el punto . ( es el pie de la perpendicular de en el plano de la imagen.) Para ambas proyecciones, la forma aparente es un círculo. En el caso paralelo, la imagen del origen es el centro del círculo, en el caso central el punto principal es el centro.
- Puntos umbilicales
- La hipérbola focal corta al elipsoide en sus 4 puntos umbilicales . [dieciséis]
Propiedad de la elipse focal
La elipse focal junto con su parte interna se puede considerar como la superficie límite (elipsoide infinitamente delgado) del lápiz de elipsoides confocales determinados por por . Para el caso límite uno obtiene
En posición general
Como cuadric
De manera más general, un elipsoide orientado arbitrariamente, centrado en v , se define mediante las soluciones x a la ecuación
donde A es una matriz definida positiva y x , v son vectores .
Los autovectores de A definen los ejes principales del elipsoide y los autovalores de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes:, y . [17] Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que puede ser llevado a la forma estándar anterior mediante una rotación adecuada , una consecuencia de la descomposición polar (también, ver teorema espectral ). Si la transformación lineal está representada por una matriz simétrica de 3 por 3 , entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición de valor singular y la descomposición polar son descomposiciones matriciales estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.
Representación paramétrica
La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en posición general es la definición alternativa:
- Un elipsoide es una imagen afín de la esfera unitaria.
Una transformación afín se puede representar mediante una traducción con un vector y una matriz regular de 3 × 3 :
- ,
where are the column vectors of matrix .
A parametric representation of an ellipsoid in general position can be obtained by the parametric representation of a unit sphere (see above) and an affine transformation:
- .
If the vectors form an orthogonal system, the points with vectors are the vertices of the ellipsoid and are the semi principal axes.
A surface normal vector at point is
For any ellipsoid there exists an implicit representation . If for simplicity the center of the ellipsoid is the origin, i.e. , the following equation describes the ellipsoid above:[18]
Aplicaciones
The ellipsoidal shape finds many practical applications:
- Geodesy
- Earth ellipsoid, a mathematical figure approximating the shape of the Earth.
- Reference ellipsoid, a mathematical figure approximating the shape of planetary bodies in general.
- Mechanics
- Poinsot's ellipsoid, a geometrical method for visualizing the torque-free motion of a rotating rigid body.
- Lamé's stress ellipsoid, an alternative to Mohr's circle for the graphical representation of the stress state at a point.
- Manipulability ellipsoid, used to describe a robot's freedom of motion.
- Jacobi ellipsoid, a triaxial ellipsoid formed by a rotating fluid
- Crystallography
- Index ellipsoid, a diagram of an ellipsoid that depicts the orientation and relative magnitude of refractive indices in a crystal.
- Thermal ellipsoid, ellipsoids used in crystallography to indicate the magnitudes and directions of the thermal vibration of atoms in crystal structures.
- Lighting
- Ellipsoidal reflector floodlight
- Ellipsoidal reflector spotlight
- Medicine
- Measurements obtained from MRI imaging of the prostate can be used to determine the volume of the gland using the approximation L × W × H × 0.52 (where 0.52 is an approximation for π/6)[19]
Dynamical properties
The mass of an ellipsoid of uniform density ρ is:
The moments of inertia of an ellipsoid of uniform density are:
For a = b = c these moments of inertia reduce to those for a sphere of uniform density.
Ellipsoids and cuboids rotate stably along their major or minor axes, but not along their median axis. This can be seen experimentally by throwing an eraser with some spin. In addition, moment of inertia considerations mean that rotation along the major axis is more easily perturbed than rotation along the minor axis.[20]
One practical effect of this is that scalene astronomical bodies such as Haumea generally rotate along their minor axes (as does Earth, which is merely oblate); in addition, because of tidal locking, moons in synchronous orbit such as Mimas orbit with their major axis aligned radially to their planet.
A spinning body of homogeneous self-gravitating fluid will assume the form of either a Maclaurin spheroid (oblate spheroid) or Jacobi ellipsoid (scalene ellipsoid) when in hydrostatic equilibrium, and for moderate rates of rotation. At faster rotations, non-ellipsoidal piriform or oviform shapes can be expected, but these are not stable.
Fluid dynamics
The ellipsoid is the most general shape for which it has been possible to calculate the creeping flow of fluid around the solid shape. The calculations include the force required to translate through a fluid and to rotate within it. Applications include determining the size and shape of large molecules, the sinking rate of small particles, and the swimming abilities of microorganisms.[21]
In probability and statistics
The elliptical distributions, which generalize the multivariate normal distribution and are used in finance, can be defined in terms of their density functions. When they exist, the density functions f have the structure:
where is a scale factor, is an -dimensional random row vector with median vector (which is also the mean vector if the latter exists), is a positive definite matrix which is proportional to the covariance matrix if the latter exists, and is a function mapping from the non-negative reals to the non-negative reals giving a finite area under the curve.[22] The multivariate normal distribution is the special case in which for quadratic form .
Thus the density function is a scalar-to-scalar transformation of a quadric expression. Moreover, the equation for any iso-density surface states that the quadric expression equals some constant specific to that value of the density, and the iso-density surface is an ellipsoid.
En dimensiones superiores
A hyperellipsoid, or ellipsoid of dimension n in an Euclidean space of dimension n + 1, is a quadric hypersurface defined by a polynomial of degree two that has a homogeneous part of degree two which is a positive definite quadratic form.
One can also define a hyperellipsoid as the image of a sphere under an invertible affine transformation. The spectral theorem can again be used to obtain a standard equation of the form
The volume of a hyperellipsoid can be obtained by replacing by in the formula for the volume of a hypersphere.
Ver también
- Ellipsoidal dome
- Ellipsoid method
- Ellipsoidal coordinates
- Elliptical distribution, in statistics
- Flattening, also called ellipticity and oblateness, is a measure of the compression of a circle or sphere along a diameter to form an ellipse or an ellipsoid of revolution (spheroid), respectively.
- Focaloid, a shell bounded by two concentric, confocal ellipsoids
- Geodesics on an ellipsoid
- Geodetic datum, the gravitational Earth modeled by a best fitted elipsoid
- Homoeoid, a shell bounded by two concentric, similar ellipsoids
- List of surfaces
Notas
- ^ Kreyszig (1972, pp. 455–456)
- ^ F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, and C.W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), available online at "Archived copy". Archived from the original on 2012-12-02. Retrieved 2012-01-08.CS1 maint: archived copy as title (link) (see next reference).
- ^ NIST (National Institute of Standards and Technology) at http://www.nist.gov Archived 2015-06-17 at the Wayback Machine
- ^ http://dlmf.nist.gov/19.2
- ^ W., Weisstein, Eric. "Prolate Spheroid". mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 3 August 2017. Retrieved 25 March 2018.
- ^ Final answers Archived 2011-09-30 at the Wayback Machine by Gerard P. Michon (2004-05-13). See Thomsen's formulas and Cantrell's comments.
- ^ Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, p. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
- ^ W. Böhm: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung, Mathemat. Nachrichten 13, 1955, S. 151
- ^ Staude, O.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides. Math. Ann. 20, 147–184 (1882)
- ^ Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades. Math. Ann. 27, 253–271 (1886).
- ^ Staude, O.: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ann. 50, 398 - 428 (1898).
- ^ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometry and the imagination, Chelsea New York, 1952, ISBN 0-8284-1087-9, p. 20 .
- ^ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes, Teubner, Leipzig 1861, p. 287
- ^ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination, p. 24
- ^ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes, p. 301
- ^ W. Blaschke: Analytische Geometrie, p. 125
- ^ "Archived copy" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2013-06-26. Retrieved 2013-10-12.CS1 maint: archived copy as title (link) pp. 17–18.
- ^ Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Archived 2013-11-10 at the Wayback Machine Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.
- ^ Bezinque, Adam; et al. (2018). "Determination of Prostate Volume: A Comparison of Contemporary Methods". Academic Radiology. 25 (12): 1582–1587. doi:10.1016/j.acra.2018.03.014. PMID 29609953.
- ^ Goldstein, H G (1980). Classical Mechanics, (2nd edition) Chapter 5.
- ^ Dusenbery, David B. (2009).Living at Micro Scale, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6.
- ^ Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275–286.
Referencias
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
enlaces externos
- "Ellipsoid" by Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
- Ellipsoid and Quadratic Surface, MathWorld.