Geometría algebraica derivada
La geometría algebraica derivada es una rama de las matemáticas que generaliza la geometría algebraica a una situación en la que los anillos conmutativos , que proporcionan gráficos locales, se reemplazan por álgebras graduadas diferenciales (sobre ), anillos conmutativos simpliciales o espectros de anillos de topología algebraica , cuya homotopía superior agrupa dar cuenta de la falta de discreción (p. ej., Tor) del haz de estructura. La teoría del esquema de Grothendieck permite que la estructura del haz lleve elementos nilpotentes . La geometría algebraica derivada se puede considerar como una extensión de esta idea y proporciona escenarios naturales parateoría de la intersección (o teoría de la homotopía motívica [1] ) de variedades algebraicas singulares y complejos cotangentes en la teoría de la deformación (cf. J. Francis), entre otras aplicaciones.
Los objetos básicos de estudio en el campo son los esquemas derivados y las pilas derivadas . La motivación citada con frecuencia es la fórmula de intersección de Serre . [2] En la formulación habitual, la fórmula involucra el funtor Tor y, por lo tanto, a menos que desaparezca Tor superior, la intersección del esquema teórico (es decir, el producto de fibra de las inmersiones) no produce el número de intersección correcto . En el contexto derivado, se toma el producto tensorial derivado , cuya mayor homotopía es mayor Tor, cuya Spec no es un esquema sino un esquema derivado. Por lo tanto, el producto de fibra "derivado" produce el número de intersección correcto. (Actualmente, esto es hipotético; la teoría de la intersección derivada aún no se ha desarrollado).
El término "derivado" se usa de la misma manera que funtor derivado o categoría derivada , en el sentido de que la categoría de anillos conmutativos se reemplaza por una categoría ∞ de "anillos derivados". En geometría algebraica clásica, la categoría derivada de haces cuasi-coherentes se ve como una categoría triangulada , pero tiene una mejora natural a una categoría ∞ estable , que puede considerarse como el análogo categórico ∞ de una categoría abeliana .
La geometría algebraica derivada es fundamentalmente el estudio de objetos geométricos usando álgebra homológica y homotopía. Dado que los objetos en este campo deben codificar la información homológica y homotópica, existen varias nociones de lo que encapsulan los espacios derivados. Los objetos básicos de estudio en geometría algebraica derivada son esquemas derivados y, más generalmente, pilas derivadas. Heurísticamente, los esquemas derivados deberían ser funtores de alguna categoría de anillos derivados a la categoría de conjuntos.
que se puede generalizar aún más para tener objetivos de groupoides más altos (que se espera que sean modelados por tipos de homotopía). Estas pilas derivadas son funtores adecuados de la forma
Muchos autores modelan dichos funtores como funtores con valores en conjuntos simpliciales, ya que modelan tipos de homotopía y están bien estudiados. Las diferentes definiciones de estos espacios derivados dependen de la elección de cuáles son los anillos derivados y del aspecto que deberían tener los tipos de homotopía. Algunos ejemplos de anillos derivados incluyen álgebras graduadas diferenciales conmutativas, anillos simpliciales y anillos -.