grupo profinito

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En matemáticas , los grupos profinitos son grupos topológicos que, en cierto sentido, se ensamblan a partir de grupos finitos . Comparten muchas propiedades con sus cocientes finitos: por ejemplo, tanto el teorema de Lagrange como los teoremas de Sylow se generalizan bien a grupos profinitos. ^[1]

Todo grupo profinito es compacto . Una generalización no compacta del concepto es la de grupos localmente profinitos .

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos . ^[2] En este contexto, un sistema inverso consta de un conjunto dirigido , una colección de grupos finitos , cada uno con la topología discreta , y una colección de homomorfismos tales que es la identidad y la colección satisface la propiedad de composición . El límite inverso es el conjunto:${\ estilo de visualización (yo, \ leq)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\en I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$${\displaystyle f_{i}^{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$

También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal . En términos categóricos , este es un caso especial de una construcción límite cofiltrada .

Un grupo profinito es un grupo topológico de Hausdorff , compacto y totalmente desconectado : ^[3] es decir, un grupo topológico que también es un espacio de Stone . Dada esta definición, es posible recuperar la primera definición utilizando el límite inverso donde oscila a través de los subgrupos normales abiertos de ordenados por inclusión (inversa).${\displaystyle \varprojlim G/N}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización G}$

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