Sólido catalán

Poliedro dual a un sólido de Arquímedes

Triakis tetraedro , icositetraedro pentagonal y triacontaedro disdyakis .

Los sólidos de arriba (oscuro) se muestran junto con sus duales (claro). Las partes visibles de los sólidos catalanes son pirámides regulares .

Un dodecaedro rómbico con su configuración de cara .

En matemáticas , un sólido catalán , o dual de Arquímedes , es un poliedro dual de un sólido de Arquímedes . Hay 13 sólidos catalanes. Llevan el nombre del matemático belga Eugène Catalan , quien los describió por primera vez en 1865.

Los sólidos catalanes son todos convexos. Son transitivos de cara pero no de vértice . Esto se debe a que los sólidos duales de Arquímedes son transitivos de vértice y no transitivos de caras. Tenga en cuenta que, a diferencia de los sólidos platónicos y los sólidos de Arquímedes , las caras de los sólidos catalanes no son polígonos regulares . Sin embargo, las figuras de vértice de los sólidos catalanes son regulares y tienen ángulos diedros constantes . Al ser transitivos de cara, los sólidos catalanes son isoedros .

Además, dos de los sólidos catalanes son de borde transitivo : el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico . Estos son los duales de los dos sólidos de Arquímedes casi regulares .

Así como los prismas y antiprismas generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, las bipirámides y los trapezoedros generalmente no se consideran sólidos catalanes, a pesar de ser transitivos por caras.

Dos de los sólidos catalanes son quirales : el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal , dual al cubo chato quiral y al dodecaedro chato . Cada uno de estos viene en dos enantiomorfos . Sin contar los enantiomorfos, bipirámides y trapezoedros, hay un total de 13 sólidos catalanes.

norte	Sólido de Arquímedes	Sólido catalán
1	tetraedro truncado	triakis tetraedro
2	cubo truncado	triakis octaedro
3	cuboctaedro truncado	disdyakis dodecaedro
4	octaedro truncado	tetrakis hexaedro
5	dodecaedro truncado	triakis icosaedro
6	icosidodecaedro truncado	Triacontaedro disdyakis
7	icosaedro truncado	pentakis dodecaedro
8	cuboctaedro	dodecaedro rómbico
9	icosidodecaedro	triacontaedro rómbico
10	rombicuboctaedro	icositetraedro deltoideo
11	rombicosidodecaedro	hexcontaedro deltoidal
12	cubo de desaire	icositetraedro pentagonal
13	dodecaedro chato	hexcontaedro pentagonal

Simetría

Los sólidos catalanes, junto con sus sólidos duales de Arquímedes , se pueden agrupar en aquellos con simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica. Tanto para la simetría octaédrica como para la icosaédrica hay seis formas. El único sólido catalán con genuina simetría tetraédrica es el triakis tetraedro (dual del tetraedro truncado ). El dodecaedro rómbico y el hexaedro tetrakis tienen simetría octaédrica, pero se pueden colorear para tener solo simetría tetraédrica. La rectificación y el desaire también existen con simetría tetraédrica, pero son platónicos.en lugar de Arquímedes, por lo que sus duales son platónicos en lugar de catalán. (Se muestran con fondo marrón en la siguiente tabla).

Simetría tetraédrica

Arquímedes (platónico)
Catalán (platónico)

Simetría octaédrica

Arquímedes
catalán

Simetría icosaédrica

Arquímedes
catalán

Lista

Nombre (nombre doble) Nombre de Conway	Imágenes	Wireframes ortogonales	Polígono de caras	Ángulos faciales (°)	Ángulo diedro (°)	Caras	Bordes	Vert	Sym.
triakis tetraedro ( tetraedro truncado ) "kT"			isósceles V3.6.6	112.885 33.557 33.557	129.521	12	18	8	T d
dodecaedro rómbico ( cuboctaedro ) "jC"			Rombo V3.4.3.4	70.529 109.471 70.529 109.471	120	12	24	14	O h
triakis octaedro ( cubo truncado ) "kO"			isósceles V3.8.8	117.201 31.400 31.400	147.350	24	36	14	O h
tetrakis hexaedro ( octaedro truncado ) "kC"			isósceles V4.6.6	83.621 48.190 48.190	143.130	24	36	14	O h
icositetraedro deltoideo ( rombicuboctaedro ) "oC"			Cometa V3.4.4.4	81.579 81.579 81.579 115.263	138.118	24	48	26	O h
disdyakis dodecaedro ( cuboctaedro truncado ) "mC"			Scalene V4.6.8	87.202 55.025 37.773	155.082	48	72	26	O h
icositetraedro pentagonal ( cubo chato ) "gC"			Pentágono V3.3.3.3.4	114,812 114,812 114,812 114,812 80,752	136.309	24	60	38	O
triacontaedro rómbico ( icosidodecaedro ) "jD"			Rombo V3.5.3.5	63.435 116.565 63.435 116.565	144	30	60	32	Yo h
triakis icosaedro ( dodecaedro truncado ) "kI"			isósceles V3.10.10	119.039 30.480 30.480	160.613	60	90	32	Yo h
pentakis dodecaedro ( icosaedro truncado ) "kD"			isósceles V5.6.6	68.619 55.691 55.691	156.719	60	90	32	Yo h
hexecontaedro deltoidal ( rombicosidodecaedro ) "OD"			Cometa V3.4.5.4	86,974 67,783 86,974 118,269	154.121	60	120	62	Yo h
disdyakis triacontaedro ( icosidodecaedro truncado ) "mD"			Scalene V4.6.10	88,992 58,238 32,770	164.888	120	180	62	Yo h
hexcontaedro pentagonal ( dodecaedro chato ) "gD"			Pentágono V3.3.3.3.5	118.137 118.137 118.137 118.137 67.454	153.179	60	150	92	I

Geometría

Todos los ángulos diedros de un sólido catalán son iguales. Denotando su valor por , y denotando el ángulo de la cara en los vértices donde las caras se encuentran , tenemos${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}$.

Esto se puede utilizar para calcular y , , ..., a , ... solamente.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha _{p}}$${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Caras triangulares

De los 13 sólidos catalanes, 7 tienen caras triangulares. Estos son de la forma Vp.qr, donde p, qyr toman sus valores entre 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Los ángulos , y se pueden calcular de la siguiente manera. Ponga , , y puesto ${\displaystyle \alpha _{p}}$${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}$

${\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Luego

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

Porque y las expresiones son similares, por supuesto. El ángulo diedro se puede calcular a partir de ${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

Aplicando esto, por ejemplo, al triacontaedro disdyakis ( , y , por lo tanto , y , donde es la proporción áurea ) da y .${\displaystyle p=4}$${\displaystyle q=6}$${\displaystyle r=10}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle b=3}$${\displaystyle c=\phi +2}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$

Caras cuadriláteras

De los 13 sólidos catalanes, 4 tienen caras cuadriláteras. Estos son de la forma Vp.qpr, donde p, qyr toman sus valores entre 3, 4 y 5. El ángulo se puede calcular mediante la siguiente fórmula:${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

A partir de esto, , y el ángulo diedro se puede calcular fácilmente. También puede poner , , . Luego, y se puede encontrar aplicando las fórmulas para el caso triangular. Por supuesto, el ángulo se puede calcular de manera similar. Las caras son cometas o, si , rombos . Aplicando esto, por ejemplo, al icositetraedro deltoideo ( , y ), obtenemos .${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$${\displaystyle \alpha _{p}}$${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$${\displaystyle q=r}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle q=3}$${\displaystyle r=4}$${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$

Caras pentagonales

De los 13 sólidos catalanes, 2 tienen caras pentagonales. Estos son de la forma Vp.pppq, donde p = 3 y q = 4 o 5. El ángulo se puede calcular resolviendo una ecuación de tres grados:${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Propiedades métricas

Para un sólido catalán Let ser el doble con respecto a la midsphere de . Entonces es un sólido de Arquímedes con la misma esfera media. Denote la longitud de los bordes de por . Dejar que sea el inradio de las caras de , la midradius de y , la inradio de , y la circunferencia circunscrita del . Entonces estas cantidades se pueden expresar en y el ángulo diedro de la siguiente manera:${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle r_{m}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Estas cantidades están relacionadas por , y . ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$

Como ejemplo, sea ​​un cuboctaedro con una longitud de borde . Entonces es un dodecaedro rómbico. Aplicando la fórmula para las caras cuadrilátero con y da , por lo tanto , , , .${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle l=1}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle q=r=3}$${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$${\displaystyle r_{i}=3/4}$${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$${\displaystyle r_{c}=1}$${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$

Todos los vértices de tipo se encuentran en una esfera con radio dado por${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r_{c,p}}$

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

y de manera similar para .${\displaystyle q,r,\ldots }$

Dualmente, hay una esfera que toca todas las caras de las cuales son gones regulares (y de manera similar para ) en su centro. El radio de esta esfera viene dado por${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q,r,\ldots }$${\displaystyle r_{i,p}}$

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Estos dos radios están relacionados por . Continuando con el ejemplo anterior: y , lo que da , , y .${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Si es un vértice de tipo , un borde de inicio en , y el punto donde el borde toca la esfera media de , denota la distancia por . Entonces los bordes de los vértices de unión de tipo y tipo tienen longitud . Estas cantidades se pueden calcular mediante${\displaystyle P}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\prime }}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle PP^{\prime }}$${\displaystyle l_{p}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

y de manera similar para . Continuando con el ejemplo anterior: , , , , por lo que los bordes de la Rombododecaedro tienen longitud .${\displaystyle q,r,\ldots }$${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$

Los ángulos diedros entre caras -gonales y -gonales de satisfacen${\displaystyle \alpha _{p,q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

Terminando el ejemplo del dodecaedro rómbico, el ángulo diedro del cuboctaedro viene dado por .${\displaystyle \alpha _{3,4}}$${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

Construcción

La cara de cualquier poliedro catalán se puede obtener a partir de la figura del vértice del sólido de Arquímedes dual utilizando la construcción Dorman Luke . ^[1]

Aplicación a otros sólidos

Todas las fórmulas de esta sección se aplican a los sólidos platónicos , y también a las bipirámides y trapezoedros con ángulos diedros iguales, porque pueden derivarse únicamente de la propiedad del ángulo diedro constante. Para el trapezoedro pentagonal , por ejemplo, con caras V3.3.5.3, obtenemos , o . Esto no es sorprendente: es posible cortar ambos ápices de tal manera que se obtenga un dodecaedro regular .${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$

Ver también

• Lista de mosaicos uniformes Muestra mosaicos poligonales uniformes duales similares a los sólidos catalanes
• Notación de poliedro de Conway Un proceso de construcción de notación
• Sólido de Arquímedes
• Johnson sólido

Notas

1. Cundy y Rollett (1961) , p. 117; Wenninger (1983) , pág. 30.

Referencias

• Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (París) 41, 1-71, 1865.
• Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2a ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
• Gailiunas, P .; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080 / 00207390500064049 , S2CID  120818796.
• Alan Holden Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991.
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, MR  0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales)
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
• Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los sólidos catalanes .

• Weisstein, Eric W. "Solidos catalanes" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
• Sólidos catalanes - en Visual Polyhedra
• Duales de Arquímedes - en poliedros de realidad virtual
• Catalán interactivo sólido en Java
• Enlace de descarga de la publicación original catalana de 1865 - con hermosas figuras, formato PDF