Un objeto matemático X tiene la propiedad de punto fijo si todo mapeo adecuadamente comportado de X a sí mismo tiene un punto fijo . El término se usa más comúnmente para describir espacios topológicos en los que cada mapeo continuo tiene un punto fijo. Pero otro uso es en la teoría del orden , donde se dice que un conjunto P parcialmente ordenado tiene la propiedad de punto fijo si cada función creciente en P tiene un punto fijo.
Definición
Sea A un objeto de la categoría C concreta . Entonces A tiene la propiedad de punto fijo si cada morfismo (es decir, cada función ) tiene un punto fijo.
El uso más común es cuando C = Top es la categoría de espacios topológicos . Entonces, un espacio topológico X tiene la propiedad de punto fijo si cada mapa continuo tiene un punto fijo.
Ejemplos de
Singletons
En la categoría de conjuntos , los objetos con la propiedad de punto fijo son precisamente los singleton .
El intervalo cerrado
El intervalo cerrado [0,1] tiene la propiedad de punto fijo: Sea f : [0,1] → [0,1] un mapeo continuo. Si f (0) = 0 of (1) = 1, entonces nuestro mapeo tiene un punto fijo en 0 o 1. Si no, entonces f (0)> 0 y f (1) - 1 <0. Por lo tanto, la función g ( x ) = f ( x ) - x es una función de valor real continua que es positiva en x = 0 y negativa en x = 1. Según el teorema del valor intermedio , hay algún punto x 0 con g ( x 0 ) = 0, lo que quiere decir que f ( x 0 ) - x 0 = 0, por lo que x 0 es un punto fijo.
El intervalo abierto no no tiene la propiedad de punto fijo. El mapeo f ( x ) = x 2 no tiene un punto fijo en el intervalo (0,1).
El disco cerrado
El intervalo cerrado es un caso especial del disco cerrado , que en cualquier dimensión finita tiene la propiedad de punto fijo según el teorema de punto fijo de Brouwer .
Topología
Una retracción A de un espacio X con la propiedad de punto fijo también tiene la propiedad de punto fijo. Esto es porque si es una retractación y es cualquier función continua, entonces la composición (dónde es inclusión) tiene un punto fijo. Es decir, hay tal que . Desde tenemos eso y por lo tanto
Un espacio topológico tiene la propiedad de punto fijo si y solo si su mapa de identidad es universal .
Un producto de espacios con la propiedad de punto fijo en general no tiene la propiedad de punto fijo incluso si uno de los espacios es el intervalo real cerrado.
El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva por cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva mediante cualquier retracción .
Según el teorema del punto fijo de Brouwer, todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano tiene FPP. De manera más general, de acuerdo con el teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff, cada subconjunto compacto y convexo de un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene el FPP. La compacidad por sí sola no implica el FPP y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntarse cómo caracterizar topológicamente el FPP. En 1932, Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podrían ser una condición suficiente para que el FPP se mantuviera. El problema estuvo abierto durante 20 años hasta que la conjetura fue refutada por Kinoshita, quien encontró un ejemplo de un espacio compacto contráctil sin el FPP. [1]
Referencias
- ^ Kinoshita, S. Sobre algún continuo contractible sin propiedad de punto fijo. Fondo. Matemáticas. 40 (1953), 96–98
- Samuel Eilenberg, Norman Steenrod (1952). Fundamentos de la topología algebraica . Prensa de la Universidad de Princeton.
- Schröder, Bernd (2002). Conjuntos ordenados . Birkhäuser Boston.