En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , la adjunción es una relación que pueden tener dos functores . Dos functores que se encuentran en esta relación se conocen como functores adjuntos , uno es el adjunto izquierdo y el otro el adjunto derecho . Los pares de functores adjuntos son omnipresentes en matemáticas y a menudo surgen de construcciones de "soluciones óptimas" a ciertos problemas (es decir, construcciones de objetos que tienen una determinada propiedad universal ), como la construcción de un grupo libre en un conjunto en álgebra, o la construcción de la compactación Stone-Čech de unespacio topológico en topología.
Por definición, una adjunción entre las categorías C y D es un par de functores (se supone que son covariantes )
- y
y, para todos los objetos X en C e Y en D, una biyección entre los respectivos conjuntos de morfismos
de tal manera que esta familia de biyecciones es natural, en X y Y . La naturalidad aquí significa que hay isomorfismos naturales entre el par de functores y para una X fija en C , y también el par de functores y para un fijo Y en D .
El funtor F se llama un funtor adjunto izquierdo o adjunto izquierdo de G , mientras que G se llama un funtor adjunto derecho o adjunto derecho a F .
Un adjunto entre las categorías C y D es algo parecido a una "forma débil" de una equivalencia entre C y D , y de hecho toda equivalencia es un adjunto. En muchas situaciones, un adjunto se puede "actualizar" a una equivalencia, mediante una modificación natural adecuada de las categorías y functores involucrados.
Terminología y notación
Se utilizan dos raíces diferentes : "adjunta" y "adjunta". Del diccionario inglés más corto de Oxford, "adjunto" es del latín, "adjunto" es del francés.
En Mac Lane, Categorías para el matemático que trabaja, cap. 4, "Adjuntos", se puede verificar el siguiente uso. Dada una familia
de biyecciones hom-set, llamamos un "adjunto" o un "adjunto entre y ". Si hay una flecha en , es el "adjunto" correcto de (pág.81). El functor se deja "adjunto" a , y es adyacente a . (Tenga en cuenta que G puede tener en sí mismo un adjunto derecho que es bastante diferente de F ; consulte un ejemplo a continuación).
En general, las frases " es un adjunto izquierdo "y" tiene un adjunto derecho "son equivalentes.
Si F se deja adjunto a G , también escribimos
La terminología proviene de la idea espacial de Hilbert de operadores adjuntos T , U con, que es formalmente similar a la relación anterior entre hom-sets. La analogía con mapas adjuntos de espacios de Hilbert puede precisarse en ciertos contextos. [1]
Introducción y motivación
El lema es "Los functors adjuntos surgen en todas partes".
- Saunders Mac Lane, Categorías para el matemático que trabaja
La larga lista de ejemplos en este artículo indica que las construcciones matemáticas comunes son muy a menudo functores adjuntos. En consecuencia, los teoremas generales sobre los functores adjuntos izquierdo / derecho codifican los detalles de muchos resultados útiles y, por lo demás, no triviales. Tales teoremas generales incluyen la equivalencia de las diversas definiciones de functores adjuntos, la unicidad de un adjunto derecho para un adjunto izquierdo dado, el hecho de que los functores adjuntos izquierdo / derecho conservan respectivamente colimits / límites (que también se encuentran en todas las áreas de las matemáticas) , y los teoremas generales del functor adjunto que dan las condiciones bajo las cuales un funtor dado es un adjunto izquierdo / derecho.
Soluciones a problemas de optimización
En cierto sentido, un funtor adjunto es una forma de dar la solución más eficiente a algún problema a través de un método que es formulado . Por ejemplo, un problema elemental en la teoría de anillos es cómo convertir un rng (que es como un anillo que podría no tener una identidad multiplicativa) en un anillo . La forma más eficiente es unir un elemento '1' al rng, unir todos (y solo) los elementos que son necesarios para satisfacer los axiomas del anillo (por ejemplo, r +1 para cada r en el anillo) y no imponer relaciones en el anillo recién formado que no son forzados por axiomas. Además, esta construcción es formulaica en el sentido de que funciona esencialmente de la misma manera para cualquier rng.
Esto es bastante vago, aunque sugerente, y puede precisarse en el lenguaje de la teoría de categorías: una construcción es más eficiente si satisface una propiedad universal y es formulaica si define un funtor . Las propiedades universales vienen en dos tipos: propiedades iniciales y propiedades terminales. Dado que se trata de nociones duales , solo es necesario discutir una de ellas.
La idea de utilizar una propiedad inicial es establecer el problema en términos de alguna categoría de auxiliar de E , por lo que el problema en la mano corresponde a la búsqueda de un objeto inicial de E . Esto tiene la ventaja de que la optimización , el sentido de que el proceso encuentra la solución más eficiente , significa algo riguroso y reconocible, más bien como la consecución de un supremo . La categoría E también es formulista en esta construcción, ya que siempre es la categoría de elementos del funtor al que se está construyendo un adjunto.
Volviendo a nuestro ejemplo: tome el rng R dado y haga una categoría E cuyos objetos sean homomorfismos rng R → S , con S un anillo que tiene una identidad multiplicativa. Los morfismos en E entre R → S 1 y R → S 2 son triángulos conmutativos de la forma ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) donde S 1 → S 2 es un mapa de anillo (que conserva la identidad). (Tenga en cuenta que esta es precisamente la definición de la categoría de coma de R sobre la inclusión de anillos unitarios en rng.) La existencia de un morfismo entre R → S 1 y R → S 2 implica que S 1 es al menos una solución tan eficiente como S 2 a nuestro problema: S 2 puede tener más elementos adjuntos y / o más relaciones no impuestas por axiomas que S 1 . Por lo tanto, la afirmación de que un objeto R → R * es inicial en E , es decir, que hay un morfismo de él a cualquier otro elemento de E , significa que el anillo R * es la solución más eficiente a nuestro problema.
Los dos hechos de que este método de convertir rngs en anillos es más eficiente y formulista se pueden expresar simultáneamente diciendo que define un funtor adjunto . Más explícitamente: Sea F el proceso anterior de unir una identidad a un rng, por lo que F ( R ) = R * . Deje G denota el proceso de “olvidar" si un anillo de S tiene una identidad y teniendo en cuenta que simplemente como un generador de números aleatorios, por lo que esencialmente G ( S ) = S . Entonces F es el funtor adjunto izquierdo de G .
Sin embargo, tenga en cuenta que todavía no hemos construido R * ; es un hecho algebraico importante y no del todo trivial que tal functor adjunto izquierdo R → R * realmente exista.
Simetría de problemas de optimización
También es posible comenzar con el funtor F y plantear la siguiente pregunta (vaga): ¿hay algún problema para cuál F es la solución más eficiente?
La noción de que F es la solución más eficiente al problema planteado por G es, en cierto sentido riguroso, equivalente a la noción de que G plantea el problema más difícil que resuelve F.
Esto da la intuición detrás del hecho de que los funtores adjuntos se presentan en pares: si F es adjunto izquierdo de G , entonces G es adjunto derecho de F .
Definiciones formales
Hay varias definiciones equivalentes para functores adjuntos:
- Las definiciones a través de morfismos universales son fáciles de establecer y requieren verificaciones mínimas al construir un functor adjunto o probar que dos functores son adjuntos. También son los más análogos a nuestra intuición que involucra optimizaciones.
- La definición a través de hom-sets hace que la simetría sea más aparente, y es la razón para usar la palabra adjunto .
- La definición mediante el adjunto de unidad de cuenta es conveniente para las demostraciones sobre functores que se sabe que son adjuntos, porque proporcionan fórmulas que pueden manipularse directamente.
La equivalencia de estas definiciones es bastante útil. Los functores adjuntos surgen en todas partes, en todas las áreas de las matemáticas. Dado que la estructura en cualquiera de estas definiciones da lugar a las estructuras en las otras, cambiar entre ellas hace uso implícito de una gran cantidad de detalles tediosos que de otra manera tendrían que repetirse por separado en cada área temática.
Convenciones
La teoría de los adjuntos tiene los términos izquierda y derecha en su base, y hay muchos componentes que viven en una de las dos categorías C y D que se están considerando. Por lo tanto, puede ser útil elegir las letras en orden alfabético de acuerdo con si viven en la categoría "izquierda" C o en la categoría "derecha" D , y también escribirlas en este orden siempre que sea posible.
En este artículo, por ejemplo, las letras X , F , f , ε denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría C , las letras Y , G , g , η denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría D , y siempre que sea posible tales se hará referencia a las cosas en orden de izquierda a derecha (un funtor F : D → C puede considerarse "vivo" donde están sus salidas, en C ).
Definición a través de morfismos universales
Por definición, un functor es un functor adjunto izquierdo si para cada objeto en existe un morfismo universal de a . Deletreado, esto significa que para cada objeto en existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con .
La última ecuación se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo :
En esta situación, uno puede demostrar que se puede convertir en un functor de una manera única tal que para todos los morfismos en ; luego se llama adjunto izquierdo a.
De manera similar, podemos definir functores adjuntos a la derecha. Un functores un functor adjunto derecho si para cada objeto en , existe un morfismo universal de a . Deletreado, esto significa que para cada objeto en , existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con .
De nuevo, esto se puede convertir de forma única en un functor tal que por un morfismo en ; entonces se llama un adjunto derecho a.
Es cierto, como implica la terminología, que se deja adjunto a si y solo si es adyacente a .
Estas definiciones a través de morfismos universales suelen ser útiles para establecer que un funtor dado es adjunto a la izquierda o a la derecha, porque son minimalistas en sus requisitos. También son intuitivamente significativos en el sentido de que encontrar un morfismo universal es como resolver un problema de optimización.
Definición mediante adjunción Hom-set
Una adjunción hom-set entre dos categorías C y D consta de dos functores F : D → C y G : C → D y un isomorfismo natural
- .
Esto especifica una familia de biyecciones.
Para todos los objetos X en C y Y en D .
En esta situación, F es adjunto izquierdo de G y G es adjunto derecho de F .
Esta definición es un compromiso lógico en el sentido de que es algo más difícil de satisfacer que las definiciones de morfismo universal y tiene menos implicaciones inmediatas que la definición de cuenta-unidad. Es útil debido a su obvia simetría y como un trampolín entre las otras definiciones.
Para interpretar Φ como un isomorfismo natural , uno debe reconocer hom C ( F -, -) y hom D (-, G -) como functores. De hecho, ambos son bifunctores desde D op × C hasta Set (la categoría de conjuntos ). Para obtener más información, consulte el artículo sobre functores hom . Explícitamente, la naturalidad de Φ significa que para todos los morfismos f : X → X ′ en C y todos los morfismos g : Y ′ → Y en D el siguiente diagrama conmuta :
Las flechas verticales de este diagrama son las inducidas por la composición. Formalmente, Hom ( Fg , f ): Hom C ( FY , X ) → Hom C ( FY ′ , X ′ ) viene dado por h → f o h o Fg para cada h en Hom C ( FY , X ). Hom ( g , Gf ) es similar.
Definición mediante adjunción de unidad de conteo
Una adición de unidad de cuenta entre dos categorías C y D consta de dos functores F : D → C y G : C → D y dos transformaciones naturales
respectivamente llamado el contador y la unidad de la adjunción (terminología del álgebra universal ), de modo que las composiciones
son las transformaciones de identidad 1 F y 1 G en F y G respectivamente.
En esta situación decimos que F es adyacente a la izquierda de G y G es adyacente a la derecha de F , y podemos indicar esta relación escribiendo , o simplemente .
En forma de ecuación, las condiciones anteriores en ( ε , η ) son las ecuaciones de unidad de cuenta
lo que significa que para cada X en C y cada Y en D ,
- .
Tenga en cuenta que denota el functor de identificación en la categoría , denota la transformación natural de la identidad del funtor F a sí mismo, ydenota el morfismo de identidad del objeto FY .
Estas ecuaciones son útiles para reducir pruebas sobre functores adjuntos a manipulaciones algebraicas. A veces se les llama identidades de triángulos , oa veces ecuaciones en zig-zag debido a la apariencia de los diagramas de cuerdas correspondientes . Una forma de recordarlos es escribir primero la ecuación sin sentidoy luego rellene F o G de una de las dos formas sencillas que definen las composiciones.
Nota: El uso del prefijo "co" en count aquí no es consistente con la terminología de límites y colimits, porque un colimit satisface una propiedad inicial mientras que los morfismos de count satisfarán propiedades terminales , y dualmente. El término unidad aquí se toma prestado de la teoría de las mónadas donde parece la inserción de la identidad 1 en un monoide.
Historia
La idea de functores adjuntos fue introducida por Daniel Kan en 1958. [2] Como muchos de los conceptos en la teoría de categorías, fue sugerida por las necesidades del álgebra homológica , que en ese momento estaba dedicada a los cálculos. Aquellos enfrentados a hacer presentaciones ordenadas y sistemáticas del tema habrían notado relaciones tales como
- hom ( F ( X ), Y ) = hom ( X , G ( Y ))
en la categoría de grupos abelianos , donde F era el functor(es decir, tome el producto tensorial con A ), y G fue el functor hom ( A , -) (esto ahora se conoce como el adjunto tensor-hom ). El uso del signo igual es un abuso de notación ; esos dos grupos no son realmente idénticos, pero hay una forma de identificarlos que es natural . Se puede ver que ser natural sobre la base, en primer lugar, que son dos descripciones alternativas de las asignaciones de bilineales de X × A a Y . Eso es, sin embargo, algo particular en el caso del producto tensorial. En la teoría de categorías, la "naturalidad" de la biyección se subsume en el concepto de isomorfismo natural .
Ubicuidad
Si uno comienza a buscar estos pares de functores adjuntos, resultan ser muy comunes en el álgebra abstracta y también en otros lugares. La sección de ejemplo a continuación proporciona evidencia de esto; además, las construcciones universales , que pueden resultar más familiares para algunos, dan lugar a numerosos pares de functores adjuntos.
De acuerdo con el pensamiento de Saunders Mac Lane , cualquier idea, como los functores adjuntos, que se presenten con suficiente amplitud en las matemáticas debe estudiarse por sí misma. [ cita requerida ]
Los conceptos se pueden juzgar según su uso en la resolución de problemas, así como por su uso en la construcción de teorías. La tensión entre estas dos motivaciones fue especialmente grande durante la década de 1950, cuando se desarrolló inicialmente la teoría de categorías. Ingrese a Alexander Grothendieck , quien usó la teoría de categorías para tomar la orientación de la brújula en otros trabajos: en análisis funcional , álgebra homológica y finalmente geometría algebraica .
Probablemente sea incorrecto decir que promovió el concepto de funtor adjunto de forma aislada: pero el reconocimiento del papel de la adjunción era inherente al enfoque de Grothendieck. Por ejemplo, uno de sus mayores logros fue la formulación de la dualidad de Serre en forma relativa, vagamente, en una familia continua de variedades algebraicas. Toda la prueba giraba en torno a la existencia de un adjunto derecho a un determinado funtor. Esto es algo innegablemente abstracto y no constructivo [ discutir ] , pero también poderoso a su manera.
Ejemplos de
Grupos libres
La construcción de grupos libres es un ejemplo común y esclarecedor.
Sea F : Set → Grp el functor que asigna a cada conjunto Y el grupo libre generado por los elementos de Y , y sea G : Grp → Set el functor olvidadizo , que asigna a cada grupo X su conjunto subyacente. Entonces F se deja adjunto a G :
Morfismos iniciales. Para cada conjunto Y , el conjunto GFY es sólo el conjunto subyacente del grupo libre el año fiscal generada por Y . Dejar ser el mapa de conjunto dado por "inclusión de generadores". Este es un morfismo inicial de Y a G , porque cualquier mapa de conjunto desde Y al conjunto subyacente GW de algún grupo W se factorizará a través de a través de un homomorfismo único grupo del año fiscal a W . Esta es precisamente la propiedad universal del grupo libre en Y .
Morfismos terminales. Para cada grupo X , el grupo FGX es el grupo libre generado libremente por GX , los elementos de X . Dejar ser el homomorfismo de grupo que envía los generadores de FGX a los elementos de X a los que corresponden, que existe por propiedad universal de los grupos libres. Entonces cada es un morfismo terminal de F a X , porque cualquier homomorfismo de grupo de un grupo libre FZ a X se factorizará a través de a través de un mapa de conjunto único de Z a GX . Esto significa que ( F , G ) es un par adjunto.
Adjunción Hom-set. Los homomorfismos de grupo del grupo libre FY a un grupo X corresponden precisamente a mapas del conjunto Y al conjunto GX : cada homomorfismo de FY a X está completamente determinado por su acción sobre los generadores, otra reafirmación de la propiedad universal de los grupos libres. Se puede verificar directamente que esta correspondencia es una transformación natural, lo que significa que es un complemento hom-set para el par ( F , G ).
adjunción de unidad de cuenta. También se puede verificar directamente que ε y η son naturales. Luego, una verificación directa de que forman un adjunto de unidad de cuenta es como sigue:
La primera ecuación de unidad de conteo dice que para cada conjunto Y la composición
debe ser la identidad. El grupo intermedio FGFY es el grupo libre generado libremente por las palabras del grupo libre FY . (Piense en estas palabras colocadas entre paréntesis para indicar que son generadores independientes). La flecha es el homomorfismo de grupo de FY a FGFY que envía cada generador y de FY a la palabra correspondiente de longitud uno ( y ) como generador de FGFY . La flecha es el homomorfismo de grupo de FGFY a FY enviando cada generador a la palabra de FY a la que corresponde (por lo que este mapa está "soltando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en el año fiscal .
La segunda ecuación de unidad de cuenta dice que para cada grupo X la composición
debe ser la identidad. El conjunto intermedio GFGX es solo el conjunto subyacente de FGX . La flecha es el mapa de conjunto de "inclusión de generadores" del conjunto GX al conjunto GFGX . La flecha es el mapa de conjuntos de GFGX a GX que subyace al homomorfismo de grupo enviando cada generador de FGX al elemento de X al que corresponde ("soltando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en GX .
Construcciones libres y functores olvidadizos
Los objetos libres son todos ejemplos de un adjunto izquierdo a un functor olvidadizo que asigna a un objeto algebraico su conjunto subyacente. Estos functores libres algebraicos tienen generalmente la misma descripción que en la descripción detallada de la situación de grupo libre anterior.
Límites y functores diagonales
Los productos , los productos con fibras , los ecualizadores y los granos son todos ejemplos de la noción categórica de límite . Cualquier funtor límite es adjunto a un funtor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de límites en cuestión), y el contador de la adjunción proporciona los mapas de definición del objeto límite (es decir, del funtor diagonal en el límite, en el categoría functor). A continuación se muestran algunos ejemplos específicos.
- Productos Sea Π: Grp 2 → Grp el functor que asigna a cada par ( X 1 , X 2 ) el grupo de productos X 1 × X 2 , y sea Δ: Grp → Grp 2 el functor diagonal que asigna a cada grupo X el par ( X , X ) en la categoría de producto Grp 2 . La propiedad universal del grupo de productos muestra que Π es adyacente a la derecha de Δ. La cuenta de esta adjunción es el par definitorio de mapas de proyección de X 1 × X 2 a X 1 y X 2 que definen el límite, y la unidad es la inclusión diagonal de un grupo X en X × X (mapeando xa (x ,X)).
- El producto cartesiano de conjuntos , el producto de anillos, el producto de espacios topológicos, etc. siguen el mismo patrón; también puede extenderse de manera sencilla a más de dos factores. De manera más general, cualquier tipo de límite es adyacente a un funtor diagonal.
- Granos. Considere la categoría D de homomorfismos de grupos abelianos. Si f 1 : A 1 → B 1 y f 2 : A 2 → B 2 son dos objetos de D , entonces un morfismo de f 1 a f 2 es un par ( g A , g B ) de morfismos tal que g B f 1 = f 2 g A . Sea G : D → Ab el functor que asigna a cada homomorfismo su núcleo y sea F : Ab → D el functor que mapea el grupo A con el homomorfismo A → 0. Entonces G es adyacente a la derecha de F , que expresa el universal propiedad de los granos. La cuenta de esta adjunción es la incrustación definitoria del núcleo de un homomorfismo en el dominio del homomorfismo, y la unidad es el morfismo que identifica un grupo A con el núcleo del homomorfismo A → 0.
- Una variación adecuada de este ejemplo también muestra que los functores del kernel para espacios vectoriales y para módulos son adjuntos correctos. De manera análoga, se puede mostrar que los functores de cokernel para grupos abelianos, espacios vectoriales y módulos se dejan adjuntos.
Colimits y functores diagonales
Los coproductos , los coproductos fibrados , los coequalizadores y los cokernels son todos ejemplos de la noción categórica de colimit . Cualquier functor colimit se deja adjunto a un functor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de colimits en cuestión), y la unidad de la adjunción proporciona los mapas de definición en el objeto colimit. A continuación se muestran algunos ejemplos específicos.
- Coproductos. Si F : Ab 2 → Ab asigna a cada par ( X 1 , X 2 ) de grupos abelianos su suma directa , y si G : Ab → Ab 2 es el funtor que asigna a cada grupo abeliano Y el par ( Y , Y ) , entonces F se deja adjunto a G , de nuevo una consecuencia de la propiedad universal de las sumas directas. La unidad de este par adjunto es el par definitorio de mapas de inclusión de X 1 y X 2 en la suma directa, y el contador es el mapa aditivo de la suma directa de ( X , X ) para volver a X (enviando un elemento ( a , b ) de la suma directa al elemento a + b de X ).
- Analogous examples are given by the direct sum of vector spaces and modules, by the free product of groups and by the disjoint union of sets.
Further examples
Algebra
- Adjoining an identity to a rng. This example was discussed in the motivation section above. Given a rng R, a multiplicative identity element can be added by taking RxZ and defining a Z-bilinear product with (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1). This constructs a left adjoint to the functor taking a ring to the underlying rng.
- Adjoining an identity to a semigroup. Similarly, given a semigroup S, we can add an identity element and obtain a monoid by taking the disjoint union S {1} and defining a binary operation on it such that it extends the operation on S and 1 is an identity element. This construction gives a functor that is a left adjoint to the functor taking a monoid to the underlying semigroup.
- Ring extensions. Suppose R and S are rings, and ρ : R → S is a ring homomorphism. Then S can be seen as a (left) R-module, and the tensor product with S yields a functor F : R-Mod → S-Mod. Then F is left adjoint to the forgetful functor G : S-Mod → R-Mod.
- Tensor products. If R is a ring and M is a right R-module, then the tensor product with M yields a functor F : R-Mod → Ab. The functor G : Ab → R-Mod, defined by G(A) = homZ(M,A) for every abelian group A, is a right adjoint to F.
- From monoids and groups to rings. The integral monoid ring construction gives a functor from monoids to rings. This functor is left adjoint to the functor that associates to a given ring its underlying multiplicative monoid. Similarly, the integral group ring construction yields a functor from groups to rings, left adjoint to the functor that assigns to a given ring its group of units. One can also start with a field K and consider the category of K-algebras instead of the category of rings, to get the monoid and group rings over K.
- Field of fractions. Consider the category Domm of integral domains with injective morphisms. The forgetful functor Field → Domm from fields has a left adjoint—it assigns to every integral domain its field of fractions.
- Polynomial rings. Let Ring* be the category of pointed commutative rings with unity (pairs (A,a) where A is a ring, a ∈ A and morphisms preserve the distinguished elements). The forgetful functor G:Ring* → Ring has a left adjoint – it assigns to every ring R the pair (R[x],x) where R[x] is the polynomial ring with coefficients from R.
- Abelianization. Consider the inclusion functor G : Ab → Grp from the category of abelian groups to category of groups. It has a left adjoint called abelianization which assigns to every group G the quotient group Gab=G/[G,G].
- The Grothendieck group. In K-theory, the point of departure is to observe that the category of vector bundles on a topological space has a commutative monoid structure under direct sum. One may make an abelian group out of this monoid, the Grothendieck group, by formally adding an additive inverse for each bundle (or equivalence class). Alternatively one can observe that the functor that for each group takes the underlying monoid (ignoring inverses) has a left adjoint. This is a once-for-all construction, in line with the third section discussion above. That is, one can imitate the construction of negative numbers; but there is the other option of an existence theorem. For the case of finitary algebraic structures, the existence by itself can be referred to universal algebra, or model theory; naturally there is also a proof adapted to category theory, too.
- Frobenius reciprocity in the representation theory of groups: see induced representation. This example foreshadowed the general theory by about half a century.
Topology
- A functor with a left and a right adjoint. Let G be the functor from topological spaces to sets that associates to every topological space its underlying set (forgetting the topology, that is). G has a left adjoint F, creating the discrete space on a set Y, and a right adjoint H creating the trivial topology on Y.
- Suspensions and loop spaces. Given topological spaces X and Y, the space [SX, Y] of homotopy classes of maps from the suspension SX of X to Y is naturally isomorphic to the space [X, ΩY] of homotopy classes of maps from X to the loop space ΩY of Y. The suspension functor is therefore left adjoint to the loop space functor in the homotopy category, an important fact in homotopy theory.
- Stone–Čech compactification. Let KHaus be the category of compact Hausdorff spaces and G : KHaus → Top be the inclusion functor to the category of topological spaces. Then G has a left adjoint F : Top → KHaus, the Stone–Čech compactification. The unit of this adjoint pair yields a continuous map from every topological space X into its Stone–Čech compactification.
- Direct and inverse images of sheaves. Every continuous map f : X → Y between topological spaces induces a functor f ∗ from the category of sheaves (of sets, or abelian groups, or rings...) on X to the corresponding category of sheaves on Y, the direct image functor. It also induces a functor f −1 from the category of sheaves of abelian groups on Y to the category of sheaves of abelian groups on X, the inverse image functor. f −1 is left adjoint to f ∗. Here a more subtle point is that the left adjoint for coherent sheaves will differ from that for sheaves (of sets).
- Soberification. The article on Stone duality describes an adjunction between the category of topological spaces and the category of sober spaces that is known as soberification. Notably, the article also contains a detailed description of another adjunction that prepares the way for the famous duality of sober spaces and spatial locales, exploited in pointless topology.
Posets
Every partially ordered set can be viewed as a category (where the elements of the poset become the category's objects and we have a single morphism from x to y if and only if x ≤ y). A pair of adjoint functors between two partially ordered sets is called a Galois connection (or, if it is contravariant, an antitone Galois connection). See that article for a number of examples: the case of Galois theory of course is a leading one. Any Galois connection gives rise to closure operators and to inverse order-preserving bijections between the corresponding closed elements.
As is the case for Galois groups, the real interest lies often in refining a correspondence to a duality (i.e. antitone order isomorphism). A treatment of Galois theory along these lines by Kaplansky was influential in the recognition of the general structure here.
The partial order case collapses the adjunction definitions quite noticeably, but can provide several themes:
- adjunctions may not be dualities or isomorphisms, but are candidates for upgrading to that status
- closure operators may indicate the presence of adjunctions, as corresponding monads (cf. the Kuratowski closure axioms)
- a very general comment of William Lawvere[3] is that syntax and semantics are adjoint: take C to be the set of all logical theories (axiomatizations), and D the power set of the set of all mathematical structures. For a theory T in C, let G(T) be the set of all structures that satisfy the axioms T; for a set of mathematical structures S, let F(S) be the minimal axiomatization of S. We can then say that S is a subset of G(T) if and only if F(S) logically implies T: the "semantics functor" G is right adjoint to the "syntax functor" F.
- division is (in general) the attempt to invert multiplication, but in situations where this is not possible, we often attempt to construct an adjoint instead: the ideal quotient is adjoint to the multiplication by ring ideals, and the implication in propositional logic is adjoint to logical conjunction.
Category theory
- Equivalences. If F : D → C is an equivalence of categories, then we have an inverse equivalence G : C → D, and the two functors F and G form an adjoint pair. The unit and counit are natural isomorphisms in this case.
- A series of adjunctions. The functor π0 which assigns to a category its set of connected components is left-adjoint to the functor D which assigns to a set the discrete category on that set. Moreover, D is left-adjoint to the object functor U which assigns to each category its set of objects, and finally U is left-adjoint to A which assigns to each set the indiscrete category[4] on that set.
- Exponential object. In a cartesian closed category the endofunctor C → C given by –×A has a right adjoint –A. This pair is often referred to as currying and uncurrying; in many special cases, they are also continuous and form a homeomorphism.
Categorical logic
- Quantification. If is a unary predicate expressing some property, then a sufficiently strong set theory may prove the existence of the set of terms that fulfill the property. A proper subset and the associated injection of into is characterized by a predicate expressing a strictly more restrictive property.
- The role of quantifiers in predicate logics is in forming propositions and also in expressing sophisticated predicates by closing formulas with possibly more variables. For example, consider a predicate with two open variables of sort and . Using a quantifier to close , we can form the set
- of all elements of for which there is an to which it is -related, and which itself is characterized by the property . Set theoretic operations like the intersection of two sets directly corresponds to the conjunction of predicates. In categorical logic, a subfield of topos theory, quantifiers are identified with adjoints to the pullback functor. Such a realization can be seen in analogy to the discussion of propositional logic using set theory but the general definition make for a richer range of logics.
- So consider an object in a category with pullbacks. Any morphism induces a functor
- on the category that is the preorder of subobjects. It maps subobjects of (technically: monomorphism classes of ) to the pullback . If this functor has a left- or right adjoint, they are called and , respectively. [5] They both map from back to . Very roughly, given a domain to quantify a relation expressed via over, the functor/quantifier closes in and returns the thereby specified subset of .
- Example: In , the category of sets and functions, the canonical subobjects are the subset (or rather their canonical injections). The pullback of an injection of a subset into along is characterized as the largest set which knows all about and the injection of into . It therefore turns out to be (in bijection with) the inverse image .
- For , let us figure out the left adjoint, which is defined via
- which here just means
- .
- Consider . We see . Conversely, If for an we also have , then clearly . So implies . We conclude that left adjoint to the inverse image functor is given by the direct image. Here is a characterization of this result, which matches more the logical interpretation: The image of under is the full set of 's, such that is non-empty. This works because it neglects exactly those which are in the complement of . So
- Put this in analogy to our motivation .
- The right adjoint to the inverse image functor is given (without doing the computation here) by
- The subset of is characterized as the full set of 's with the property that the inverse image of with respect to is fully contained within . Note how the predicate determining the set is the same as above, except that is replaced by .
- See also powerset.
Adjunciones en su totalidad
There are hence numerous functors and natural transformations associated with every adjunction, and only a small portion is sufficient to determine the rest.
An adjunction between categories C and D consists of
- A functor F : D → C called the left adjoint
- A functor G : C → D called the right adjoint
- A natural isomorphism Φ : homC(F–,–) → homD(–,G–)
- A natural transformation ε : FG → 1C called the counit
- A natural transformation η : 1D → GF called the unit
An equivalent formulation, where X denotes any object of C and Y denotes any object of D, is as follows:
- For every C-morphism f : FY → X, there is a unique D-morphism Φ Y, X( f) = g : Y → GX such that the diagrams below commute, and for every D-morphism g : Y → GX, there is a unique C-morphism Φ −1Y, X( g) = f : FY → X in C such that the diagrams below commute:
From this assertion, one can recover that:
- The transformations ε, η, and Φ are related by the equations
- The transformations ε, η satisfy the counit–unit equations
- Each pair (GX, εX) is a terminal morphism from F to X in C
- Each pair (FY, ηY) is an initial morphism from Y to G in D
In particular, the equations above allow one to define Φ, ε, and η in terms of any one of the three. However, the adjoint functors F and G alone are in general not sufficient to determine the adjunction. The equivalence of these situations is demonstrated below.
Universal morphisms induce hom-set adjunction
Given a right adjoint functor G : C → D; in the sense of initial morphisms, one may construct the induced hom-set adjunction by doing the following steps.
- Construct a functor F : D → C and a natural transformation η.
- For each object Y in D, choose an initial morphism (F(Y), ηY) from Y to G, so that ηY : Y → G(F(Y)). We have the map of F on objects and the family of morphisms η.
- For each f : Y0 → Y1, as (F(Y0), ηY0) is an initial morphism, then factorize ηY1 o f with ηY0 and get F(f) : F(Y0) → F(Y1). This is the map of F on morphisms.
- The commuting diagram of that factorization implies the commuting diagram of natural transformations, so η : 1D → G o F is a natural transformation.
- Uniqueness of that factorization and that G is a functor implies that the map of F on morphisms preserves compositions and identities.
- Construct a natural isomorphism Φ : homC(F-,-) → homD(-,G-).
- For each object X in C, each object Y in D, as (F(Y), ηY) is an initial morphism, then ΦY, X is a bijection, where ΦY, X(f : F(Y) → X) = G(f) o ηY.
- η is a natural transformation, G is a functor, then for any objects X0, X1 in C, any objects Y0, Y1 in D, any x : X0 → X1, any y : Y1 → Y0, we have ΦY1, X1(x o f o F(y)) = G(x) o G(f) o G(F(y)) o ηY1 = G(x) o G(f) o ηY0 o y = G(x) o ΦY0, X0(f) o y, and then Φ is natural in both arguments.
A similar argument allows one to construct a hom-set adjunction from the terminal morphisms to a left adjoint functor. (The construction that starts with a right adjoint is slightly more common, since the right adjoint in many adjoint pairs is a trivially defined inclusion or forgetful functor.)
counit–unit adjunction induces hom-set adjunction
Given functors F : D → C, G : C → D, and a counit–unit adjunction (ε, η) : F G, we can construct a hom-set adjunction by finding the natural transformation Φ : homC(F-,-) → homD(-,G-) in the following steps:
- For each f : FY → X and each g : Y → GX, define
- The transformations Φ and Ψ are natural because η and ε are natural.
- Using, in order, that F is a functor, that ε is natural, and the counit–unit equation 1FY = εFY o F(ηY), we obtain
- hence ΨΦ is the identity transformation.
- Dually, using that G is a functor, that η is natural, and the counit–unit equation 1GX = G(εX) o ηGX, we obtain
- hence ΦΨ is the identity transformation. Thus Φ is a natural isomorphism with inverse Φ −1 = Ψ.
Hom-set adjunction induces all of the above
Given functors F : D → C, G : C → D, and a hom-set adjunction Φ : homC(F-,-) → homD(-,G-), one can construct a counit–unit adjunction
- ,
which defines families of initial and terminal morphisms, in the following steps:
- Let for each X in C, where is the identity morphism.
- Let for each Y in D, where is the identity morphism.
- The bijectivity and naturality of Φ imply that each (GX, εX) is a terminal morphism from F to X in C, and each (FY, ηY) is an initial morphism from Y to G in D.
- The naturality of Φ implies the naturality of ε and η, and the two formulas
- for each f: FY → X and g: Y → GX (which completely determine Φ).
- Substituting FY for X and ηY = ΦY, FY(1FY) for g in the second formula gives the first counit–unit equation
- ,
- and substituting GX for Y and ε X = Φ −1GX, X(1 GX) for f in the first formula gives the second counit–unit equation
- .
Propiedades
Existence
Not every functor G : C → D admits a left adjoint. If C is a complete category, then the functors with left adjoints can be characterized by the adjoint functor theorem of Peter J. Freyd: G has a left adjoint if and only if it is continuous and a certain smallness condition is satisfied: for every object Y of D there exists a family of morphisms
- fi : Y → G( Xi)
where the indices i come from a set I, not a proper class, such that every morphism
- h : Y → G( X)
can be written as
- h = G( t) o fi
for some i in I and some morphism
- t : Xi → X in C.
An analogous statement characterizes those functors with a right adjoint.
An important special case is that of locally presentable categories. If is a functor between locally presentable categories, then
- F has a right adjoint if and only if F preserves small colimits
- F has a left adjoint if and only if F preserves small limits and is an accessible functor
Uniqueness
If the functor F : D → C has two right adjoints G and G′, then G and G′ are naturally isomorphic. The same is true for left adjoints.
Conversely, if F is left adjoint to G, and G is naturally isomorphic to G′ then F is also left adjoint to G′. More generally, if 〈F, G, ε, η〉 is an adjunction (with counit–unit (ε,η)) and
- σ : F → F′
- τ : G → G′
are natural isomorphisms then 〈F′, G′, ε′, η′〉 is an adjunction where
Here denotes vertical composition of natural transformations, and denotes horizontal composition.
Composition
Adjunctions can be composed in a natural fashion. Specifically, if 〈F, G, ε, η〉 is an adjunction between C and D and 〈F′, G′, ε′, η′〉 is an adjunction between D and E then the functor
is left adjoint to
More precisely, there is an adjunction between F F' and G' G with unit and counit given respectively by the compositions:
This new adjunction is called the composition of the two given adjunctions.
Since there is also a natural way to define an identity adjunction between a category C and itself, one can then form a category whose objects are all small categories and whose morphisms are adjunctions.
Limit preservation
The most important property of adjoints is their continuity: every functor that has a left adjoint (and therefore is a right adjoint) is continuous (i.e. commutes with limits in the category theoretical sense); every functor that has a right adjoint (and therefore is a left adjoint) is cocontinuous (i.e. commutes with colimits).
Since many common constructions in mathematics are limits or colimits, this provides a wealth of information. For example:
- applying a right adjoint functor to a product of objects yields the product of the images;
- applying a left adjoint functor to a coproduct of objects yields the coproduct of the images;
- every right adjoint functor between two abelian categories is left exact;
- every left adjoint functor between two abelian categories is right exact.
Additivity
If C and D are preadditive categories and F : D → C is an additive functor with a right adjoint G : C → D, then G is also an additive functor and the hom-set bijections
are, in fact, isomorphisms of abelian groups. Dually, if G is additive with a left adjoint F, then F is also additive.
Moreover, if both C and D are additive categories (i.e. preadditive categories with all finite biproducts), then any pair of adjoint functors between them are automatically additive.
Relaciones
Universal constructions
As stated earlier, an adjunction between categories C and D gives rise to a family of universal morphisms, one for each object in C and one for each object in D. Conversely, if there exists a universal morphism to a functor G : C → D from every object of D, then G has a left adjoint.
However, universal constructions are more general than adjoint functors: a universal construction is like an optimization problem; it gives rise to an adjoint pair if and only if this problem has a solution for every object of D (equivalently, every object of C).
Equivalences of categories
If a functor F : D → C is one half of an equivalence of categories then it is the left adjoint in an adjoint equivalence of categories, i.e. an adjunction whose unit and counit are isomorphisms.
Every adjunction 〈F, G, ε, η〉 extends an equivalence of certain subcategories. Define C1 as the full subcategory of C consisting of those objects X of C for which εX is an isomorphism, and define D1 as the full subcategory of D consisting of those objects Y of D for which ηY is an isomorphism. Then F and G can be restricted to D1 and C1 and yield inverse equivalences of these subcategories.
In a sense, then, adjoints are "generalized" inverses. Note however that a right inverse of F (i.e. a functor G such that FG is naturally isomorphic to 1D) need not be a right (or left) adjoint of F. Adjoints generalize two-sided inverses.
Monads
Every adjunction 〈F, G, ε, η〉 gives rise to an associated monad 〈T, η, μ〉 in the category D. The functor
is given by T = GF. The unit of the monad
is just the unit η of the adjunction and the multiplication transformation
is given by μ = GεF. Dually, the triple 〈FG, ε, FηG〉 defines a comonad in C.
Every monad arises from some adjunction—in fact, typically from many adjunctions—in the above fashion. Two constructions, called the category of Eilenberg–Moore algebras and the Kleisli category are two extremal solutions to the problem of constructing an adjunction that gives rise to a given monad.
Notas
- ^ Baez, John C. (1996). "Higher-Dimensional Algebra II: 2-Hilbert Spaces". arXiv:q-alg/9609018.
- ^ Kan, Daniel M. (1958). "Adjoint Functors" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 87 (2): 294–329. doi:10.2307/1993102.
- ^ Lawvere, F. William, "Adjointness in foundations", Dialectica, 1969. The notation is different nowadays; an easier introduction by Peter Smith in these lecture notes, which also attribute the concept to the article cited.
- ^ "Indiscrete category". nLab.
- ^ Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992) Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 See page 58
Referencias
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. The joy of cats (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
enlaces externos
- Adjunctions playlist on YouTube – seven short lectures on adjunctions by Eugenia Cheng of The Catsters
- WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.