En matemáticas , la métrica Fubini-Study es una métrica de Kähler en el espacio proyectivo de Hilbert , es decir, en un espacio proyectivo complejo CP n dotado de una forma hermitiana . Esta métrica fue descrita originalmente en 1904 y 1905 por Guido Fubini y Eduard Study . [1] [2]
Una forma hermitiana en (el espacio vectorial) C n +1 define un subgrupo unitario U ( n +1) en GL ( n +1, C ). Una métrica de Fubini-Study se determina hasta la homotecia (escala general) por invariancia bajo dicha acción U ( n +1); por tanto, es homogéneo . Equipado con una métrica de Fubini-Study, CP n es un espacio simétrico . La normalización particular de la métrica depende de la aplicación. En la geometría de Riemann , se usa una normalización para que la métrica de Fubini-Study simplemente se relacione con la métrica estándar en la esfera (2 n +1). En geometría algebraica , se usa una normalización que hace que CP n sea una variedad de Hodge .
Construcción
La métrica Fubini-Study surge naturalmente en la construcción espacial cociente de un espacio proyectivo complejo .
Específicamente, se puede definir CP n como el espacio que consiste en todas las líneas complejas en C n +1 , es decir, el cociente de C n +1 \ {0} por la relación de equivalencia que relaciona todos los múltiplos complejos de cada punto juntos. Esto concuerda con el cociente por la acción del grupo diagonal del grupo multiplicativo C * = C \ {0}:
Este cociente se da cuenta de C n +1 \ {0} como un paquete de líneas complejas sobre el espacio base CP n . (De hecho, este es el llamado paquete tautológico sobre CP n .) Por tanto, un punto de CP n se identifica con una clase de equivalencia de ( n +1) -tuplas [ Z 0 , ..., Z n ] complejo módulo distinto de cero cambio de escala; las Z i se denominan coordenadas homogéneas del punto.
Además, uno puede realizar este cociente en dos pasos: dado que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero z = R e iθ se puede considerar únicamente como la composición de una dilatación por el módulo R seguida de una rotación en sentido antihorario alrededor del origen por un ángulo, el cociente C n +1 → CP n se divide en dos partes.
donde la etapa (a) es un cociente por la dilatación Z ~ R Z para R ∈ R + , el grupo multiplicativo de los números reales positivos , y la etapa (b) es un cociente por el rotaciones Z ~ e iθ Z .
El resultado del cociente en (a) es la hiperesfera real S 2 n +1 definida por la ecuación | Z | 2 = | Z 0 | 2 + ... + | Z n | 2 = 1. El cociente en (b) realiza CP n = S 2 n +1 / S 1 , donde S 1 representa el grupo de rotaciones. Este cociente se realiza explícitamente por la famosa fibración de Hopf S 1 → S 2 n +1 → CP n , cuyas fibras se encuentran entre los grandes círculos de.
Como cociente métrico
Cuando se toma un cociente de una variedad de Riemann (o espacio métrico en general), se debe tener cuidado para asegurar que el espacio del cociente esté dotado de una métrica que esté bien definida. Por ejemplo, si un grupo G actúa sobre una variedad de Riemann ( X , g ), entonces para que el espacio orbital X / G posea una métrica inducida,debe ser constante a lo largo de las órbitas G en el sentido de que para cualquier elemento h ∈ G y par de campos vectorialesdebemos tener g ( Xh , Yh ) = g ( X , Y ).
La métrica estándar de Hermitian en C n +1 viene dada en la base estándar por
cuya realización es la métrica euclidiana estándar en R 2 n +2 . Esta métrica no es invariante bajo la acción diagonal de C * , por lo que no podemos empujarla directamente hacia abajo a CP n en el cociente. Sin embargo, esta métrica es invariante bajo la acción diagonal de S 1 = U (1), el grupo de rotaciones. Por lo tanto, el paso (b) en la construcción anterior es posible una vez que se completa el paso (a).
La métrica de Fubini-Study es la métrica inducida sobre el cociente CP n = S 2 n +1 / S 1 , dondelleva la llamada "métrica redonda" que se le otorga mediante la restricción de la métrica euclidiana estándar a la unidad de hiperesfera.
En coordenadas afines locales
Correspondiente a un punto en CP n con coordenadas homogéneas [ Z 0 : ...: Z n ], existe un conjunto único de n coordenadas ( z 1 , ..., z n ) tal que
siempre que Z 0 ≠ 0; específicamente, z j = Z j / Z 0 . El ( z 1 , ..., z n ) forma un sistema de coordenadas afín para CP n en el parche de coordenadas U 0 = { Z 0 ≠ 0}. Se puede desarrollar un sistema de coordenadas afín en cualquiera de los parches de coordenadas U i = { Z i ≠ 0} dividiendo en su lugar por Z i de la manera obvia. Los parches de coordenadas n +1 U i cubren CP n , y es posible dar la métrica explícitamente en términos de las coordenadas afines ( z 1 , ..., z n ) en U i . Las derivadas de coordenadas definen un marcodel paquete tangente holomórfico de CP n , en términos de los cuales la métrica de Fubini-Study tiene componentes hermitianos
donde | z | 2 = | z 1 | 2 + ... + | z n | 2 . Es decir, la matriz hermitiana de la métrica Fubini-Study en este marco es
Tenga en cuenta que cada elemento de la matriz es unitario-invariante: la acción diagonal dejará esta matriz sin cambios.
En consecuencia, el elemento de línea viene dado por
En esta última expresión, la convención de suma se usa para sumar los índices latinos i , j que van de 1 a n .
La métrica se puede derivar del siguiente potencial de Kähler : [3]
como
Usando coordenadas homogéneas
Una expresión también es posible en la notación de coordenadas homogéneas , comúnmente utilizada para describir variedades proyectivas de geometría algebraica : Z = [ Z 0 : ...: Z n ]. Formalmente, sujeto a interpretar adecuadamente las expresiones involucradas, uno tiene
Aquí, la convención de suma se usa para sumar los índices griegos α β que van de 0 an , y en la última igualdad se usa la notación estándar para la parte sesgada de un tensor:
Ahora, esta expresión para d s 2 aparentemente define un tensor en el espacio total del paquete tautológico C n +1 \ {0}. Debe entenderse correctamente como un tensor de CP n tirando de él hacia atrás a lo largo de una sección holomórfica σ del paquete tautológico de CP n . Queda entonces por verificar que el valor del retroceso sea independiente de la elección de la sección: esto se puede hacer mediante un cálculo directo.
La forma de Kähler de esta métrica es
donde el son los operadores de Dolbeault . El retroceso de esto es claramente independiente de la elección de la sección holomórfica. El registro de cantidades | Z | 2 es el potencial de Kähler (a veces llamado escalar de Kähler) de CP n .
En notación de coordenadas bra-ket
En mecánica cuántica , la métrica de Fubini-Study también se conoce como métrica de Bures . [4] Sin embargo, la métrica de Bures se define típicamente en la notación de estados mixtos , mientras que la siguiente exposición se escribe en términos de un estado puro . La parte real de la métrica es (cuatro veces) la métrica de información de Fisher . [4]
La métrica de Fubini-Study puede escribirse utilizando la notación bra-ket comúnmente utilizada en mecánica cuántica . Para equiparar explícitamente esta notación a las coordenadas homogéneas dadas anteriormente, sea
dónde es un conjunto de vectores base ortonormales para el espacio de Hilbert , el son números complejos, y es la notación estándar para un punto en el espacio proyectivo en coordenadas homogéneas . Entonces, dados dos puntos y en el espacio, la distancia (longitud de una geodésica) entre ellos es
o, de manera equivalente, en notación de variedad proyectiva,
Aquí, es el complejo conjugado de. La apariencia de en el denominador es un recordatorio de que y de la misma manera no se normalizaron a la longitud unitaria; por tanto, la normalización se hace explícita aquí. En el espacio de Hilbert, la métrica puede interpretarse de manera bastante trivial como el ángulo entre dos vectores; por eso se le llama ocasionalmente ángulo cuántico . El ángulo tiene un valor real y va de 0 a.
La forma infinitesimal de esta métrica se puede obtener rápidamente tomando , o equivalente, para obtener
En el contexto de la mecánica cuántica , CP 1 se denomina esfera de Bloch ; la métrica de Fubini-Study es la métrica natural para la geometrización de la mecánica cuántica. Gran parte del comportamiento peculiar de la mecánica cuántica, incluido el entrelazamiento cuántico y el efecto de fase de Berry , se puede atribuir a las peculiaridades de la métrica del estudio Fubini.
El caso n = 1
Cuando n = 1, hay un difeomorfismodada por proyección estereográfica . Esto conduce a la fibración de Hopf "especial" S 1 → S 3 → S 2 . Cuando la métrica de Fubini-Study se escribe en coordenadas en CP 1 , su restricción al conjunto tangente real produce una expresión de la "métrica redonda" ordinaria de radio 1/2 (y curvatura gaussiana 4) en S 2 .
Es decir, si z = x + i y es el gráfico de coordenadas afines estándar en la esfera de Riemann CP 1 y x = r cos θ, y = r sin θ son coordenadas polares en C , entonces un cálculo de rutina muestra
dónde es la métrica redonda en la unidad 2-esfera. Aquí φ, θ son " coordenadas esféricas del matemático " en S 2 provenientes de la proyección estereográfica r tan (φ / 2) = 1, tan θ = y / x . (Muchas referencias físicas intercambian los roles de φ y θ).
La forma de Kähler es
Elegir como vierbeins y , la forma de Kähler se simplifica a
Aplicando la estrella de Hodge a la forma de Kähler, se obtiene
lo que implica que K es armónico .
El caso n = 2
La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo CP 2 se ha propuesto como un instantón gravitacional , el análogo gravitacional de un instantón . [5] [3] La métrica, la forma de conexión y la curvatura se calculan fácilmente, una vez que se establecen las coordenadas 4D reales adecuadas. Escriturapara las coordenadas cartesianas reales, se define entonces una forma de coordenadas polares en la 4-esfera (la línea proyectiva cuaterniónica ) como
La son el marco de coordenadas estándar invariante a la izquierda de una forma en el grupo de Lie ; es decir, obedecen por cíclico.
Las correspondientes coordenadas afines locales son y entonces proporcione
con las abreviaturas habituales que y .
El elemento de línea, comenzando con la expresión dada anteriormente, viene dado por
Los vierbeins se pueden leer inmediatamente de la última expresión:
Es decir, en el sistema de coordenadas de vierbein, utilizando subíndices de letras romanas, el tensor métrico es euclidiano:
Dado el vierbein, se puede calcular una conexión de espín ; La conexión de giro Levi-Civita es la conexión única que es libre de torsión y covariablemente constante, es decir, es la única forma que satisface la condición libre de torsión
y es covariantemente constante, lo que, para conexiones de espín, significa que es antisimétrico en los índices de vierbein:
Lo anterior se resuelve fácilmente; Se obtiene
La forma de curvatura 2 se define como
y es constante:
El tensor de Ricci en los índices veirbein está dado por
donde la forma de curvatura 2 se expandió como un tensor de cuatro componentes:
El tensor de Ricci resultante es constante
de modo que la ecuación de Einstein resultante
se puede resolver con la constante cosmológica .
El tensor de Weyl para las métricas de Fubini-Study en general viene dado por
Para el caso n = 2, las dos formas
son auto-duales:
Propiedades de curvatura
En el caso especial n = 1, la métrica Fubini-Study tiene una curvatura seccional constante idénticamente igual a 4, de acuerdo con la equivalencia con la métrica redonda de 2 esferas (que dado un radio R tiene una curvatura seccional). Sin embargo, para n > 1, la métrica de Fubini-Study no tiene una curvatura constante. Su curvatura seccional viene dada por la ecuación [6]
dónde es una base ortonormal del 2-plano σ, J : T CP n → T CP n es la estructura compleja en CP n , y es la métrica de Fubini-Study.
Una consecuencia de esta fórmula es que la curvatura seccional satisface para todos los 2 planos . La curvatura de sección máxima (4) se alcanza en un plano 2 holomórfico - uno para el cual J (σ) ⊂ σ - mientras que la curvatura de sección mínima (1) se logra en un plano 2 para el cual J (σ) es ortogonal a σ. Por esta razón, a menudo se dice que la métrica de Fubini-Study tiene una " curvatura de sección holomórfica constante" igual a 4.
Esto hace que CP n sea un colector de cuarto pinzado (no estricto) ; un teorema célebre muestra que una variedad n estrictamente conectada en un cuarto de pinzado debe ser homeomórfica a una esfera.
La métrica de Fubini-Study es también una métrica de Einstein en el sentido de que es proporcional a su propio tensor de Ricci : existe una constante; tal que para todo i , j tenemos
Esto implica, entre otras cosas, que la métrica Fubini-Study permanece sin cambios hasta un múltiplo escalar bajo el flujo de Ricci . También hace que CP n sea indispensable para la teoría de la relatividad general , donde sirve como una solución no trivial a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío .
La constante cosmológica para CP n se da en términos de la dimensión del espacio:
Métrica del producto
Las nociones comunes de separabilidad se aplican a la métrica Fubini-Study. Más precisamente, la métrica es separable sobre el producto natural de los espacios proyectivos, la incrustación de Segre . Es decir, sies un estado separable , por lo que se puede escribir como, entonces la métrica es la suma de la métrica en los subespacios:
dónde y son las métricas, respectivamente, en los subespacios A y B .
Conexión y curvatura
El hecho de que la métrica se pueda derivar del potencial de Kähler significa que los símbolos de Christoffel y los tensores de curvatura contienen muchas simetrías, y se les puede dar una forma particularmente simple: [7] Los símbolos de Christoffel, en las coordenadas afines locales, son dada por
El tensor de Riemann también es particularmente simple:
El tensor de Ricci es
Pronunciación
Un error de pronunciación común, cometido especialmente por hablantes nativos de inglés, es asumir que Estudiar se pronuncia igual que el verbo estudiar . Dado que en realidad es un nombre alemán, la forma correcta de pronunciar la u en Study es la misma que la u en Fubini . En términos de fonética: ʃtuːdi.
Ver también
- Modelo sigma no lineal
- Teoría de Kaluza-Klein
- Altura de Arakelov
Referencias
- ↑ G. Fubini, "Sulle metriche definite da una forme Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti , 63 págs. 502–513
- ^ Estudio, E. (1905). "Kürzeste Wege im komplexen Gebiet". Mathematische Annalen (en alemán). Springer Science and Business Media LLC. 60 (3): 321–378. doi : 10.1007 / bf01457616 . ISSN 0025-5831 .
- ^ a b Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B .; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de gauge y geometría diferencial" . Informes de física . Elsevier BV. 66 (6): 213–393. doi : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 . ISSN 0370-1573 .
- ^ a b Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, VI Man'ko, Giuseppe Marmo, ECG Sudarshan, Franco Ventriglia " Información clásica y cuántica de Fisher en la formulación geométrica de la mecánica cuántica " (2010), Physics Letters A 374 págs. 4801. doi : 10.1016 / j.physleta.2010.10.005
- ^ Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (8 de noviembre de 1976). "Gravedad cuántica y topología mundial". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 37 (19): 1251-1254. doi : 10.1103 / physrevlett.37.1251 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Sakai, T. Riemannian Geometry , Traducciones de monografías matemáticas No. 149 (1995), Sociedad Americana de Matemáticas.
- ^ Andrew J. Hanson, Ji-PingSha, " Visualizando la superficie K3 " (2006)
- Besse, Arthur L. (1987), variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. Xii + 510, ISBN 978-3-540-15279-8
- Brody, DC; Hughston, LP (2001), "Mecánica cuántica geométrica", Journal of Geometry and Physics , 38 : 19–53, arXiv : quant-ph / 9906086 , Bibcode : 2001JGP .... 38 ... 19B , doi : 10.1016 / S0393-0440 (00) 00052-8
- Griffiths, P .; Harris, J. (1994), Principles of Algebraic Geometry , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, págs. 30–31, ISBN 0-471-05059-8
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Fubini-Study metric" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.