En matemáticas, un álgebra como tiene multiplicación cuya asociatividad está bien definida en nariz. Esto significa que para cualquier número real tenemos
- .
Pero, hay álgebras que no son necesariamente asociativas, es decir, si luego
en general. Existe una noción de álgebras, llamada-álgebras, que todavía tienen una propiedad sobre la multiplicación que todavía actúa como la primera relación, lo que significa que la asociatividad se mantiene, pero solo se mantiene hasta una homotopía , que es una forma de decir después de una operación que "comprime" la información en el álgebra, la la multiplicación es asociativa. Esto significa que aunque obtenemos algo que se parece a la segunda ecuación, la de la desigualdad , en realidad obtenemos la igualdad después de "comprimir" la información en el álgebra.
El estudio de -algebras es un subconjunto del álgebra homotópica , donde hay una noción homotópica de álgebras asociativas a través de un álgebra graduada diferencial con una operación de multiplicación y una serie de homotopías superiores que dan la falla de que la multiplicación sea asociativa. Vagamente, un-álgebra [1] es un -espacio vectorial calificado sobre un campo con una serie de operaciones sobre el -ésimo tensor de potencias de . Lacorresponde a un diferencial de complejo de cadena , es el mapa de multiplicación, y el mayor son una medida del fracaso de la asociatividad del . Al observar el álgebra de cohomología subyacente, el mapa debe ser un mapa asociativo. Entonces, estos mapas superiores debe interpretarse como homotopías superiores, donde es el fracaso de ser asociativo, es el fracaso de ser más asociativo, etc. Su estructura fue descubierta originalmente por Jim Stasheff [2] [3] mientras estudiaba los espacios A∞ , pero esto se interpretó más adelante como una estructura puramente algebraica. Estos son espacios equipados con mapas que son asociativos solo hasta la homotopía, y la estructura A∞ realiza un seguimiento de estas homotopías, homotopías de homotopías, etc.
Son ubicuos en la simetría especular homológica debido a su necesidad de definir la estructura de la categoría Fukaya de D-branas en una variedad Calabi-Yau que solo tienen una estructura asociativa de homotopía.
Definición
Definición
Para un campo fijo un -álgebra [1] es un-espacio vectorial calificado
tal que para existe grado , -mapas lineales
que satisfacen una condición de coherencia:
- ,
dónde .
Comprender las condiciones de coherencia
Las condiciones de coherencia son fáciles de escribir para grados bajos [1] págs . 583–584 .
d = 1
Para esta es la condición de que
- ,
desde donación y . Estas dos desigualdades fuerzan en la condición de coherencia, por lo tanto, la única entrada de la misma es de . Por lo tanto representa un diferencial.
d = 2
Desempaquetando la condición de coherencia para da el grado mapa . En la suma están las desigualdades
de índices dando igual a . Al desempaquetar la suma de coherencia se obtiene la relación
- ,
que cuando se reescribe con
- y
como el diferencial y la multiplicación, es
- ,
que es la regla de Leibniz para álgebras graduadas diferenciales.
d = 3
En este grado sale a la luz la estructura de asociatividad. Tenga en cuenta si Luego hay una estructura de álgebra graduada diferencial, que se vuelve transparente después de expandir la condición de coherencia y multiplicar por un factor apropiado de , la condición de coherencia dice algo como
Observe que el lado izquierdo de la ecuación es la falla para ser un álgebra asociativa en la nariz. Una de las entradas de los tres primeros los mapas son co-límites ya que es el diferencial, por lo que en el álgebra de cohomología todos estos elementos desaparecerían ya que . Esto incluye el término finalya que también es un co-límite, dando un elemento cero en el álgebra de cohomología. A partir de estas relaciones podemos interpretar la mapa como un fracaso para la asociatividad de , lo que significa que es asociativo solo hasta la homotopía.
d = 4 y términos de orden superior
Además, los términos de orden superior, para , las condiciones coherentes dan muchos términos diferentes que combinan una serie de en algunos e insertando ese término en un junto con el resto del está en los elementos . Al combinar el términos, hay una parte de la condición de coherencia que se lee de manera similar al lado derecho de , es decir, hay términos
En grado los otros términos se pueden escribir como
mostrando cómo los elementos en la imagen de y interactuar. Esto significa la homotopía de elementos, incluido uno que está en la imagen demenos la multiplicación de elementos donde uno es una entrada de homotopía, difieren por un límite. Para un orden superior, estos términos intermedios se pueden ver cómo los mapas intermedios comportarse con respecto a los términos procedentes de la imagen de otro mapa de homotopía superior.
Interpretación esquemática de axiomas
Hay un bonito formalismo diagramático de álgebras que se describe en Álgebra + Homotopía = Operado [4] que explica cómo pensar visualmente sobre estas homotopías superiores. Esta intuición está encapsulada con la discusión anterior algebraicamente, pero también es útil visualizarla.
Ejemplos de
Álgebras asociativas
Cada álgebra asociativa tiene un -estructura infinita definiendo y por . Por eso-álgebras generalizan álgebras asociativas.
Álgebras diferenciales graduadas
Cada álgebra graduada diferencial tiene una estructura canónica como -álgebra [1] donde y es el mapa de multiplicación. Todos los demás mapas superiores son iguales a . Usando el teorema de estructura para modelos mínimos, hay un canónico-estructura en el álgebra de cohomología graduada que conserva la estructura de cuasi-isomorfismo del álgebra graduada diferencial original. Un ejemplo común de tales dga proviene del álgebra de Koszul que surge de una secuencia regular . Este es un resultado importante porque ayuda a allanar el camino para la equivalencia de categorías de homotopía.
de álgebras graduadas diferenciales y -álgebras.
Álgebras de cochain de espacios H
Uno de los ejemplos motivadores de -álgebras proviene del estudio de H-espacios . Siempre que un espacio topológicoes un espacio H, su complejo de cadena singular asociado tiene un canon -estructura del álgebra a partir de su estructura como un espacio-H. [3]
Ejemplo con infinitos m i no triviales
Considere el álgebra graduada sobre un campo de característica dónde está abarcado por el grado vectores y está abarcado por el grado vector . [5] [6] Incluso en este ejemplo simple hay una no trivial-estructura que da diferenciales en todos los grados posibles. Esto se debe en parte al hecho de que existe un grado vector, dando un grado espacio vectorial de rango en . Definir el diferencial por
y para
dónde en cualquier mapa que no esté en la lista anterior y . En grado, entonces para el mapa de multiplicación, tenemos Y en las relaciones anteriores dan
Al relacionar estas ecuaciones con la falla de asociatividad, existen términos distintos de cero. Por ejemplo, las condiciones de coherencia paraDará un ejemplo no trivial donde la asociatividad no se sostiene en la nariz. Tenga en cuenta que en el álgebra de cohomología solo tenemos el grado condiciones desde es asesinado por el diferencial .
Propiedades
Transferencia de estructura A ∞
Una de las propiedades clave de -álgebras es su estructura se puede transferir a otros objetos algebraicos dadas las hipótesis correctas. Una versión temprana de esta propiedad fue la siguiente: Dado un-álgebra y una equivalencia de homotopía de complejos
- ,
entonces hay un -estructura de álgebra en heredado de y puede extenderse a un morfismo de -álgebras. Existen múltiples teoremas de este tipo con diferentes hipótesis sobre y , algunos de los cuales tienen resultados más fuertes, como la unicidad hasta la homotopía para la estructura en y rigor en el mapa . [7]
Estructura
Modelos mínimos y teorema de Kadeishvili
Uno de los teoremas de estructura importantes para -álgebras es la existencia y singularidad de modelos mínimos - que se definen como-álgebras donde el mapa diferencial es cero. Tomando el álgebra de cohomología de una -álgebra desde el diferencial , así que como álgebra graduada,
- ,
con mapa de multiplicación . Resulta que esta álgebra graduada puede entonces equiparse canónicamente con un-estructura,
- ,
que es única hasta cuasi-isomorfismos de -álgebras. [8] De hecho, la afirmación es aún más fuerte: hay un canónico-morfismo
- ,
que eleva el mapa de identidad de . Tenga en cuenta que estos productos superiores son proporcionados por el producto Massey .
Motivación
Este teorema es muy importante para el estudio de las álgebras graduadas diferenciales porque originalmente se introdujeron para estudiar la teoría de homotopía de anillos. Dado que la operación de cohomología mata la información de homotopía, y no todas las álgebras diferenciales graduadas son cuasi-isomórficas para su álgebra de cohomología, la información se pierde al realizar esta operación. Pero, los modelos mínimos le permiten recuperar la clase de cuasi-isomorfismo sin dejar de olvidar el diferencial. Hay un resultado análogo para las categorías A∞ de Maxim Kontsevich y Yan Soibelman , que da una estructura de categoría A∞ en la categoría de cohomologíade la categoría dg que consta de complejos cocatenarios de poleas coherentes en una variedad no singular sobre un campo de característica y morfismos dados por el complejo total del bi-complejo de Cech de la gavilla graduada diferencial[1] pág . 586-593 . En esto fue, el grado morfismos en la categoría son dadas por .
Aplicaciones
Hay varias aplicaciones de este teorema. En particular, dado un dg-álgebra, como el álgebra de De Rham , o el álgebra de cohomología de Hochschild , pueden equiparse con un-estructura.
Estructura de Massey de DGA
Dada un álgebra graduada diferencial su modelo mínimo como -álgebra está construido con los productos Massey. Es decir,
Resulta que cualquier -estructura de álgebra en está estrechamente relacionado con esta construcción. Dado otro-estructura en con mapas , existe la relación [9]
- ,
dónde
- .
De ahí todos esos -Los enriquecimientos en el álgebra de cohomología están relacionados entre sí.
Álgebras graduadas de su álgebra ext
Otro teorema de estructura es la reconstrucción de un álgebra a partir de su álgebra externa. Dada un álgebra graduada conectada
- ,
canónicamente es un álgebra asociativa. Hay un álgebra asociada, llamada su álgebra Ext, definida como
- ,
donde la multiplicación viene dada por el producto de Yoneda . Entonces, hay un-cuasi-isomorfismo entre y . Esta identificación es importante porque da una manera de mostrar que todas las categorías derivadas son afines derivadas , lo que significa que son isomorfas la categoría derivada de alguna álgebra.
Ver también
- Categoría A
- Associahedron
- Conjetura de la simetría especular
- Simetría de espejo homológica
- Álgebra de mentiras de homotopía
- Geometría algebraica derivada
Referencias
- ↑ a b c d e Aspinwall, Paul (2009). Branas de Dirichlet y simetría especular . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3848-8. OCLC 939927173 .
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