En matemáticas , las fórmulas explícitas para funciones L son relaciones entre sumas sobre los números complejos ceros de una función L y sumas sobre potencias primas, introducidas por Riemann (1859) para la función zeta de Riemann . Estas fórmulas explícitas se han aplicado también a preguntas sobre la delimitación del discriminante de un campo numérico algebraico y el conductor de un campo numérico .
La fórmula explícita de Riemann
En su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", Riemann esbozó una fórmula explícita (no fue completamente probada hasta 1895 por von Mangoldt , ver más abajo) para la función de conteo de primos normalizada π 0 ( x ) que es relacionado con la función de conteo de primos π ( x ) por
que toma la media aritmética del límite de la izquierda y el límite de la derecha en las discontinuidades. [a] Su fórmula se dio en términos de la función relacionada
en el que una potencia prima p n cuenta como 1 ⁄ n de una prima. La función de recuento de primos normalizada se puede recuperar de esta función mediante
donde μ ( n ) es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces
que implica una suma sobre los ceros no triviales ρ de la función zeta de Riemann. La suma no es absolutamente convergente , pero puede evaluarse tomando los ceros en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (no compensada) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente
Los términos li ( x ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan cierto cuidado en su definición, ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen mediante la continuación analítica en la variable compleja ρ en la región x > 1 y Re ( ρ )> 0 . Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li ( x ) proviene del polo en s = 1 , considerado como un cero de multiplicidad -1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los primos alrededor de sus posiciones "esperadas". (Para gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, ver Zagier 1977 ).
La primera prueba rigurosa de la fórmula antes mencionada fue dada por von Mangoldt en 1895: comenzó con una prueba de la siguiente fórmula para la función de Chebyshev ψ [1]
donde el LHS es una transformada de Mellin inversa con
- y
y el RHS se obtiene a partir del teorema del residuo y luego se convierte en la fórmula que el propio Riemann esbozó.
Esta serie también es condicionalmente convergente y la suma sobre ceros debe tomarse nuevamente en orden creciente de la parte imaginaria: [2]
- dónde .
El error involucrado en truncar la suma a S ( x , T ) es siempre menor que ln ( x ) en valor absoluto, y cuando se divide por el logaritmo natural de x , tiene un valor absoluto menor quex ⁄ T dividido por la distancia desdexhasta la potencia principal más cercana. [3]
La fórmula explícita de Weil
Hay varias formas ligeramente diferentes de expresar la fórmula explícita. La forma de André Weil de la fórmula explícita establece
dónde
- ρ pasa por encima de los ceros no triviales de la función zeta
- p pasa por encima de primos positivos
- m corre sobre enteros positivos
- F es una función suave cuyas derivadas disminuyen rápidamente
- es una transformada de Fourier de F :
- , dónde es la función digamma Γ ′ / Γ.
En términos generales, la fórmula explícita dice que la transformada de Fourier de los ceros de la función zeta es el conjunto de potencias primas más algunos factores elementales. Una vez dicho esto, la fórmula proviene del hecho de que la transformada de Fourier es un operador unitario, por lo que un producto escalar en el dominio del tiempo es igual al producto escalar de las transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia.
Los términos de la fórmula surgen de la siguiente manera.
- Los términos del lado derecho provienen de la derivada logarítmica de
- con los términos correspondientes al primo p proveniente del factor de Euler de p , y el término al final que involucra a Ψ proveniente del factor gamma (el factor de Euler en el infinito).
- El lado izquierdo es una suma de todos los ceros de ζ * contados con multiplicidades, por lo que los polos en 0 y 1 se cuentan como ceros de orden -1.
La fórmula explícita de Weil se puede entender así. El objetivo es poder escribir eso:
- ,
donde Λ es la función de von Mangoldt .
De modo que la transformada de Fourier de los ceros no triviales es igual a la potencia de los primos simétricamente más un término menor. Por supuesto, las sumas involucradas no son convergentes, pero el truco es usar la propiedad unitaria de la transformada de Fourier que es que conserva el producto escalar:
dónde son las transformadas de Fourier de . A primera vista, parece ser una fórmula solo para funciones, pero de hecho en muchos casos también funciona cuandoes una distribucion. Por lo tanto, al establecer (dónde es el delta de Dirac ) y elegir cuidadosamente una función y su transformada de Fourier, obtenemos la fórmula anterior.
Fórmulas explícitas para otras funciones aritméticas
La fórmula de Riemann-Weyl [ aclaración necesaria ] se puede generalizar a funciones aritméticas distintas de la función de von Mangoldt. Por ejemplo, para la función de Möbius tenemos
- .
También para la función Liouville tenemos
- .
Para la función de Euler-Phi, la fórmula explícita dice
- .
En todos los casos la suma está relacionada con la parte imaginaria de los ceros de Riemann y la función h está relacionada con la función de prueba g por una transformada de Fourier,.
Para la función divisor de orden cero . [ aclaración necesaria ]
Usando una función de prueba del formulario para algunos positivos, a convierte la fórmula de suma de Poisson en una fórmula que involucra la transformada de Mellin. Aquí y es un parámetro real.
Generalizaciones
La función zeta de Riemann se puede reemplazar por una función L de Dirichlet de un carácter de Dirichlet χ. La suma de las potencias primas obtiene factores adicionales de χ ( p m ), y los términos Φ (1) y Φ (0) desaparecen porque la serie L no tiene polos.
De manera más general, la función zeta de Riemann y la serie L se pueden reemplazar por la función zeta de Dedekind de un campo numérico algebraico o una serie L de Hecke . La suma sobre los primos luego se reemplaza por una suma sobre los ideales primos.
Aplicaciones
El uso original de Riemann de la fórmula explícita fue dar una fórmula exacta para el número de primos menores que un número dado. Para hacer esto, tome F (log ( y )) como y 1/2 / log ( y ) para 0 ≤ y ≤ x y 0 en cualquier otro lugar. Entonces, el término principal de la suma de la derecha es el número de primos menores que x . El término principal de la izquierda es Φ (1); que resulta ser los términos dominantes del teorema de los números primos , y la corrección principal es la suma de los ceros no triviales de la función zeta. (Existe un problema técnico menor al usar este caso, ya que la función F no satisface la condición de suavidad).
Conjetura de Hilbert-Pólya
Según la conjetura de Hilbert-Pólya , los ceros complejos ρ deben ser los valores propios de algunos operador lineal T . La suma sobre los ceros de la fórmula explícita es entonces (al menos formalmente) dada por un rastro:
El desarrollo de las fórmulas explícitas para una amplia clase de funciones L fue proporcionado por Weil (1952) , quien primero extendió la idea a las funciones zeta locales y formuló una versión de una hipótesis de Riemann generalizada en este contexto, como un enunciado de positividad para una función generalizada en un grupo topológico . Un trabajo más reciente de Alain Connes ha ido mucho más allá en el trasfondo funcional-analítico, proporcionando una fórmula de trazas cuya validez es equivalente a una hipótesis de Riemann tan generalizada. Meyer (2005) dio un punto de vista ligeramente diferente , quien derivó la fórmula explícita de Weil a través del análisis armónico de los espacios adeélicos.
Ver también
Notas al pie
- ^ La función de recuento de primos original se puede recuperar fácilmente a través de para todos
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. Fórmula explícita en MathWorld.
- ^ Ingham (1990) p.77
- ^ Confundido acerca de la fórmula explícita para ψ0 (x)
- Ingham, AE (1990) [1932], The Distribution of Prime Numbers , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 30 , reeditado con un prólogo de RC Vaughan (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39789-6, MR 1074573 , Zbl 0.715,11045
- Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de posgrado en matemáticas, 110 (2a ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94225-4, Zbl 0811.11001
- Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" , Monatsberichte der Berliner Akademie
- Weil, André (1952), "Sur les" formules explicites "de la théorie des nombres premiers" [Sobre las "fórmulas explícitas" en la teoría de los números primos], Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Estera. Sem.] (En francés), Tome Supplémentaire: 252–265 , MR 0053152 , Zbl 0049.03205
- von Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung" Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse " " [En el artículo de Riemann "El número de números primos menores que una magnitud dada"], Journal für die reine und angewandte Mathematik ( en alemán), 114 : 255–305, ISSN 0075-4102 , JFM 26.0215.03 , MR 1580379
- Meyer, Ralf (2005), "Sobre una representación del grupo de clase idele relacionado con los primos y ceros de las funciones L ", Duke Math. J. , 127 (3): 519–595, arXiv : math / 0311468 , doi : 10.1215 / s0012-7094-04-12734-4 , ISSN 0012-7094 , MR 2132868 , Zbl 1079.11044
- Zagier, Don (1977), "Los primeros 50 millones de números primos", The Mathematical Intelligencer , 1 (S2): 7-19, doi : 10.1007 / bf03351556
- García JJ Mellin Convolución y sus extensiones, fórmula Perron y fórmulas explícitas doi = 10.20944 / preprints201801.0020.v1
- https://encyclopediaofmath.org/wiki/M%C3%B6bius_function#:~:text=The%20M%C3%B6bius%20function%20is%20an,M%C3%B6bius%20in%201832
Otras lecturas
- Edwards, HM (1974), función zeta de Riemann , Matemáticas puras y aplicadas, 58 , Nueva York-Londres: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
- Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para la factorización , Progreso en matemáticas, 126 (2a ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl 0821.11001