En matemáticas , el teorema de Chern (o el teorema de Chern-Gauss-Bonnet [1] [2] [3] después de Shiing-Shen Chern , Carl Friedrich Gauss y Pierre Ossian Bonnet ) establece que la característica de Euler-Poincaré (una invariante topológica definida como la suma alterna de los números de Betti de un espacio topológico) de una variedad riemanniana de dimensión uniforme cerrada es igual a la integral de cierto polinomio (la clase de Euler ) de su forma de curvatura (unainvariante analítico ).
Es una generalización muy no trivial del teorema clásico de Gauss-Bonnet (para variedades / superficies bidimensionales ) a variedades de Riemannian de dimensiones pares superiores. En 1943, Carl B. Allendoerfer y André Weil demostraron ser un caso especial para las variedades extrínsecas. En un artículo clásico publicado en 1944, Shiing-Shen Chern demostró el teorema con total generalidad que conecta la topología global con la geometría local . [4]
Riemann-Roch y Atiyah-Singer son otras generalizaciones del teorema de Gauss-Bonnet.
Declaración
Una forma útil del teorema de Chern es que [5] [6]
dónde denota la característica de Euler de M. La clase de Euler se define como
donde tenemos el Pfaffian . Aquí M es un compacto orientable 2 n -dimensional variedad de Riemann sin límite , yes la forma de curvatura asociada de la conexión Levi-Civita . De hecho, la afirmación se sostiene conla forma de curvatura de cualquier conexión métrica en el paquete tangente, así como para otros paquetes vectoriales sobre. [7]
Dado que la dimensión es 2 n , tenemos que es un -forma 2-diferencial valorada en M (ver grupo ortogonal especial ). Entoncesse puede considerar como una matriz de 2 n × 2 n de simetría sesgada cuyas entradas son 2 formas, por lo que es una matriz sobre el anillo conmutativo . Por tanto, el Pfaffian es una forma de 2 n . También es un polinomio invariante .
Sin embargo, el teorema de Chern en general es que para cualquier orientable n- dimensional M , [5]
donde el emparejamiento anterior (,) denota el producto de tapa con la clase de Euler del paquete tangente TM.
Pruebas
En 1944, SS Chern demostró por primera vez el teorema general en un artículo clásico publicado por el departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton . [8]
En 2013, también se encontró una prueba del teorema a través de las teorías de campo euclidianas supersimétricas . [3]
Aplicaciones
El teorema de Chern-Gauss-Bonnet puede verse como un ejemplo especial en la teoría de clases características . El integrando de Chern es la clase de Euler . Dado que es una forma diferencial de dimensión superior, está cerrada. La naturalidad de la clase de Euler significa que al cambiar la métrica de Riemann , uno permanece en la misma clase de cohomología . Eso significa que la integral de la clase de Euler permanece constante a medida que se varía la métrica y, por lo tanto, es una invariante global de la estructura suave. [6]
El teorema también ha encontrado numerosas aplicaciones en física , que incluyen: [6]
- fase adiabática o fase de Berry ,
- teoría de cuerdas ,
- física de la materia condensada ,
- Teoría de campos cuánticos topológicos ,
- fases topológicas de la materia (ver el Premio Nobel de Física 2016 por Duncan Haldane et al.).
Casos especiales
Colectores de cuatro dimensiones
En dimensión , para un colector orientado compacto, obtenemos
dónde es el tensor de curvatura de Riemann completo ,es el tensor de curvatura de Ricci , yes la curvatura escalar . Esto es particularmente importante en la relatividad general , donde el espacio-tiempo se ve como una variedad de 4 dimensiones.
Teorema de Gauss-Bonnet
El teorema de Gauss-Bonnet es un caso especial cuando M es una variedad bidimensional. Surge como el caso especial en el que el índice topológico se define en términos de números de Betti y el índice analítico se define en términos del integrando de Gauss-Bonnet.
Al igual que con el teorema bidimensional de Gauss-Bonnet, hay generalizaciones cuando M es una variedad con límite .
Más generalizaciones
Atiyah – Cantante
Una generalización de gran alcance del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema del índice de Atiyah-Singer . [6]
Dejar ser un operador diferencial débilmente elíptico entre paquetes de vectores. Eso significa que el símbolo principal es un isomorfismo . La elipticidad fuerte requeriría además que el símbolo sea positivo-definido .
Dejar ser su operador adjunto . Entonces el índice analítico se define como
- dim (ker ( D )) - dim (ker ( D *)),
Por elipticidad, esto es siempre finito. El teorema del índice dice que esto es constante ya que el operador elíptico varía suavemente. Es igual a un índice topológico , que se puede expresar en términos de clases características como la clase de Euler .
El teorema de Chern-Gauss-Bonnet se deriva considerando el operador de Dirac
Dimensiones impares
La fórmula de Chen se define para las dimensiones pares porque la característica de Euler desaparece para las dimensiones impares. Se están realizando algunas investigaciones sobre "torcer" el teorema del índice en la teoría K para dar resultados no triviales para dimensiones impares. [9] [10]
También hay una versión de la fórmula de Chen para orbifolds . [11]
Historia
Shiing-Shen Chern publicó su prueba del teorema en 1944 mientras estaba en el Instituto de Estudios Avanzados . Históricamente, esta fue la primera vez que se probó la fórmula sin asumir que la variedad está incrustada en un espacio euclidiano, que es lo que significa "intrínseco". El caso especial de una hipersuperficie (una subvariedades n-1-dimensionales en un espacio euclidiano n-dimensional) fue probado por H. Hopf en el que el integrando es la curvatura de Gauss-Kronecker (el producto de todas las curvaturas principales en un punto del hipersuperficie). Esto fue generalizado independientemente por Allendoerfer en 1939 y Fenchel en 1940 a una subvarietal riemanniana de un espacio euclidiano de cualquier codimensión, para lo cual utilizaron la curvatura de Lipschitz-Killing (el promedio de la curvatura de Gauss-Kronecker a lo largo de cada vector normal unitario sobre la unidad esfera en el espacio normal; para una subvariedad de dimensión uniforme, esto es un invariante solo dependiendo de la métrica de Riemann de la subvariedad). Su resultado sería válido para el caso general si se puede suponer el teorema de incrustación de Nash . Sin embargo, este teorema no estaba disponible entonces, ya que John Nash publicó su famoso teorema de incrustación para variedades de Riemann en 1956. En 1943, Allendoerfer y Weil publicaron su demostración para el caso general, en la que primero utilizaron un teorema de aproximación de H. Whitney para reducir En el caso de las variedades analíticas de Riemann, luego incrustaron "pequeñas" vecindades de la variedad isométricamente en un espacio euclidiano con la ayuda del teorema de incrustación local de Cartan-Janet, de modo que puedan unir estas vecindades integradas y aplicar el teorema anterior de Allendoerfer. y Fenchel para establecer el resultado global. Esto es, por supuesto, insatisfactorio porque el teorema solo involucra invariantes intrínsecos de la variedad, entonces la validez del teorema no debería depender de su incrustación en un espacio euclidiano. Weil conoció a Chern en Princeton después de la llegada de Chern en agosto de 1943. Le dijo a Chern que creía que debería haber una prueba intrínseca, que Chern pudo obtener en dos semanas. El resultado es el artículo clásico de Chern "Una simple prueba intrínseca de la fórmula de Gauss-Bonnet para variedades cerradas de Riemann", publicado en Annals of Mathematics el próximo año. El trabajo anterior de Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer y Weil fueron citados por Chern en este artículo. El trabajo de Allendoerfer y Weil también fue citado por Chern en su segundo artículo relacionado con el mismo tema. [4]
Ver también
- Homomorfismo de Chern-Weil
- Clase Chern
- Forma de Chern-Simons
- Teoría de Chern-Simons
- Número de Pontryagin
- Clase Pontryagin
- Cohomología de De Rham
- Fase de Berry
- Teorema del índice de Atiyah-Singer
- Teorema de Riemann-Roch
Referencias
- ^ Gilkey, P .; Park, JH (16 de septiembre de 2014). "Una prueba del teorema de Chern-Gauss-Bonnet para métricas de firma indefinidas mediante la continuación analítica". arXiv : 1405.7613 [ math.DG ].
- ^ Buzano, Reto; Nguyen, Huy The (1 de abril de 2019). "La fórmula Chern-Gauss-Bonnet de mayor dimensión para colectores planos conformables singulares" . La revista de análisis geométrico . 29 (2): 1043–1074. doi : 10.1007 / s12220-018-0029-z . ISSN 1559-002X .
- ^ a b Berwick-Evans, Daniel (20 de octubre de 2013). "El teorema de Chern-Gauss-Bonnet a través de teorías de campo euclidianas supersimétricas". arXiv : 1310.5383 [ math.AT ].
- ^ a b Chern, Shiing-shen (octubre de 1945). "Sobre la Curvatura Integra en un colector Riemanniano". Los anales de las matemáticas . 46 (4): 674–684. doi : 10.2307 / 1969203 . JSTOR 1969203 .
- ^ a b Morita, Shigeyuki (28 de agosto de 2001). Geometría de formas diferenciales . Traducciones de monografías matemáticas. 201 . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi : 10.1090 / mmono / 201 . ISBN 9780821810453.
- ^ a b c d Operadores de Schrödinger, con aplicaciones a la mecánica cuántica y la geometría global . Cycon, HL (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Berlín: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0387167589. OCLC 13793017 .CS1 maint: otros ( enlace )
- ^ Bell, Denis (septiembre de 2006). "El teorema de Gauss-Bonnet para paquetes de vectores". Revista de geometría . 85 (1–2): 15–21. arXiv : matemáticas / 0702162 . doi : 10.1007 / s00022-006-0037-1 . S2CID 6856000 .
- ^ Chern, Shiing-Shen (octubre de 1944). "Una prueba intrínseca simple de la fórmula Gauss-Bonnet para colectores Riemannianos cerrados" . Los anales de las matemáticas . 45 (4): 747–752. doi : 10.2307 / 1969302 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1969302 .
- ^ "¿Por qué el teorema de Gauss-Bonnet se aplica sólo a un número par de dimensiones?" . Intercambio de pila de matemáticas . 26 de junio de 2012 . Consultado el 8 de mayo de 2019 .
- ^ Li, Yin (2011). "El teorema de Gauss-Bonnet-Chern en los colectores de Riemann". arXiv : 1111.4972 [ math.DG ]. Parámetro desconocido
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ignorado ( ayuda ) - ^ "¿Existe un teorema de Chern-Gauss-Bonnet para los orbifolds?" . MathOverflow . 26 de junio de 2011 . Consultado el 8 de mayo de 2019 .