En matemáticas , los módulos de Verma generalizados son una generalización de un módulo Verma (verdadero) , [1] y son objetos en la teoría de representación de las álgebras de Lie . Fueron estudiados originalmente por James Lepowsky en la década de 1970. La motivación de su estudio es que sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades bandera generalizadas . El estudio de estos operadores es una parte importante de la teoría de geometrías parabólicas.
Definición
Dejar ser un álgebra de mentira semisimple yuna subálgebra parabólica de. Para cualquier irreducible de dimensión finita representación de definimos el módulo Verma generalizado como el producto tensorial relativo
- .
La acción de se deja la multiplicación en .
Si λ es el peso más alto de V, a veces denotamos el módulo Verma por .
Tenga en cuenta que tiene sentido solo para -dominante y -pesos integrales (ver peso ).
Es bien sabido que una subálgebra parabólica de determina una calificación única así que eso . Dejar. Se deduce del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt que, como espacio vectorial (e incluso como- módulo y como-módulo),
- .
En más texto, denotaremos un módulo Verma generalizado simplemente por GVM.
Propiedades de las GVM
Los GVM son módulos de mayor peso y su mayor peso λ es el mayor peso de la representación V. Si es el vector de peso más alto en V, entonces es el vector de mayor peso en .
Los GVM son módulos de peso , es decir, son la suma directa de sus espacios de peso y estos espacios de peso son de dimensión finita.
Como todos los módulos de mayor peso , los GVM son cocientes de los módulos Verma. El núcleo de la proyección es
dónde es el conjunto de esas raíces simples α tal que los espacios de raíz negativos de raíz estan en (el conjunto S determina unívocamente la subálgebra ), es la reflexión de la raíz con respecto a la raíz α yes la acción afín deen λ. De la teoría de los módulos (verdaderos) de Verma se sigue que es isomorfo a un submódulo único de . En (1), identificamos. La suma en (1) no es directa .
En el caso especial cuando , la subálgebra parabólica es la subálgebra de Borel y el GVM coincide con el módulo Verma (verdadero). En el otro caso extremo cuando, y el GVM es isomorfo a la representación inductora V.
El GVM se llama regular , si su peso más alto λ está en la órbita afín de Weyl de un peso dominante. En otras palabras, existe un elemento w del grupo de Weyl W tal que
dónde es la acción afín del grupo Weyl.
El módulo Verma se llama singular , si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso así que eso está en la pared de la cámara Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ).
Homomorfismos de GVM
Por homomorfismo de GVM nos referimos -Homomorfismo.
Para dos pesos cualesquiera un homomorfismo
puede existir solo si y están vinculados con una acción afín del grupo Weyl del álgebra de mentira . Esto se sigue fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales .
A diferencia del caso de los módulos (verdaderos) de Verma , los homomorfismos de los GVM en general no son inyectivos y la dimensión
puede ser mayor que uno en algunos casos específicos.
Si es un homomorfismo de (verdaderos) módulos Verma, resp. son los núcleos de la proyección , resp. , entonces existe un homomorfismo y factores f a un homomorfismo de módulos de Verma generalizados . Tal homomorfismo (que es un factor de un homomorfismo de módulos Verma) se llama estándar . Sin embargo, el homomorfismo estándar puede ser cero en algunos casos.
Estándar
Supongamos que existe un homomorfismo no trivial de Verma moduls verdaderos. . Dejarser el conjunto de esas raíces simples α tales que los espacios de raíz negativos de raíz estan en (como en la sección Propiedades ). Lepowsky demuestra el siguiente teorema : [2]
El homomorfismo estándar es cero si y solo si existe tal que es isomorfo a un submódulo de (es el reflejo de la raíz correspondiente yes la acción afín ).
La estructura de las GVM en la órbita afín de un -dominante y INTEGRAL peso puede describirse explícitamente. Si W es el grupo Weyl de, existe un subconjunto de tales elementos, de modo que es -dominante. Se puede demostrar que dónde es el grupo Weyl de (En particular, no depende de la elección de ). El mapa es una biyección entre y el conjunto de GVM con pesos más altos en la órbita afín de. Supongamos que, y en el ordenamiento de Bruhat (de lo contrario, no hay homomorfismo de los módulos (verdaderos) Vermay el homomorfismo estándar no tiene sentido, ver módulos de Homomorfismos de Verma ).
Las siguientes afirmaciones se derivan del teorema anterior y la estructura de :
Teorema. Sipor alguna raíz positiva y la longitud (ver orden de Bruhat ) l (w ') = l (w) +1, entonces existe un homomorfismo estándar distinto de cero.
Teorema . El homomorfismo estándar es cero si y solo si existe tal que y .
Sin embargo, si es solo dominante pero no integral, todavía puede existir -dominante y -pesos integrales en su órbita afín.
La situación es aún más complicada si las GVM tienen carácter singular, es decir, hay y están en la órbita afín de algunos tal que está en la pared de la cámara fundamental de Weyl .
No estándar
Un homomorfismo se llama no estándar , si no es estándar. Puede suceder que el homomorfismo estándar de las GVM sea cero, pero todavía existe un homomorfismo no estándar.
Resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand
Ejemplos de
- Los campos de la teoría de campos conforme pertenecen a los módulos de Verma generalizados del álgebra conforme . [3]
Ver también
- Módulo Verma
- Geometría parabólica
enlaces externos
- Código para construir la resolución BGG de los módulos de álgebra de Lie y calcular su cohomología
Referencias
- ^ El nombre de Daya-Nand Verma .
- ^ Lepowsky J., Una generalización de la resolución Bernstein-Gelfand-Gelfand, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.
- ^ Penedones, João; Trevisani, Emilio; Yamazaki, Masahito (2016). "Relaciones de recursividad para bloques conformes" . Revista de Física de Altas Energías . 2016 (9). doi : 10.1007 / JHEP09 (2016) 070 . ISSN 1029-8479 .