En geometría , un rectángulo áureo es un rectángulo cuyas longitudes laterales están en la proporción áurea ,, cual es (la letra griega phi ), donde es aproximadamente 1.618.
Los rectángulos áureos exhiben una forma especial de auto-semejanza : todos los rectángulos creados al agregar o quitar un cuadrado de un extremo son también rectángulos áureos.
Construcción
Se puede construir un rectángulo áureo con solo una regla y un compás en cuatro sencillos pasos:
- Dibuja un cuadrado simple.
- Dibuja una línea desde el punto medio de un lado del cuadrado hasta una esquina opuesta.
- Usa esa línea como radio para dibujar un arco que defina la altura del rectángulo.
- Completa el rectángulo dorado.
Una característica distintiva de esta forma es que cuando se agrega o se quita una sección cuadrada , el producto es otro rectángulo áureo, con la misma relación de aspecto que el primero. La adición o eliminación de cuadrados se puede repetir infinitamente, en cuyo caso las esquinas correspondientes de los cuadrados forman una secuencia infinita de puntos en la espiral dorada , la espiral logarítmica única con esta propiedad. Las líneas diagonales dibujadas entre los dos primeros órdenes de rectángulos áureos incrustados definirán el punto de intersección de las diagonales de todos los rectángulos áureos incrustados; Clifford A. Pickover se refirió a este punto como "el Ojo de Dios". [2]
Historia
Las proporciones del rectángulo áureo se han observado ya en la Tabla babilónica de Shamash (c. 888-855 a. C.), [3] [4] aunque Mario Livio llama "dudoso" a cualquier conocimiento de la proporción áurea antes de los antiguos griegos . [5]
Según Livio, desde la publicación de la Divina proporione de Luca Pacioli en 1509, "la Proporción Áurea comenzó a estar disponible para los artistas en tratados teóricos que no eran demasiado matemáticos, que realmente podían usar". [6]
La Villa Stein de 1927 diseñada por Le Corbusier , parte de cuya arquitectura utiliza la proporción áurea , presenta dimensiones que se aproximan mucho a los rectángulos áureos. [7]
Relación con polígonos regulares y poliedros
Euclides da una construcción alternativa del rectángulo áureo usando tres polígonos circunscritos por círculos congruentes: un decágono regular , un hexágono y un pentágono . Las longitudes respectivas a , b , y c de los lados de estos tres polígonos satisfacen la ecuación un 2 + b 2 = c 2 , por lo que los segmentos de línea con estas longitudes forman un triángulo rectángulo (por el contrario de la teorema de Pitágoras ). La razón entre la longitud del lado del hexágono y el decágono es la razón áurea, por lo que este triángulo forma la mitad de un rectángulo áureo. [8]
El casco convexo de dos bordes opuestos de un icosaedro regular forma un rectángulo áureo. Los doce vértices del icosaedro se pueden descomponer de esta manera en tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares, cuyos límites están vinculados en el patrón de los anillos borromeos . [9]
Ver también
- Números de Fibonacci
- Proporción áurea
- Rombo dorado
- Triángulo de Kepler
- Leonardo de Pisa
- Rabatment del rectángulo
- Proporción de plata
- Número de plástico
Notas
- ^
Referencias
- ^ Posamentier, Alfred S .; Lehmann, Ingmar (2011). La gloriosa proporción áurea . Libros de Prometeo . pag. 11 . ISBN 9-781-61614-424-1.
- ^ Livio, Mario (2003) [2002]. La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Ciudad de Nueva York: Broadway Books . pag. 85 . ISBN 0-7679-0816-3.
- ^ Olsen, Scott (2006). La sección dorada: el mayor secreto de la naturaleza . Glastonbury: libros de madera. pag. 3 . ISBN 978-1-904263-47-0.
- ^ Van Mersbergen, Audrey M., Prototipos retóricos en arquitectura: medir la Acrópolis con una polémica filosófica , Communication Quarterly , vol. 46, 1998 ("un 'Rectángulo Dorado' tiene una proporción de la longitud de sus lados igual a 1: 1,61803+. El Partenón tiene estas dimensiones").
- ^ Livio, Mario . "La proporción áurea en el arte: dibujo en gran medida de la proporción áurea" (PDF) . pag. 6 . Consultado el 11 de septiembre de 2019 .
- ^ Livio, Mario (2003) [2002]. La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Ciudad de Nueva York: Broadway Books . pag. 136 . ISBN 0-7679-0816-3.
- ^ Le Corbusier, El Modulor , p. 35, citado en Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Taylor y Francis. ISBN 0-419-22780-6 : "Tanto las pinturas como los diseños arquitectónicos hacen uso de la sección áurea".
- ^ Euclides,Elements , Libro XIII, Proposición 10.
- ^ Burger, Edward B .; Starbird, Michael P. (2005). El corazón de las matemáticas: una invitación al pensamiento eficaz . Saltador. pag. 382. ISBN 9781931914413{{citas inconsistentes}}CS1 maint: posdata ( enlace ).
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Rectángulo dorado" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Proporción áurea" . MathWorld .
- La media áurea y la física de la estética
- Demostración del rectángulo dorado con animación interactiva
- Del rectángulo áureo a los cuadriláteros áureos Explora algunos posibles cuadriláteros áureos diferentes