Proceso de Gram-Schmidt
En matemáticas , particularmente en álgebra lineal y análisis numérico , el proceso de Gram-Schmidt es un método para ortonormalizar un conjunto de vectores en un espacio de producto interno , más comúnmente el espacio euclidiano R n equipado con el producto interno estándar . El proceso de Gram-Schmidt toma un conjunto finito de vectores linealmente independientes S = { v 1 , ..., v k } para k ≤ ny genera un conjunto ortogonal S′ = { u 1 , ..., u k } que abarca el mismo subespacio k -dimensional de R n como S .
El método lleva el nombre de Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt , pero Pierre-Simon Laplace lo conocía antes que Gram y Schmidt. [1] En la teoría de las descomposiciones de grupos de Lie se generaliza mediante la descomposición de Iwasawa .
La aplicación del proceso de Gram-Schmidt a los vectores de columna de una matriz de rango de columna completa produce la descomposición QR (se descompone en una matriz ortogonal y triangular ).
donde denota el producto interior de los vectores u y v . Este operador proyecta el vector v ortogonalmente sobre la línea atravesada por el vector u . Si u = 0 , definimos , es decir, el mapa de proyección es el mapa cero, enviando todos los vectores al vector cero.
La secuencia u 1 , ..., u k es el sistema requerido de vectores ortogonales, y los vectores normalizados e 1 , ..., e k forman un conjunto ortonormal . El cálculo de la secuencia u 1 , ..., u k se conoce como ortogonalización de Gram-Schmidt , mientras que el cálculo de la secuencia e 1 , ..., e k se conoce como ortonormalización de Gram-Schmidt ya que los vectores están normalizados.
Para verificar que estas fórmulas produzcan una secuencia ortogonal, primero calcule sustituyendo la fórmula anterior por u 2 : obtenemos cero. Luego use esto para calcular nuevamente sustituyendo la fórmula por u 3 : obtenemos cero. La demostración general procede por inducción matemática .
