En el límite de una "lente delgada", donde las distancias entre la fuente, la lente y el observador son mucho mayores que el tamaño de la lente (esto es casi siempre cierto para los objetos astronómicos), podemos definir la densidad de masa proyectada.
dónde es un vector en el plano del cielo. El ángulo de deflexión es entonces
Ángulos involucrados en un sistema de lentes gravitacionales delgadas.
Como se muestra en el diagrama de la derecha, la diferencia entre la posición angular sin lente y la posición observada es este ángulo de deflexión, reducido por una relación de distancias, descrito como la ecuación de la lente
dónde es la distancia desde la lente a la fuente, es la distancia desde el observador a la fuente, y es la distancia desde el observador a la lente. Para lentes extragalácticos, estas deben ser distancias de diámetro angular .
En lentes gravitacionales fuertes, esta ecuación puede tener múltiples soluciones, porque una sola fuente en se puede lente en múltiples imágenes.
Potencial de convergencia y deflexión
El ángulo de deflexión reducido Se puede escribir como
donde definimos la convergencia
y la densidad superficial crítica (que no debe confundirse con la densidad crítica del universo)
También podemos definir el potencial de deflexión
tal que el ángulo de deflexión escalado es solo el gradiente del potencial y la convergencia es la mitad del Laplaciano del potencial:
El potencial de deflexión también se puede escribir como una proyección a escala del potencial gravitacional newtoniano de la lente [2]
Lensing jacobiano
El jacobiano entre los sistemas de coordenadas sin lente y con lente es
dónde es el delta de Kronecker . Debido a que la matriz de las segundas derivadas debe ser simétrica, el jacobiano se puede descomponer en un término diagonal que involucra la convergencia y un término sin trazas que involucra el corte.
dónde es el ángulo entre y el eje x. El término que involucra la convergencia amplía la imagen aumentando su tamaño mientras se conserva el brillo de la superficie. El término que involucra la cizalla extiende la imagen tangencialmente alrededor de la lente, como se explica en observables de lentes débiles .
El cortante definido aquí no es equivalente al cortante definido tradicionalmente en matemáticas, aunque ambos estiran una imagen de manera no uniforme.
Efecto de los componentes de convergencia y corte en una fuente circular representada por el círculo verde sólido. La notación compleja de corte se define a
continuación .
Superficie fermat
Existe una forma alternativa de derivar la ecuación de la lente, comenzando por el tiempo de llegada del fotón (superficie de Fermat)
dónde es el tiempo para viajar un elemento de línea infinitesimal a lo largo de la línea recta fuente-observador en el vacío, que luego se corrige con el factor
para obtener el elemento de línea a lo largo de la ruta doblada con un pequeño ángulo de inclinación variable y el índice de refracción n para el "éter", es decir, el campo gravitacional. El último se puede obtener del hecho de que un fotón viaja en una geodésica nula de un universo estático de Minkowski débilmente perturbado.
donde el potencial gravitacional desigual impulsa un cambio en la velocidad de la luz
Entonces el índice de refracción
El índice de refracción mayor que la unidad debido al potencial gravitacional negativo .
Junte estos y mantenga los términos principales, tenemos la superficie de llegada del tiempo
El primer término es el tiempo de recorrido de la trayectoria recta, el segundo término es la trayectoria geométrica adicional y el tercero es el retardo gravitacional. Haz la aproximación del triángulo que para el camino entre el observador y la lente, y para el camino entre la lente y la fuente. El término de retardo geométrico se convierte en
(¿Cómo? No hay a la izquierda. Las distancias de diámetro angular no se suman de una manera simple, en general). Por lo tanto, la superficie de Fermat se convierte en
dónde es el llamado retardo de tiempo adimensional, y el potencial de lente 2D
Las imágenes se encuentran en los extremos de esta superficie, por lo que la variación de t con es cero,
que es la ecuación de la lente. Tome la ecuación de Poisson para el potencial 3D
y encontramos el potencial de lentes 2D
Aquí asumimos que la lente es una colección de masas puntuales en coordenadas angulares y distancias Usar para muy pequeña x encontramos
Se puede calcular la convergencia aplicando el Laplaciano 2D del potencial de lente 2D
de acuerdo con la definición anterior como la relación entre la densidad proyectada y la densidad crítica. Aquí usamos y
También podemos confirmar el ángulo de deflexión reducido previamente definido
dónde es el llamado radio angular de Einstein de una lente puntual Mi. Para una lente de un solo punto en el origen, recuperamos el resultado estándar de que habrá dos imágenes en las dos soluciones de la ecuación esencialmente cuadrática.
La matriz de amplificación se puede obtener mediante derivadas dobles del retardo de tiempo adimensional
donde hemos definido las derivadas
que toma el significado de convergencia y cizallamiento. La amplificación es la inversa del jacobiano.
donde una A positiva significa un máximo o un mínimo, y una A negativa significa un punto de silla en la superficie de llegada.
Para una lente de un solo punto, se puede mostrar (aunque sea un cálculo largo) que
Entonces, la amplificación de una lente puntual viene dada por
Nota A diverge para imágenes en el radio de Einstein
En los casos, hay lentes de múltiples puntos más un fondo suave de partículas (oscuras) de densidad superficial la superficie de llegada de tiempo es
Para calcular la amplificación, por ejemplo, en el origen (0,0), debido a masas puntuales idénticas distribuidas en tenemos que sumar el corte total e incluir una convergencia del fondo suave,
Esto generalmente crea una red de curvas críticas, líneas que conectan puntos de imagen de amplificación infinita.
En lentes gravitacionales débiles , el jacobiano se mapea observando el efecto de la cizalladura en las elipticidades de las galaxias de fondo. Este efecto es puramente estadístico; la forma de cualquier galaxia estará dominada por su forma aleatoria sin lente, pero la lente producirá una distorsión espacialmente coherente de estas formas.
Medidas de elipticidad
En la mayoría de los campos de la astronomía, la elipticidad se define como , dónde es la relación del eje de la elipse . En lentes gravitacionales débiles , se utilizan comúnmente dos definiciones diferentes, y ambas son cantidades complejas que especifican tanto la relación del eje como el ángulo de posición.:
Al igual que la elipticidad tradicional, las magnitudes de ambas cantidades van de 0 (circular) a 1 (un segmento de línea). El ángulo de posición se codifica en la fase compleja, pero debido al factor de 2 en los argumentos trigonométricos, la elipticidad es invariante bajo una rotación de 180 grados. Esto es de esperar; una elipse no cambia con una rotación de 180 °. Tomadas como partes imaginarias y reales, la parte real de la elipticidad compleja describe el alargamiento a lo largo de los ejes de coordenadas, mientras que la parte imaginaria describe el alargamiento a 45 ° de los ejes.
La elipticidad a menudo se escribe como un vector de dos componentes en lugar de un número complejo, aunque no es un vector verdadero con respecto a las transformaciones:
Las fuentes de fondo astronómicas reales no son elipses perfectas. Sus elipticidades se pueden medir encontrando un modelo elíptico que mejor se ajuste a los datos, o midiendo los segundos momentos de la imagen sobre algún centroide.
Las elipticidades complejas son entonces
Esto se puede utilizar para relacionar los segundos momentos con los parámetros de elipse tradicionales:
y al revés:
Los segundos momentos no ponderados anteriores son problemáticos en presencia de ruido, objetos vecinos o perfiles de galaxias extendidos, por lo que es típico usar momentos apodizados en su lugar:
Aquí es una función de peso que normalmente va a cero o se acerca rápidamente a cero en algún radio finito.
Los momentos de imagen generalmente no se pueden usar para medir la elipticidad de las galaxias sin corregir los efectos de observación , particularmente la función de dispersión de puntos . [4]
Corte y corte reducido
Recuerde que la lente jacobiana se puede descomponer en cizalla y convergencia . Actuando sobre una fuente de fondo circular con radio, la lente genera una elipse con ejes mayores y menores
siempre que la cizalladura y la convergencia no cambien apreciablemente sobre el tamaño de la fuente (en ese caso, la imagen con lente no es una elipse). Sin embargo, las galaxias no son intrínsecamente circulares, por lo que es necesario cuantificar el efecto de la lente en una elipticidad distinta de cero.
Podemos definir la cizalladura compleja en analogía a las elipticidades complejas definidas anteriormente
así como el cizallamiento reducido
El jacobiano de lente ahora se puede escribir como
Para un corte reducido y elipticidades complejas sin lente y , las elipticidades en lente son
En el límite de las lentes débiles, y , entonces
Si podemos suponer que las fuentes están orientadas aleatoriamente, sus elipticidades complejas promedian a cero, entonces y . Esta es la ecuación principal de las lentes débiles: la elipticidad promedio de las galaxias de fondo es una medida directa de la cizalladura inducida por la masa de primer plano.
Aumento
Mientras que las lentes gravitacionales preservan el brillo de la superficie, como dicta el teorema de Liouville , las lentes cambian el ángulo sólido aparente de una fuente. La cantidad de aumento viene dada por la relación entre el área de la imagen y el área de la fuente. Para una lente de simetría circular , el factor de aumento μ viene dado por
En términos de convergencia y cizallamiento
Por esta razón, el jacobiano también se conoce como la "matriz de ampliación inversa".
La cizalla reducida es invariante con la escala del jacobiano. por un escalar , que es equivalente a las transformaciones y .
Por lo tanto, solo se puede determinar hasta una transformación , que se conoce como la "degeneración masiva de la hoja". En principio, esta degeneración puede romperse si se dispone de una medición independiente del aumento porque el aumento no es invariante bajo la transformación de degeneración antes mencionada. Específicamente, escalas con como .